QIM Le sbarre alla finestra
Vorrei chiedere che i problemi siano formulati con maggior precisione!
Anche quello di oggi lascia ampio spazio al dubbio: seguendo la figura (come detto nel testo) si ottiene una soluzione diversa da quella richiesta; e per fortuna il risultato sbagliato è solo "vicino" ad uno tra quelli proposti.
Capisco bene che sto leggermente aiutando chi deve ancora rispondere, ma data l'alea che circonda le soluzioni dei problemi (che creano il distacco in classifica più per la loro ambiguità che per la reale difficoltà, valutando ben poco l'"Intelligenza Matematica" - i gestori non me ne abbiano...), non me ne duole così tanto.
Martino
Anche quello di oggi lascia ampio spazio al dubbio: seguendo la figura (come detto nel testo) si ottiene una soluzione diversa da quella richiesta; e per fortuna il risultato sbagliato è solo "vicino" ad uno tra quelli proposti.
Capisco bene che sto leggermente aiutando chi deve ancora rispondere, ma data l'alea che circonda le soluzioni dei problemi (che creano il distacco in classifica più per la loro ambiguità che per la reale difficoltà, valutando ben poco l'"Intelligenza Matematica" - i gestori non me ne abbiano...), non me ne duole così tanto.
Martino
Risposte
Io l'ho sbagliato ma per questioni di calcolo errato, stavolta non capisco in che modo la figura confonda. Io ho usato solo il teorema di pitagora.
Ah ok ho rivisto ora la figura. C'è una sbarra che può sembrare lunga $20$ cm invece è lunga $sqrt(500)$ cm. Vabbè non importa.. sfrutta le regole geometriche.
Ah ok ho rivisto ora la figura. C'è una sbarra che può sembrare lunga $20$ cm invece è lunga $sqrt(500)$ cm. Vabbè non importa.. sfrutta le regole geometriche.
Quoto totalmente Martino. Oggi ho risposto in maniera corretta intuendo quale fosse il risultato esatto richiesto dal sito visto che, per assurdo, anche un'altro risultato sarebbe da considerarsi esatto.
Mi spiego meglio. La soluzione di oggi si basa sul dare per scontato che la diagonale del cerchio va divisa in 6 parti uguali. Così facendo, si applica il teorema di pitagora 2 volte per ottenere gli altri lati.
Se invece si segue la figura, si è indotti a pensare che esista un quadrato iscritto nella circonferenza ed un rettangolo, anch'esso iscritto. In questo caso la diagonale non è divisa in 6 parti uguali, ma le sbarre sono comunque equidistanti tra loro!! Mi sono accorta di questa eventualità guardando la figura e ragionando sul fatto che, dopo aver applicato pitagora per risolvere il quesito, quello che usciva fuori non era un quadrato!!
E' solo perché ho contato i quadretti invece di applicare il teorema subito che non ho sbagliato! Mi è sembrata la via più scontata... quindi grazie alla mia "pigrizia" (concedetemelo) ho risposto esatto. Se oggi fossi stata in vena di essere rigorosa avrei anche potuto sbagliare
Per capire meglio, provo a caricare un'immagine.
Mi spiego meglio. La soluzione di oggi si basa sul dare per scontato che la diagonale del cerchio va divisa in 6 parti uguali. Così facendo, si applica il teorema di pitagora 2 volte per ottenere gli altri lati.
Se invece si segue la figura, si è indotti a pensare che esista un quadrato iscritto nella circonferenza ed un rettangolo, anch'esso iscritto. In questo caso la diagonale non è divisa in 6 parti uguali, ma le sbarre sono comunque equidistanti tra loro!! Mi sono accorta di questa eventualità guardando la figura e ragionando sul fatto che, dopo aver applicato pitagora per risolvere il quesito, quello che usciva fuori non era un quadrato!!
E' solo perché ho contato i quadretti invece di applicare il teorema subito che non ho sbagliato! Mi è sembrata la via più scontata... quindi grazie alla mia "pigrizia" (concedetemelo) ho risposto esatto. Se oggi fossi stata in vena di essere rigorosa avrei anche potuto sbagliare
Per capire meglio, provo a caricare un'immagine.
Ho fatto un po di casini per cercare di caricare l'immagine....
