PRONTI? ARRIVA UN TEOREMA!
Dimostrare che i numeri primi sono infiniti.
Voi come fareste?
Io così (se poi capissi la logica che ci sta dietro...)
Supporre che i numeri primi siano finiti e prenderne, ad esempio, tre a caso:
3,7,5 e moltiplicarli fa di loro = 105
Aggiungere uno= 106
Questa secondo il professore di matematica sarebbe la dimostrazione. Ma 106 non è primo (credo)!
Ciao,
matem.
........................Dal qual com'io un poco ebbi ritratto l'occhio per domandar lo duca mio, rividil più lucente e maggior fatto.
Dante, Paradiso v. 19-21
Voi come fareste?
Io così (se poi capissi la logica che ci sta dietro...)
Supporre che i numeri primi siano finiti e prenderne, ad esempio, tre a caso:
3,7,5 e moltiplicarli fa di loro = 105
Aggiungere uno= 106
Questa secondo il professore di matematica sarebbe la dimostrazione. Ma 106 non è primo (credo)!
Ciao,
matem.
........................Dal qual com'io un poco ebbi ritratto l'occhio per domandar lo duca mio, rividil più lucente e maggior fatto.
Dante, Paradiso v. 19-21
Risposte
Se esiste qualche altra dimostrazione, ditemelo!
Ciao,
matem.
........................Dal qual com'io un poco ebbi ritratto l'occhio per domandar lo duca mio, rividil più lucente e maggior fatto.
Dante, Paradiso v. 19-21
Ciao,
matem.
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Dante, Paradiso v. 19-21
Si suppone che i numeri primi siano in numero finito ad es. come hai fatto , solo tre , cioè i numeri :3,5,7 e poi si ottiene un altro numero che è il loro prodotto +1, cioè appunto 106.
Adesso questo numero, maggiore dei precedenti deve essere un numero composto e quindi divisibile per almeno uno dei numeri precedenti ; invece non lo è per nessuno dei numeri primi ipotizzati 3,5,7 in quanto dalla divisione si ottiene sempre resto 1.
Allora ce ne devono essere altri di numeri primi e generalizzando la cosa con n numeri primi e via via si arriva a dimostrare che i numeri primi devono essere infiniti.
Camillo
Adesso questo numero, maggiore dei precedenti deve essere un numero composto e quindi divisibile per almeno uno dei numeri precedenti ; invece non lo è per nessuno dei numeri primi ipotizzati 3,5,7 in quanto dalla divisione si ottiene sempre resto 1.
Allora ce ne devono essere altri di numeri primi e generalizzando la cosa con n numeri primi e via via si arriva a dimostrare che i numeri primi devono essere infiniti.
Camillo
L'infinità dei numeri primi è uno dei due corollari del teorema fondamentale dell'aritmetica:
Ogni numero naturale m>1 si può scomporre, in un unico modo, in un prodotto di fattori primi.
Questa è una mia personale dimostrazione, molto simile a quella proposta da camillo.
Procediamo per assurdo e supponiamo che i numeri primi siano finiti e che il maggiore di essi sia il numero n.
Sappiamo che i numeri naturali sono infiniti. Esisterà dunque il numero n+1, il quale non potrà essere espresso come prodotto dei numeri primi minori o uguali a n. Siamo quindi andati contro il teorema fondamentale dell'aritmetica, quindi dobbiamo necessariamente negare la tesi e sostenere il suo contrario, che esistono cioè infiniti numeri primi.
Ciao
Ogni numero naturale m>1 si può scomporre, in un unico modo, in un prodotto di fattori primi.
Questa è una mia personale dimostrazione, molto simile a quella proposta da camillo.
Procediamo per assurdo e supponiamo che i numeri primi siano finiti e che il maggiore di essi sia il numero n.
Sappiamo che i numeri naturali sono infiniti. Esisterà dunque il numero n+1, il quale non potrà essere espresso come prodotto dei numeri primi minori o uguali a n. Siamo quindi andati contro il teorema fondamentale dell'aritmetica, quindi dobbiamo necessariamente negare la tesi e sostenere il suo contrario, che esistono cioè infiniti numeri primi.
Ciao
No, scusa Giuseppe non ho capito...
dici che se n e' primo, sicuramente n+1 non e' divisibile per nessun primo minore di n?
Ti faccio notare che se n e' primo, n+1 e' pari e quindi divisibile per 2
in oltre ogni numero n e', proprio per il teorema fondamentale, divisibile per alcuni dei numeri primi minori di n!!!
esempio:
applico il tuo metodo, ok?
supponiamo per assurdo che gli unici numeri primi siano 2, 3 e 5.
n+1=6
6=2*3 !!! dov'e' l'assurdo????????
