Problema irrisolto
Qualche tempo fa ho inventato questo quesito ma non ho ancora trovato la soluzione:
“Abbiamo n palline numerate da 1 a n, e n buche, sempre numerate da 1 a n. Si mescolano tutte le palline tra loro e si dispongono in maniera casuale nelle buche (una pallina per ogni buca). Qual è la probabilità, in funzione di n, che almeno una pallina si trovi nella buca corrispondente?”
Facendo delle prove ho notato che se n è pari la probabilità risulta essere minore rispetto a quando n è dispari.
Inoltre, se facciamo assumere a n solo valori dispari, la probabilità diminuisce con l’aumentare di n; con i valori pari succede il contrario.
Quindi (lasciando perdere i casi con 0 o 1 pallina), la probabilità risulta essere massima quando n=3, e minima quando n=2.
Avete in mente qualcosa per aiutarmi nella risoluzione del problema?
“Abbiamo n palline numerate da 1 a n, e n buche, sempre numerate da 1 a n. Si mescolano tutte le palline tra loro e si dispongono in maniera casuale nelle buche (una pallina per ogni buca). Qual è la probabilità, in funzione di n, che almeno una pallina si trovi nella buca corrispondente?”
Facendo delle prove ho notato che se n è pari la probabilità risulta essere minore rispetto a quando n è dispari.
Inoltre, se facciamo assumere a n solo valori dispari, la probabilità diminuisce con l’aumentare di n; con i valori pari succede il contrario.
Quindi (lasciando perdere i casi con 0 o 1 pallina), la probabilità risulta essere massima quando n=3, e minima quando n=2.
Avete in mente qualcosa per aiutarmi nella risoluzione del problema?
Risposte
Dovrebbe essere
$P(n) = 1- \frac{1}{2!}+\cdots + \frac{(-1)^{n+1}}{n!}$.
(Si ha che $P(n) \to 1-e^{-1}$ per $n\to +\infty$.)
Vedi se trovi qualcosa qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Derangement
$P(n) = 1- \frac{1}{2!}+\cdots + \frac{(-1)^{n+1}}{n!}$.
(Si ha che $P(n) \to 1-e^{-1}$ per $n\to +\infty$.)
Vedi se trovi qualcosa qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Derangement
Sembra esatto ma come ci sei arrivato?
E' un problema standard di combinatoria; una possibile soluzione è basata sul principio di inclusione-esclusione:
http://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion- ... le#Example
Trovi informazioni anche nel link che ho già postato.
http://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion- ... le#Example
Trovi informazioni anche nel link che ho già postato.
ah grazie
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