Sono mostrate le due ipotesi: una (a sinistra) parte considerando che CGKO sia un quadrato (plausibile, visto che viene richiesto che le sbarre siano parallele ed equidistanti tra di loro, non che lo siano anche rispetto alle tangenti nei punti M ed E). La seconda ipotesi è quella considerata corretta dal sito, ma dalla figura non si evince chiaramente cosa accade nei pressi di C1C2, G1G2, K1K2 e O1O2, lo si può solo intuire presupponendo, come detto, che il diametro EM, così come AI, sia diviso in sei parti uguali.
Tra le due ipotesi esistono inoltre tanti altri risultati accettabili e compatibili con l'approssimazione della figura, perciò almeno un'altro dei risultati oggi proposti poteva essere considerato esatto. E' tutta una questione di interpretazione del testo. Secondo me erano corrette più di una soluzione anche se una di queste non si poteva ottenere tramite calcoli ma ricadeva comunque all'interno di un range calcolabile. Per assurdo anche altre soluzioni sono accettabili nei pressi di questo range, anche perché disegnando poi la figura in maniera diversa (con sbarre equidistanti ma molto più vicine o più lontane tra loro, si potevano escludere molti risultati perché la figura risultante sarebbe stata palesemente diversa da quella proposta.
Spero di non essere stata troppo contorta :-p
Per concludere ribadisco anche io che i quesiti debbano essere scritti in maniera da lasciare dubbi su altre interpretazioni.
Sono mostrate le due ipotesi: una (a sinistra) parte considerando che CGKO sia un quadrato (plausibile, visto che viene richiesto che le sbarre siano parallele ed equidistanti tra di loro, non che lo siano anche rispetto alle tangenti nei punti M ed E). La seconda ipotesi è quella considerata corretta dal sito, ma dalla figura non si evince chiaramente cosa accade nei pressi di C1C2, G1G2, K1K2 e O1O2, lo si può solo intuire presupponendo, come detto, che il diametro EM, così come AI, sia diviso in sei parti uguali.
Tra le due ipotesi esistono inoltre tanti altri risultati accettabili e compatibili con l'approssimazione della figura, perciò almeno un'altro dei risultati oggi proposti poteva essere considerato esatto. E' tutta una questione di interpretazione del testo. Secondo me erano corrette più di una soluzione anche se una di queste non si poteva ottenere tramite calcoli ma ricadeva comunque all'interno di un range calcolabile. Per assurdo anche altre soluzioni sono accettabili nei pressi di questo range, anche perché disegnando poi la figura in maniera diversa (con sbarre equidistanti ma molto più vicine o più lontane tra loro, si potevano escludere molti risultati perché la figura risultante sarebbe stata palesemente diversa da quella proposta.
Spero di non essere stata troppo contorta :-p
Per concludere ribadisco anche io che i quesiti debbano essere scritti in maniera da lasciare dubbi su altre interpretazioni.
Capisco cosa vuoi dire. Ma usando il teorema di pitagora otterresti il secondo risultato. (E' contando i quadretti dando per scontato che ci fosse un quadrato inscritto che potresti sbagliare in questo caso).
Infatti verrebbe:
$30*4 + sqrt(800)*8 + sqrt(500)*8 +2.5*20= 120+226,27+178,88+50=575.15$ cm.
Infatti verrebbe:
$30*4 + sqrt(800)*8 + sqrt(500)*8 +2.5*20= 120+226,27+178,88+50=575.15$ cm.
scusa non riesco a seguirti...
Forse mi sono spiegata male io:
Figura a sinistra) E' la riproduzione della figura in home page, quella che induce in errore. In questo caso il lato OC si calcola con un semplice Pitagora:
OC = OG/sqrt(2) = 42.42 cm
Figura a destra) Grafico giusto, ottenuto dopo aver suddiviso la diagonale in 6 parti uguali.
In questo caso O2C2 = 2* sqrt(900 - 400) = 44.72 cm
Forse mi sono spiegata male io:
Figura a sinistra) E' la riproduzione della figura in home page, quella che induce in errore. In questo caso il lato OC si calcola con un semplice Pitagora:
OC = OG/sqrt(2) = 42.42 cm
Figura a destra) Grafico giusto, ottenuto dopo aver suddiviso la diagonale in 6 parti uguali.