PER MATEM
Allora il discorso che hai fatto tu e' quasi perfetto, si tratta di capirlo.
Supponiamo che 3, 5 e 7 siano gli UNICI numeri primi. consideriamo ora il numero 3*5*7+1=106
(certo che non e' primo, e' pari)Ora non saltare a conclusioni affrettate, ferm,ati a riflettere
se un numero non e' primo si deve poter scomporre in numeri primi. Quindi delle due l'una o 106 e' primo (FALSO!) o i numeri primi non possono eseere SOLO 3, 5 e 7 perche' nessuno di loro divide 106 (106=2*53).
In ogni caso, partendo dall'ipotesi che solo quei tre erano numeri primi siamo arrivati alla conclusione che ce ne deve essere almeno un altro. Iterando il procedimento si conclude che i numeri primi sono infiniti,
mi sono riuscvito a far capire?
fammi sapere
cia,
Giuseppe
dici che se n e' primo, sicuramente n+1 non e' divisibile per nessun primo minore di n?
Ti faccio notare che se n e' primo, n+1 e' pari e quindi divisibile per 2
in oltre ogni numero n e', proprio per il teorema fondamentale, divisibile per alcuni dei numeri primi minori di n!!!
esempio:
applico il tuo metodo, ok?
supponiamo per assurdo che gli unici numeri primi siano 2, 3 e 5.
n+1=6
6=2*3 !!! dov'e' l'assurdo????????
PER MATEM
Allora il discorso che hai fatto tu e' quasi perfetto, si tratta di capirlo.
Supponiamo che 3, 5 e 7 siano gli UNICI numeri primi. consideriamo ora il numero 3*5*7+1=106
(certo che non e' primo, e' pari)Ora non saltare a conclusioni affrettate, ferm,ati a riflettere
se un numero non e' primo si deve poter scomporre in numeri primi. Quindi delle due l'una o 106 e' primo (FALSO!) o i numeri primi non possono eseere SOLO 3, 5 e 7 perche' nessuno di loro divide 106 (106=2*53).
In ogni caso, partendo dall'ipotesi che solo quei tre erano numeri primi siamo arrivati alla conclusione che ce ne deve essere almeno un altro. Iterando il procedimento si conclude che i numeri primi sono infiniti,
mi sono riuscvito a far capire?
fammi sapere
cia,
Giuseppe
Hem
scusa Camillo! non avevo visto che avevi gia' risposto tu e anche in modo piu' chiaro!
ciao
scusa Camillo! non avevo visto che avevi gia' risposto tu e anche in modo piu' chiaro!
ciao
Ahi...scusate
Giuseppe hai proprio ragione, la mia dimostrazione era diversa, ho detto una cavolata, è che sono stanco a quest'ora; ora penso a come dimostrai in primo l'infinità dei primi partendo dal teorema fondamentale dell'aritmetica e domani posto.
Ciao
Giuseppe hai proprio ragione, la mia dimostrazione era diversa, ho detto una cavolata, è che sono stanco a quest'ora; ora penso a come dimostrai in primo l'infinità dei primi partendo dal teorema fondamentale dell'aritmetica e domani posto.
Ciao
fammi sapere, sono curioso
e non ti preoccupare non penso che ci sia nessuno in questo forum che prima o poi non abbia scritto una cavolata in un momento di stanchezza
ciao omonimo
e non ti preoccupare non penso che ci sia nessuno in questo forum che prima o poi non abbia scritto una cavolata in un momento di stanchezza
ciao omonimo
Scusate, ma se quello che avete postato era un esempio, allora va bene, se invece era la dimostrazione, mi pare inutilmente complicata.
Pur utilizzando LO STESSO concetto, mi pare migliore questa:
«Supponiamo per assurdo che i numeri primi siano finiti, e sia n il loro prodotto. Poichè 2 è un numero primo si ha che n+1 è diverso da 1 e non divisibile per nessun numero primo. Da qusto segue l'assurdo che n+1 è un numero primo diverso dai precedenti. Ne segue che i numeri primi non sono finiti»
Pur utilizzando LO STESSO concetto, mi pare migliore questa:
«Supponiamo per assurdo che i numeri primi siano finiti, e sia n il loro prodotto. Poichè 2 è un numero primo si ha che n+1 è diverso da 1 e non divisibile per nessun numero primo. Da qusto segue l'assurdo che n+1 è un numero primo diverso dai precedenti. Ne segue che i numeri primi non sono finiti»
Ecco bravo infinito, con n indico il prodotto dei numeri primi, non il maggiore, quindi segue che n+1 non è divisibile per nessuno dei numeri primi considerati.
certo, ma questa non e' una novita', e' esattamente la dimostrazione ufficiale. Quello dato prima era un esempio in cui n=106, tutto qui
Giusto Giuseppe si è trattato solo di una formalizzazione generale.
