Quattro per tre

[Bruno13]

Dati tre numeri pari qualsiasi, la somma
dei loro quadrati può essere sempre
espressa come somma di quattro quadrati.

[Bruno13]

"fields":Forse può essere utile la seguente identità (senza perdita di generalità $a<=b<=c$):

$(2a)^2+(2b)^2+(2c)^2=(a+b+c)^2+(-a+b+c)^2+(a-b+c)^2+(a+b-c)^2$

che dimostra l'asserzione di Bruno nel caso $c$ non sia somma di $a$ e $b$.

Da notare che questa identità non funziona sempre. Infatti $(2*2)^2+(2*3)^2+(2*5)^2=4^2+6^2+6^2+8^2$, ma la precedente identità non funziona.

Benissimo, Fields
Questa, in effetti, è la risposta fornita.
Da una parte, formalmente, abbiamo i
quadrati di quattro trinomi e dall'altra
abbiamo i quadrati di tre numeri pari.
E' chiaro, poi, che un trinomio si annulli
quando la somma di due numeri pari sia
uguale al terzo...
Il quesito l'ho trascritto come l'ho letto
e a me è venuto in mente che potesse
esistere un'identità di questo tipo (che
all'epoca non conoscevo).
Io la trovo carina.
Peraltro, anche Thomas (in bianco) ne
aveva dato un'indicazione.
(Fields... alla fine del tuo post, in luogo
del quadrato di 8, bisogna mettere quello
di 10. Ecco, anche questo è un caso in
cui uno dei quattro trinomi si annulla...).

[fields1]

Be' Bruno, grazie per averci deliziato con una identità algebrica così carina! Comunque sarebbe stato meglio se l'autore del problema avesse aggiunto fra le ipotesi che uno dei tre numeri elevati al quadrato non deve essere somma degli altri due.

[Bruno13]

Certo, Fields: alla luce delle obiezioni espresse, la precisazione
che hai indicato sarebbe stata senz'altro opportuna.
Ciao

[ArkhamG]

Rilancio con sei quadrati:

$4(a^2+b^2+c^2)=2(2a^2+2b^2+2c^2)=$$(2a^2+2b^2)+(2a^2+2c^2)+(2b^2+2c^2)=(a+b)^2+(a-b)^2+(b+c)^2+(b-c)^2+(a+c)^2+(a-c)^2$

[Bruno13]

Carina, ArkhamG

[ArkhamG]

simpatica