In questo caso O2C2 = 2* sqrt(900 - 400) = 44.72 cm
Sopra ho calcolato la lunghezza totale.
Comunuqe, questa mi sa che è la versione originale, più semplice e dal testo più chiaro.
(Giochi di Archimede 1996)
Comunuqe, questa mi sa che è la versione originale, più semplice e dal testo più chiaro.
(Giochi di Archimede 1996)
si, hai ragione, in questo modo non ci sarebbero state interpretazioni alternative
:!:
La prima soluzione riportata da francy_s83 non è ammissibile in quanto genera un assurdo:
Se chiamiamo $QR$ la proiezione di $OC$ su $ME$ si ottiene che questo segmento deve avere lunghezza
$QR=OC=42cm$ perché OC e ME perché per definizione sono paralleli
$QR=40cm$ perchè la prima sbarra dista 20cm dalla centrale che ne dista 20 dall'ultima (facendo riferimento solo alle verticali)
si ottiene dunque un assurdo!!!
Si pongono ora due casi: vi è dunque almeno un dato di troppo
l'unico ipotesi finora sfruttata non presente nella traccia è data dal fatto che le sbarre generino un quadrato inscirtto alla circonferenza, il che porta a dire che $OC=20cm$
Dunque è vero si che la figura poteva trarre in inganno, ma una semplice verifica avrebbe chiarito ogni dubbio.
Se chiamiamo $QR$ la proiezione di $OC$ su $ME$ si ottiene che questo segmento deve avere lunghezza
$QR=OC=42cm$ perché OC e ME perché per definizione sono paralleli
$QR=40cm$ perchè la prima sbarra dista 20cm dalla centrale che ne dista 20 dall'ultima (facendo riferimento solo alle verticali)
si ottiene dunque un assurdo!!!
Si pongono ora due casi: vi è dunque almeno un dato di troppo
l'unico ipotesi finora sfruttata non presente nella traccia è data dal fatto che le sbarre generino un quadrato inscirtto alla circonferenza, il che porta a dire che $OC=20cm$
Dunque è vero si che la figura poteva trarre in inganno, ma una semplice verifica avrebbe chiarito ogni dubbio.
"bucarella":
$QR=40cm$ perchè la prima sbarra dista 20cm dalla centrale che ne dista 20 dall'ultima (facendo riferimento solo alle verticali)
questo l'hai presupposto tu, non c'è scritto nel testo del problema. Il testo parla di "10 sbarre poste alla stessa distanza l'una dall'altra", si intende che le cinque verticali sono ognuna equidistante dall'altra, così come anche le cinque orizzontali. Quindi dove sta scritto che questa distanza non possa essere di 11 centimetri o di 9? o di 10,7 o di quello che ti pare?
Secondo me è giusto il ragionamento di "rimonta" e "Francy_s83", non si genera nessun assurdo, sono semplicemente due ipotesi diverse di interpretazione della figura, entrambe corrette.
Correggimi se ho capito male quello che hai scritto
non ci ho capito nulla, perciò chiedo aiuto a qualche anima pia
oppure facciamo che da oggi la matematica é [(é)] un opinione e sono contentissimo
ma se :
1) io disegno le sbarre a 1 cm l'una dall'altra e magari quella centrale non passa neanche per il centro del cerchio
oppure
2) disegno le sbarre a 8 cm l'una dall'altra o peggio 10 cm
nel caso 2 le sbarre sembrano nettamente più corte o la somma totale fa sempre e comunque 575 circa ?????
oppure facciamo che da oggi la matematica é [(é)] un opinione e sono contentissimo
ma se :
1) io disegno le sbarre a 1 cm l'una dall'altra e magari quella centrale non passa neanche per il centro del cerchio
oppure
2) disegno le sbarre a 8 cm l'una dall'altra o peggio 10 cm
nel caso 2 le sbarre sembrano nettamente più corte o la somma totale fa sempre e comunque 575 circa ?????
allora:
1) i diametri devono necessariamente passare per il centro. Nella figura della domanda l'unica cosa chiara è che esistono 2 diametri.
