Qual è il massimo?
Su un piano alfa sono dati un segmento AB = 1 e due
semirette di origine A: AS , AS’ , giacenti da bande opposte
rispetto ad AB, con angolo BAS = 45° , angolo BAS’ = 30°.
Siano AM = 4 , BN =1 segmenti perpendicolari al piano alfa,
giacenti in uno stesso semispazio di origine alfa, e sia R un
punto del segmento AB . Da R si tracci una retta appartenente
al piano alfa e perpendicolare ad AB, e siano P e Q i punti di
intersezione della retta con le semirette AS , AS’ rispettivamente.
Determinare il massimo volume che può assumere la piramide di
vertici M, N , P ,Q .
semirette di origine A: AS , AS’ , giacenti da bande opposte
rispetto ad AB, con angolo BAS = 45° , angolo BAS’ = 30°.
Siano AM = 4 , BN =1 segmenti perpendicolari al piano alfa,
giacenti in uno stesso semispazio di origine alfa, e sia R un
punto del segmento AB . Da R si tracci una retta appartenente
al piano alfa e perpendicolare ad AB, e siano P e Q i punti di
intersezione della retta con le semirette AS , AS’ rispettivamente.
Determinare il massimo volume che può assumere la piramide di
vertici M, N , P ,Q .
Risposte
Ho trovato che il il massimo si ha per [size=150]$ bar(AR)=2/3$.[/size]Se il risultato
e' giusto posto anche il procedimento ( un calcolo ..da niente!),
altrimenti ciccia e mi riposo...dalla fatiche di fine anno.
Il vostro Archimede (ancora tutto insonnolito)
e' giusto posto anche il procedimento ( un calcolo ..da niente!),
altrimenti ciccia e mi riposo...dalla fatiche di fine anno.
Il vostro Archimede (ancora tutto insonnolito)
@ Archimede: io ho trovato il tuo stesso risultato.
Il volume massimo diventa:
$V_(max)=2/9(1+sqrt3/3)$
Visto che è di moda.....determinarlo senza l'uso di derivate.
Il volume massimo diventa:
$V_(max)=2/9(1+sqrt3/3)$
Visto che è di moda.....determinarlo senza l'uso di derivate.
[Le figure sono una soza,perdonatemi]
Il risultato di Mamo mi conforta e mi spinge a postare il procedimento.
Si puo' prendere come base della piramide il triangolo MPQ e come altezza NH (vedi fig.1)
POsto AR=x (0
mentre dal triangolo APQ (fig2) si ricava:
$bar(PQ)=bar(PR)+bar(RQ)=x((3+sqrt3)/3)$
Quindi:
$Area(MPQ)=(bar(PQ)*bar(MR))/2=((3+sqrt3)/6)xsqrt(x^2+16)$
Per avere $bar(NH)$ passiamo alla fig3.Posto HR=y e MH=z-y
(con $z=sqrt(x^2+16)$) si ricava:
$bar(MN)^2-bar(MH)^2=bar(NR)^2-bar(RH)^2$ ovvero:
$10-(z-y)^2=1+(1-x)^2-y^2$ da cui con qualche calcolo si ha:
$y=(x^2-x+4)/sqrt(x^2+16)$
Pertanto :
$bar(NH)=sqrt(bar(NR)^2-bar(HR)^2)=(4-3x)/sqrt(x^2+16)$
Il volume sara' allora:
(1) $V=1/3*Area(MPQ)*NH=(3+sqrt3)/(18 )x(4-3x)$
A meno di costanti positive,la funzione da massimizzare e':
$f(x)=3x(4-3x),0
Si puo' fare a meno delle derivate osservando che i due fattori
che compaiono in f(x) hanno somma costante 3x+4-3x=4 e quindi
il massimo richiesto si ha quando essi sono uguali:
3x=4-3x da cui $bar(AR)=x=2/3$.Daltra parte risulta che:
$f(0)=0,f(1)=3,f(2/3)=4>3>0$ e quindi $x=2/3$ corrisponde
ad un massimo assoluto.Sostituendo poi in (1) il valore di x trovato si ha il
volume massimo gia' indicato da Mamo.
Archimede.
Il risultato di Mamo mi conforta e mi spinge a postare il procedimento.
Si puo' prendere come base della piramide il triangolo MPQ e come altezza NH (vedi fig.1)
POsto AR=x (0
mentre dal triangolo APQ (fig2) si ricava:
$bar(PQ)=bar(PR)+bar(RQ)=x((3+sqrt3)/3)$
Quindi:
$Area(MPQ)=(bar(PQ)*bar(MR))/2=((3+sqrt3)/6)xsqrt(x^2+16)$
Per avere $bar(NH)$ passiamo alla fig3.Posto HR=y e MH=z-y
(con $z=sqrt(x^2+16)$) si ricava:
$bar(MN)^2-bar(MH)^2=bar(NR)^2-bar(RH)^2$ ovvero:
$10-(z-y)^2=1+(1-x)^2-y^2$ da cui con qualche calcolo si ha:
$y=(x^2-x+4)/sqrt(x^2+16)$
Pertanto :
$bar(NH)=sqrt(bar(NR)^2-bar(HR)^2)=(4-3x)/sqrt(x^2+16)$
Il volume sara' allora:
(1) $V=1/3*Area(MPQ)*NH=(3+sqrt3)/(18 )x(4-3x)$
A meno di costanti positive,la funzione da massimizzare e':
$f(x)=3x(4-3x),0
Si puo' fare a meno delle derivate osservando che i due fattori
che compaiono in f(x) hanno somma costante 3x+4-3x=4 e quindi
il massimo richiesto si ha quando essi sono uguali:
3x=4-3x da cui $bar(AR)=x=2/3$.Daltra parte risulta che:
$f(0)=0,f(1)=3,f(2/3)=4>3>0$ e quindi $x=2/3$ corrisponde
ad un massimo assoluto.Sostituendo poi in (1) il valore di x trovato si ha il
volume massimo gia' indicato da Mamo.
Archimede.
Faccio i complimenti (oltre agli auguri di buon anno!!) ad
archimede e a MaMo per aver risolto il problema!!
Il volume della piramide può essere trovato, dopo aver posto AR = x,
anche per differenza di volumi:
VP(MNPQ) =VP(MNBAP) + VP(MNBAQ) – VP(APQM) - VP(BPQN)
dove VP(MNPQ) indica il volume della piramide di vertici M,N,P,Q
VP(MNBAP) volume piramide M,N,B,A,P
e analogamente per tutti gli altri simboli
archimede e a MaMo per aver risolto il problema!!
Il volume della piramide può essere trovato, dopo aver posto AR = x,
anche per differenza di volumi:
VP(MNPQ) =VP(MNBAP) + VP(MNBAQ) – VP(APQM) - VP(BPQN)
dove VP(MNPQ) indica il volume della piramide di vertici M,N,P,Q
VP(MNBAP) volume piramide M,N,B,A,P
e analogamente per tutti gli altri simboli
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