Quante case ci sono su questa via?

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C'è una coppia di matematici che abita lungo una strada dritta. Le case di questa strada sono numerate in ordine crescente \(1,2,3,\ldots,n\).
- Un giorno il marito dice alla moglie: "Tesoro è curioso: la somma dei numeri civici delle case alla nostra destra (quindi \(1+2+\ldots \) ) è uguale alla somma delle case alla nostra sinistra meno la metà del quadrato del nostro numero civico. Sapresti determinare, solo con queste informazioni, quante case ci sono nella nostra via e in quale abitiamo noi?"
- La moglie, sorridente, risponde: "Certo caro, \(\sqrt{3} \) "
- Il marito replica allora: "E sapendo inoltre che Anna vive nella 28-esima casa e che ci sono meno di 676 case?"
- La moglie, dopo poco, esclama: "Sì! Noi abitiamo nella casa con il numero civico \(k\) e ci sono in totale \(n\) case"

Che numeri ha detto la moglie? Sapreste giustificare la prima risposta della moglie?

[axpgn]

Ci sono $n=675$ case e loro abitano al civico $k=390$

La prima risposta della moglie penso si riferisca al fatto che $(n(n+1))/3=k^2$

Peraltro ...

... non ho capito il riferimento ad Anna perché non esclude un'altra soluzione: $n=48$ e $k=28$

S.E.&O.



Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"axpgn":

Ci sono $n=675$ case e loro abitano al civico $k=390$

La prima risposta della moglie penso si riferisca al fatto che $(n(n+1))/3=k^2$

Si alla risposta 1 e sni all'altra
inidizio sull'altra

\( \sqrt{3} \) "contiene" proprio lui stesso l'informazione di tutte le soluzioni possibili.

"axpgn":
Peraltro ...

... non ho capito il riferimento ad Anna perché non esclude un'altra soluzione: $n=48$ e $k=28$

ups... typo ho scritto 29 invece di 28.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

per curiosità come hai ottenuto \(k\) ed \(n\) ?

[axpgn]

Ah, beh ...

La cosa fondamentale è stata ricavare quell'equazione (a mio parere ) poi non ci ho pensato più di tanto e mi son messo a fare conti con Excel (anche perché avevo altro da fare e volevo verificare presto se avevo preso la strada giusta ... la pazienza non è proprio un mio punto di forza )

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Attenzione soluzione

Peccato! C'è un modo molto bello per risolverlo, trovato da Ramanujan, anche se era un problema diverso, io l'ho semplicemente modificato un po'.

Le informazioni che dice all'inizio il marito alla moglie di ci dice che se \(k \) è il numero civico della coppia ed \(n\) il numero di case allora
\[ 1+2+\ldots+k-1 = \frac{k(k-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{k(k+1)}{2} - \frac{k^2}{2} = 1 + \ldots + n - \left( 1 + \ldots + k \right) - \frac{k^2}{2} \]

Dopo un po' di algebra elementare troviamo
\[ k^2- k = n^2 + n - k^2 - k - k^2 \]
da cui
\[ 3k^2 = n^2 + n \]
completando il quadrato otteniamo
\[ 3(2k)^2 = (2n+1)^2 - 1 \]
da cui
\[ (2n+1)^2 - 3(2k)^2 = 1 \]
effettuando la sostituzione \( y= 2n+1 \) e \( x = 2k \), da cui
\[ y^2 - 3x^2 = 1 \]
ora questa si chiama equazione di Pell ed è noto ( o forse no ) che le soluzioni a questa equazione sono racchiuse nella frazione continua di \( \sqrt{3} \). Un equazione di Pell è della forma
\[ y^2 - k x^2 =1 \]
e le sue soluzioni sono racchiuse in \( \sqrt{k} \).
Ora la frazione continua di \( \sqrt{3} \) è data da
\[ \sqrt{3} = 1 + \frac{1}{ 1 +\frac{1}{2+\frac{1}{1+ \frac{1}{2+\ldots }} } } \]

Fermandoci ogni volta otteniamo che le prime frazioni parziali sono
\[ \frac{1}{1},\frac{2}{1},\frac{5}{3},\frac{7}{4},\frac{19}{11},\frac{26}{15},\frac{71}{41},\frac{97}{56},\frac{256}{153},\frac{362}{209},\frac{989}{571},\frac{1351}{780},\ldots \]
ora le frazioni \( \frac{y}{x} \) in posizione dispari soddisfano l'equazione \( y^2-3x^2=1 \). Mentre le frazioni in posizione pari soddisfano \( y^2-3x^2 = -2 \).

Dalla seconda informazione del marito capiamo che \( y=1351 = 2n+1 \) e \( x= 780 =2k \) pertanto \( n = 675 \) e \(k = 390 \).

In questo senso la moglie ha risposto \( \sqrt{3} \) perché effettivamente \( \sqrt{3} \) "possiede" tutte le soluzioni di quell'equazione.

Intuitivamente se \( \sqrt{3} \) fosse un razionale allora avremmo che esistono degli interi \(y,x\) tale che \( y^2-3x^2=0 \) infatti \( \frac{y}{x} = \sqrt{3} \) e questi interi sono tali da minimizzare la distanza
\[ \left| \frac{y}{x} - \sqrt{3} \right| = 0 \]
o in forma alternativa
\[ \left| y^2-3x^2 \right| = 0 \]
ma siccome \( \sqrt{3} \) non è razionale non è possibile trovare alcuna coppia di interi tale per cui valga
\[ \left| y^2-3x^2 \right| = 0 \]
pertanto siccome \(y,x\) devono essere interi e la differenza di interi è intero allora gli interi ottimali sono quelli che minimizzano quella distanza sugli interi ovvero tale per cui valga
\[ \left| y^2-3x^2 \right| = 1 \]

[axpgn]

Beh, ma non è che devi metterla subito la soluzione, aspetta che arrivino gli altri ...

Comunque quella strada non l'avrei mai percorsa ...

So cosa sono le frazioni continue e l'equazione di Pell ma appunto so cosa sono e basta

Cordialmente, Alex

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"axpgn":Beh, ma non è che devi metterla subito la soluzione, aspetta che arrivino gli altri ...

ups.. non ci ho pensato

[gio73]

Basta nn guardare lo spoiler...

[axpgn]

Non metterla is better!

Altrimenti perché non scrivere la soluzione direttamente nel primo post? Sarebbe lo stesso, no?


Cordialmente, Alex