2) In entrambi i disegni le sbarre sono equidistanti, ma la lunghezza totale varia perchè varia la distanza tra di loro! Nella figura a sinistra, le sbarre esterne formano un quadrato iscritto nella circonferenza, in quello a destra no! Cioè non hai un triangolo rettangolo ED isoscele (gli angoli sono 90° e gli altri 2 da 45°), ma SOLO rettangolo (gli altri 2 angoli non sono di 45°!)!!
1) i diametri devono necessariamente passare per il centro. Nella figura della domanda l'unica cosa chiara è che esistono 2 diametri.
2) In entrambi i disegni le sbarre sono equidistanti, ma la lunghezza totale varia perchè varia la distanza tra di loro! Nella figura a sinistra, le sbarre esterne formano un quadrato iscritto nella circonferenza, in quello a destra no! Cioè non hai un triangolo rettangolo ED isoscele (gli angoli sono 90° e gli altri 2 da 45°), ma SOLO rettangolo (gli altri 2 angoli non sono di 45°!)!!
ho modificato al volo l'immagine per spiegarmi meglio
L'angolo in O2 e quello in Y non possono essere di 45°
Mentre nella figura a sinistra, l'angolo al centro e quello in O sono di 45°
L'angolo in O2 e quello in Y non possono essere di 45°
Mentre nella figura a sinistra, l'angolo al centro e quello in O sono di 45°
francy_s83:
ho modificato al volo l'immagine per spiegarmi meglio
L'angolo in O2 e quello in Y non possono essere di 45°
Mentre nella figura a sinistra, l'angolo al centro e quello in O sono di 45°
ma tu sei proprio convinta ? io no
"maurogiulio":
ma tu sei proprio convinta ? io no
Sono convinta si!!!!
Per prima cosa riportati mentalmente X e Y nella figura a sinistra!!
fatto?
a questo punto hai che OX = XY e quindi gli angoli in Y e in O sono di 45° (per definizione!!!!! Se hai cinque linee parallele orizzontali e cinque verticali tutte equidistanti tra loro generi in ogni caso 16 quadratini!! sia nella figura di destra che di sinistra parliamo di quadrati!!!!)
Nella figura di destra invece O2X è DIVERSO da XY quindi l'angolo in O2 sarà di poco inferiore ai 45° e quello in Y di poco superiore!!
Inoltre se prolunghi O2 fino a G2 ottieni una diagonale che è sempre e comunque uguale a 60, quindi sai che O2Y è il raggio e sarà 30, XY = 20 perché nel ragionamento a destra ipotizziamo che sia così (ogni segmento viene 10), con pitagora ti trovi O2Y
Per risolvere il problema a sinistra invece hai la diagonale OG (60cm), quindi con pitagora, visto che sono uguali, ti trovi OK e KG. Per trovare PJ usi la diagonale PH (sempre 60cm) e la distanza nota JH che sarà uguale a OX! con pitagora ti trovi anche PJ
Tutto il post è nato dal fatto che sia l'ipotesi a sinistra che quella a destra potevano essere deducibili dalla figura pubblicata con la domanda, visto che non si capisce bene cosa accade in O, C, K e G, quindi possiamo parlare o di un quadrato inscritto in un cerchio (ipotesi a Sinistra) o di un quadrato più piccolo all'interno del cerchio (ipotesi a destra). Il sito considera giusto il ragionamento a destra, ma anche quello di sinistra è dimostrato essere valido.
più chiara di così non penso di poter essere....
Ho letto il post ora ed effettivamente è vero, il quesito non ha una sola soluzione, poiché non è nota la distanza, ma è solo noto che le sbarre parallele siano equidistanti tra di loro.
Quindi il problema si poteva interpretare in modi differenti al variare della distanza tra le sbarre.
Ignorando per semplicità lo spessore delle sbarre e andando ai limiti, questa distanza poteva oscillare da 0cm fino ad un massimo di R/2=15cm. Nel primo caso le sbarre parallele sono anche coincidenti, nel secondo le sbarre esterne sono punti.
In ogni caso all'interno di questo intervallo [0,15] le condizioni sono sempre rispettate (sbarre equidistanti).
Un altro dato che manca (che si potrebbe evincere dalla figura anche se non precisa), è il fatto che sia la sbarra centrale verticale che quella orizzontale passino per il centro del cerchio.
