Probabilità "ricorsiva"

[kobeilprofeta]

Due giocatori, A e B. Uno vince e l'altro perde.
Turno di A, vince con probabilità $p$. Se non vince il turno passa a B: anch'esso avrà $p$ di probabilità di vincere, altrimenti il turno ripassa ad A, etc...

sí puó vedere cosí: giocano a freccette. la probabilità di fare centro è $p$, il primo che fa centro vince, parte a tirare A.


Qual è la probabilità di vittoria di A?

[superpippone]

$p/(p+(1-p)*p)$

[kobeilprofeta]

@superpippone

Mmmh... o semplicemente $frac {1}{2-p} $

[superpippone]

Non mi era neanche passata per la mente l'dea di semplificare un po'.........

[kobeilprofeta]

[kobeilprofeta]

Ps: mi sa che ci sei arrivato in maniera diversa da me, perché a me quella forma non era capitata

Io arrivo a
$\sum_{n=0}^{\infty} [p*(1-p)^{2n}]=frac {p}{1-(1-p)^2} $

[marmi1]

Mi sono chiesto, e condivido qui il problema, quale sia il risultato se i due giocatori non hanno prestazioni equivalenti, e fanno centro con probabilità rispettovamente $p$ e $q$.
Ciao,
Marmi

[kobeilprofeta]

"marmi":Mi sono chiesto, e condivido qui il problema, quale sia il risultato se i due giocatori non hanno prestazioni equivalenti, e fanno centro con probabilità rispettovamente $p$ e $q$.
Ciao,
Marmi

L'idea è simile: vince il primo se c'è un numero pari di errori prima del primo centro:
$\sum_0^{\infty} (1-p)^n*(1-q)^n*p=lim_{M to \+infty} frac{p[(1-p)^M(1-q)^M-p(1-p)^M(1-q)^{M+1}-q(1-p)^M(1-q)^{M}-1]}{p(q-1)-q}=frac{p}{p(q-1)-q}*lim [ (1+pq-p-q)^M*[1-p*(1-q-q)]-1 ]=frac{p}{q-p(q-1)}$

se non ho fatto errori (cosa in realtà molto probabile)

[marmi1]

Per altra via, sono arrivato alla stessa conclusione:

Sia $A$ la probabilità che vinca il primo giocatore. Vale:
$A= p+ (1-p)(1-q)A$
Ossia il primo vince con probabilità $p$ più la probabilità che sbagli il primo tiro e che lo sbagli anche il secondo giocatore $(1-p)(1-q)$ moltiplicata per la probabilità di vincere $A$

Ciao,
Marmi

[kobeilprofeta]

E il tuo è un metodo più intelligente obiettivamente. Io mi sono imbattuto in una serie che manco sapevo calcolare a mano

[superpippone]

A me verrebbe così......

$p/(p+(1-p)*q)$

Che è la stessa formula dell'altro esercizio.
Solo che prima $p$ e $q$ erano uguali, per cui si usava solo $p$.......

Basta pensarla così: "Sapendo che uno dei due ha vinto, qual è la probabilità che a vincere sia stato A?"

[kobeilprofeta]

Beh vero