Solo per curiosità, questa dimostrazione è tra le più fondamentali in matematica: risale a 2300 anni fa ed è dimostrata nel Libro IX, proposizione 20, degli Elementi di Euclide!
A quanto ne so, stavolta con meno precisione sulle fonti, tale proposizione, cioé che i numeri primi non sono finiti, è stata dimostrata anche per qualsiasi sistema numerico a base diversa da quella decimale.
Oggi nella ricerca di numeri primi molto grandi è attivo soprattutto il GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) che con la collaborazione di decine di migliaia di PC in tutto il mondo, col test di primalità di Lucas-Lehmer affronta in modo "brutale" ad uno ad uno tutti gli esponenti della forma 2^n +1.
Proprio mentre sto scrivendo il mio PC sta calcolando le iterazioni Lucas-Lehmer di 2^29030219 +1 (speriamo che sia primo!!!!!)
"Considerate la vostra semenza: fatti non foste a viver come
bruti, ma per seguir virtute e canoscenza.»
Dante,Inf.XXVI,118-120
A quanto ne so, stavolta con meno precisione sulle fonti, tale proposizione, cioé che i numeri primi non sono finiti, è stata dimostrata anche per qualsiasi sistema numerico a base diversa da quella decimale.
Oggi nella ricerca di numeri primi molto grandi è attivo soprattutto il GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) che con la collaborazione di decine di migliaia di PC in tutto il mondo, col test di primalità di Lucas-Lehmer affronta in modo "brutale" ad uno ad uno tutti gli esponenti della forma 2^n +1.
Proprio mentre sto scrivendo il mio PC sta calcolando le iterazioni Lucas-Lehmer di 2^29030219 +1 (speriamo che sia primo!!!!!)
"Considerate la vostra semenza: fatti non foste a viver come
bruti, ma per seguir virtute e canoscenza.»
Dante,Inf.XXVI,118-120
volevo osservare una cosetta: la dim di Euclide sull'infinità dei numeri primi non si basa sul th.fond.aritm. in quanto non sfutta l'unicità della fattorizzazione, la quale sembrerebbe dimostrata per la prima volta da Gauss circa 2500 anni dopo euclide.
ciao,ubermensch
ciao,ubermensch
quote:
Originally posted by ciclico
A quanto ne so, stavolta con meno precisione sulle fonti, tale proposizione, cioé che i numeri primi non sono finiti, è stata dimostrata anche per qualsiasi sistema numerico a base diversa da quella decimale.
Non ho capito che cosa intendi, visto che l'essere numero primo è una caratteristica del numero, non di come viene rappresentato; cioè un numero è primo in base 10 sse lo è in qualunque base (ed anche se non viene rappresentato).
Hai ragione....ho cappellato senza pensarci un pò su; mi sarò confuso con qualche altra proprietà che si modifica cambiando base di rappresentazione.
Che ci vuoi fare, infinito, mi viene naturale scomporre 12.237.792 come 2^5 x 3 x 7 x 18211.
Mi viene invece molto meno naturale rappresentarmi 12.237.792 = babbe0 (in esadecimale)= 2^5 x 3 x 7 x 4723 (in esadecimale).
....eppure la figura del babbe0 mi pare proprio di averla fatta.
Ciao
"Considerate la vostra semenza: fatti non foste a viver come
bruti, ma per seguir virtute e canoscenza.»
Dante,Inf.XXVI,118-120
Che ci vuoi fare, infinito, mi viene naturale scomporre 12.237.792 come 2^5 x 3 x 7 x 18211.
Mi viene invece molto meno naturale rappresentarmi 12.237.792 = babbe0 (in esadecimale)= 2^5 x 3 x 7 x 4723 (in esadecimale).
....eppure la figura del babbe0 mi pare proprio di averla fatta.
Ciao
"Considerate la vostra semenza: fatti non foste a viver come
bruti, ma per seguir virtute e canoscenza.»
Dante,Inf.XXVI,118-120
X GIUSEPPEROMA: Grazie mille, ho capito. Ho rivisto questo teorema insieme al prof. di matematica ed è quadrato tutto. Proprio come avevi detto tu...
Ciao,
matem.
........................Dal qual com'io un poco ebbi ritratto l'occhio per domandar lo duca mio, rividil più lucente e maggior fatto.
Dante, Paradiso v. 19-21
Ciao,
matem.
........................Dal qual com'io un poco ebbi ritratto l'occhio per domandar lo duca mio, rividil più lucente e maggior fatto.
Dante, Paradiso v. 19-21
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