Supponendo questo dato si hanno un totale di 2 sbarre più lunghe della stessa lunghezza (S1), 4 sbarre medie della stessa lunghezza (S2) e 4 sbarre corte della stessa lunghezza (S3).
Inoltre al totale c'è da aggiungere 2,5cm ogni punto dove una sbarra penetra del muro, per un totale di 20 punti, si ha una lunghezza di 50cm da aggiungere.
Chiamando d la distanza, tale che d appartenga all'insieme dei reali [0,15] si hanno queste misure:
$S1=2*R=60$
$S2=2*sqrt((R)^2-(d)^2)=2*sqrt(900-(d)^2)$
$S2=2*sqrt((R)^2-(2*d)^2)=2*sqrt(900-4*(d)^2)$
Quindi il totale è dato da $2*S1+4*S2+4*S3+50 = 170+8*sqrt(900-(d)^2)+8*sqrt(900-4*(d)^2)$
Si può facilmente verificare che sostituendo 10 viene la soluzione indicata dal quesito. Il fatto è che questa distanza non è fissa ma variabile, quindi di fatto manca quel dato.
Inoltre si potrebbe anche supporre per d diverso da 15 che una o entrambe le sbarre centrali non passino per il centro. Non è scritto da nessuna parte neanche che la maglia sia simmetrica. In questo caso i calcoli sono leggermente più complessi
Quindi il problema si poteva interpretare in modi differenti al variare della distanza tra le sbarre.
Ignorando per semplicità lo spessore delle sbarre e andando ai limiti, questa distanza poteva oscillare da 0cm fino ad un massimo di R/2=15cm. Nel primo caso le sbarre parallele sono anche coincidenti, nel secondo le sbarre esterne sono punti.
In ogni caso all'interno di questo intervallo [0,15] le condizioni sono sempre rispettate (sbarre equidistanti).
Un altro dato che manca (che si potrebbe evincere dalla figura anche se non precisa), è il fatto che sia la sbarra centrale verticale che quella orizzontale passino per il centro del cerchio.
Supponendo questo dato si hanno un totale di 2 sbarre più lunghe della stessa lunghezza (S1), 4 sbarre medie della stessa lunghezza (S2) e 4 sbarre corte della stessa lunghezza (S3).
Inoltre al totale c'è da aggiungere 2,5cm ogni punto dove una sbarra penetra del muro, per un totale di 20 punti, si ha una lunghezza di 50cm da aggiungere.
Chiamando d la distanza, tale che d appartenga all'insieme dei reali [0,15] si hanno queste misure:
$S1=2*R=60$
$S2=2*sqrt((R)^2-(d)^2)=2*sqrt(900-(d)^2)$
$S2=2*sqrt((R)^2-(2*d)^2)=2*sqrt(900-4*(d)^2)$
Quindi il totale è dato da $2*S1+4*S2+4*S3+50 = 170+8*sqrt(900-(d)^2)+8*sqrt(900-4*(d)^2)$
Si può facilmente verificare che sostituendo 10 viene la soluzione indicata dal quesito. Il fatto è che questa distanza non è fissa ma variabile, quindi di fatto manca quel dato.
Inoltre si potrebbe anche supporre per d diverso da 15 che una o entrambe le sbarre centrali non passino per il centro. Non è scritto da nessuna parte neanche che la maglia sia simmetrica. In questo caso i calcoli sono leggermente più complessi
Si dovrebbe sapere la dimensione di un quadrato.
"xXStephXx":
Si dovrebbe sapere la dimensione di un quadrato.
d non è la dimensione di un quadrato ma la distanza tra due sbarre parallele adiacenti.
Per quadrato intendevo i quadratini formati da due sbarre parallele adiacendi e altre due perpendicolari alle prime due.
Per risolverlo unicamente si.
Conoscere quel quadratino equivale a conoscere d poiché il lato è d.
Ma è un dato non noto, quindi può essere un numero qualsiasi come 10 o 9 o 11 o come tanti altri compresi tra 0 e 15.
Conoscere quel quadratino equivale a conoscere d poiché il lato è d.
Ma è un dato non noto, quindi può essere un numero qualsiasi come 10 o 9 o 11 o come tanti altri compresi tra 0 e 15.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo