Problemini Cesenatico

[Aethelmyth]

1)Sia $f$ una funzione di variabile reale che verifica le condizioni:
(i) $f_((10+x))=f_((10-x))$
(ii) $f_((20+x))=-f_((20-x))$
Per $AA x inRR$. Dimostrare che $f$ è dispari e periodica e trovarne il periodo.

2)Sia $ABCD$ un tetraedro generico di cui si conosce la lunghezza $a$ dello spigolo $AB$ e l'area $S$ della proiezone del tetraedro su un piano perprndicolare alla retta passante per $A$ e $B$. Determinare il volume del tetraedro.

3)Sia $X$ l'insieme dei numeri naturali che in base dieci non si scrivono con una sola cifra ripetuta più volte. Per $AA n in X$ definiamo $A_n$ come l'insieme dei numeri ottenuti permutando in tutti i modi possibili le cifre di $n$, e $d_n$ il massimo comun divisore di tutti i numeri di $A_n$. Si determini il massimo valore possibile di $d_n$

Buon lavoro

[eugenio.amitrano]

(1) $f(10+X) = +f(10-x)$
(2) $f(20+x) = -f(20-x)$

Possiamo scrivere che:
(3) $f(20+x) = f(10+10+x)$
(4) $f(20-x) = f(10+10-x)$

Per la (1):
$f(10+10+x) = f(-x)$
$f(10+10-x) = f(x)$

sostituendo nella (3) e nella (4)
$f(20+x) = f(-x)$
$f(20-x) = f(x)$

Infine sostituendo nella (2) abbiamo che
$f(-x) = -f(x)$

Per cui la funzione e' dispari.

[eugenio.amitrano]

Partendo dalla (2) del post precedente abbiamo che
(1) $f(20+x) = -f(20-x)$

Essendo la funzione dispari, ci risulta che:
$-f(20-x) = f(x-20)$

sostituendo nella (1) abbiamo che
$f(x+20) = f(x-20)$

poniamo $y = x + 20$ e otteniamo che
$f(y) = f(y+40)$

quindi la funzione e' periodica e il suo periodo e' 40.

[Steven11]

Discutevamo io e Eugenio privatamente sulla sua soluzione, ma ho un dubbio e vorrei che qualcuno me lo chiarisca...

Abbiamo
$f(10+x)=f(10-x)$
quindi vale anche
$f(10+y)=f(10-y)$
Posto $y=10+x$
otteniamo
$f(10+10+x)=f(10-10-x)
ovvero
$f(20+x)=f(-x)$ (1)

Ragionando analogamente, ma ponendo $y=10-x$
avremo
$f(10+y)=f(10-y)$
quindi
$f(10+10-x)=f(10-10+x)$ (avendo sostituito y=10-x)
ovvero
$f(20-x)=f(x)$ (2)

Quindi dato che per ipotesi $f(20+x)=-f(20-x)$ sostituendo la (1) e la (2) otteniamo $f(x)=-f(-x)$

Quello che io dico è questo: è valido sostituire il valore y? Questi, si, è solo una questione di simboli... però poi in realtà, ponendo y=10+x, dico che la y è diversa da x, pertanto non so se può essere sostituita con tale facilità.
Che dite? Grazie, ciao.

[Piera4]

2) Siano $A'$,$C'$,$D'$ le proiezioni ortogonali di $A$,$C$ e $D$ sul piano perpendicolare ad $AB$.
$V_(A'D'C'CBD)=S*(A'A+a+D'D+C'C)/3$ per la formula del tronco di prisma a base triangolare.
Sempre per la stessa formula $V_(A'D'C'CDA)=S*(A'A+D'D+C'C)/3$.
$V_(ABCD)=V_(A'D'C'CBD)-V_(A'D'C'CDA)=S*a/3$.

[eugenio.amitrano]

"+Steven+":
Discutevamo io e Eugenio privatamente sulla sua soluzione,........

Ciao Steven,
hai più avuto conferma ?

[Fioravante Patrone1]

si può, si può
visto che $y$ è "qualsiasi", puoi metterci quello che vuoi
ciao

[eugenio.amitrano]

"Fioravante Patrone":si può, si può
visto che $y$ è "qualsiasi", puoi metterci quello che vuoi
ciao

thanks...

[Steven11]

Ok, ecco la conferma.
Grazie a entrambi, ciao.