Probabilità e triangoli ottusangoli
Salve ragazzi, vi propongo un problema che sta passando da un forum all'altro. Non so chi sia stato il primo a lanciare questo "problema virus" , e non ho idea di quale sia la soluzione. Posso dirvi che ho provato diversi approcci, ma con risultati differenti. Ciancio alle bande, ecco il problema:
"Dati tre punti le cui coordinate obbediscono indipendentemente le une dalle altre alla medesima distribuzione normale, determinare la probabilità che il triangolo con tali vertici sia acuto." (versione oliforum, nella sezione Matematica non elementare)
"Si scelgano tre punti a caso non allineati in un piano infinito. Qual è la probabilità che questi tre punti siano i vertici di un triangolo ottusangolo?"(versione yahoo answers).
Buon divertimento (insomma, all'inizio sembrava divertente ma poi ....
)
"Dati tre punti le cui coordinate obbediscono indipendentemente le une dalle altre alla medesima distribuzione normale, determinare la probabilità che il triangolo con tali vertici sia acuto." (versione oliforum, nella sezione Matematica non elementare)
"Si scelgano tre punti a caso non allineati in un piano infinito. Qual è la probabilità che questi tre punti siano i vertici di un triangolo ottusangolo?"(versione yahoo answers).
Buon divertimento (insomma, all'inizio sembrava divertente ma poi ....
)
Risposte
Io ho provato così:
Disegno sul foglio due punti A e B. Traccio il segmento AB. Traccio tre rette:
una passante per A e B e la chiamo r
una passante per A e perpendicolare ad AB e la chiamo s
una passante per B e perpendicolare ad AB e la chiamo t
A questo punto il foglio è diviso in sei sezioni (rette escluse) che possiamo numerare da 1 a 6 partendo in alto a sinistra e poi in senso orario.
Ora il punto C puo appartenere ad una delle sei sezioni, oppure alle rette s oppure t (non a r perche i punti non sono allineati)
se appartiene a una delle sezioni 2 o 5 il triangolo è acutangolo
se appartiene a una delle sezioni 1,3,4,6 il triangolo è ottusangolo
se appartiene a s oppure a t il triangolo è rettangolo
fino qua tutto bene, il punto adesso è :
il piano è infinito (e meno male, perche se avessimo avuto una regione di piano finita sarebbero stati problemi, contava anche la posizione dei punti
...)
comunque, essendo il piano infinito, il punto C dovrebbe avere le stesse probabilita di essere in una qualsiasi delle 6 sezioni( tutte infinite equipotenti )
e percio avremo che :
2 volte su 6 il triangolo è acutangolo
4 volte su 6 il triangolo è ottusangolo
lasciando da parte i triangolo rettangoli e li consideriamo come posizioni limite non accettabili, se me lo concedete
....
Disegno sul foglio due punti A e B. Traccio il segmento AB. Traccio tre rette:
una passante per A e B e la chiamo r
una passante per A e perpendicolare ad AB e la chiamo s
una passante per B e perpendicolare ad AB e la chiamo t
A questo punto il foglio è diviso in sei sezioni (rette escluse) che possiamo numerare da 1 a 6 partendo in alto a sinistra e poi in senso orario.
Ora il punto C puo appartenere ad una delle sei sezioni, oppure alle rette s oppure t (non a r perche i punti non sono allineati)
se appartiene a una delle sezioni 2 o 5 il triangolo è acutangolo
se appartiene a una delle sezioni 1,3,4,6 il triangolo è ottusangolo
se appartiene a s oppure a t il triangolo è rettangolo
fino qua tutto bene, il punto adesso è :
il piano è infinito (e meno male, perche se avessimo avuto una regione di piano finita sarebbero stati problemi, contava anche la posizione dei punti
...)comunque, essendo il piano infinito, il punto C dovrebbe avere le stesse probabilita di essere in una qualsiasi delle 6 sezioni( tutte infinite equipotenti )
e percio avremo che :
2 volte su 6 il triangolo è acutangolo
4 volte su 6 il triangolo è ottusangolo
lasciando da parte i triangolo rettangoli e li consideriamo come posizioni limite non accettabili, se me lo concedete
....
[asvg]axes();
circle([0,0], 1);
line([1, -4],[1,4]);
line([-1,-4], [-1,4]);
line([-10,0],[10, 0]);[/asvg]
Quei segmenti in realtà sono rette tangenti alla circonferenza che ha per diametro il segmento AB, dove $A=(x_0, y_0)$ e $B=(x_1, y_1)$ sono due dei tre punti. Affinchè il triangolo ABC sia ottusangolo si deve avere che C appartenga all'insieme
$S= {(x, y)\in RR^2 , x< x_0, y\in RR\setminus{0}} U {(x, y)\in RR^2 : x>x_1, y\in RR\setminus{0}}U{(x, y)\in RR^2 : x^2+y^2< ((d(A,B))/2)^2}$
Dove con dove con d(A,B) indico la distanza tra i punti A e B. Non hai considerato la circonferenza (il mio stesso errore all'inizio). Comunque il piano a questo punto è diviso in 8 sezioni. Se il punto C cade in S allora ABC è ottusangolo, la probabilità dovrebbe quindi essere $6/8 = 3/4 = 75%$... Ma il ragionamento è corretto?? Questo problema mi sta facendo impazzire](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
circle([0,0], 1);
line([1, -4],[1,4]);
line([-1,-4], [-1,4]);
line([-10,0],[10, 0]);[/asvg]
Quei segmenti in realtà sono rette tangenti alla circonferenza che ha per diametro il segmento AB, dove $A=(x_0, y_0)$ e $B=(x_1, y_1)$ sono due dei tre punti. Affinchè il triangolo ABC sia ottusangolo si deve avere che C appartenga all'insieme
$S= {(x, y)\in RR^2 , x< x_0, y\in RR\setminus{0}} U {(x, y)\in RR^2 : x>x_1, y\in RR\setminus{0}}U{(x, y)\in RR^2 : x^2+y^2< ((d(A,B))/2)^2}$
Dove con dove con d(A,B) indico la distanza tra i punti A e B. Non hai considerato la circonferenza (il mio stesso errore all'inizio). Comunque il piano a questo punto è diviso in 8 sezioni. Se il punto C cade in S allora ABC è ottusangolo, la probabilità dovrebbe quindi essere $6/8 = 3/4 = 75%$... Ma il ragionamento è corretto?? Questo problema mi sta facendo impazzire
perché sia acutangolo, il punto C deve avere ascissa in $(x_0, x_1)$, con la circonferenza hai ulteriormente "ristretto la scelta sull'ordinata". se invece $x_C in (-oo, x_0)uu(x_1, +oo)$ il triangolo è ottusangolo. per me la probabilità richiesta è 1.
Grazie per la risposta, ma come giustifichi il fatto che la probabilità sia proprio 1?
perché è limitato l'intervallo di valori che può assumere l'ascissa di C perché il triangolo possa essere acutangolo o rettangolo, su tutto l'insieme dei valori reali.
come dire, qual è la probabilità di scegliere un numero compreso tra 0 e 10 se si può scegliere un qualunque numero reale in condizioni di equiprobabilità?
come dire, qual è la probabilità di scegliere un numero compreso tra 0 e 10 se si può scegliere un qualunque numero reale in condizioni di equiprobabilità?
Ho capito! In pratica, se non ho travisato il tuo messaggio, l'insieme dei punti per i quali il triangolo sia acutangolo ha probabilità nulla! Giusto?
sì, questo è almeno quello che penso io!
io avevo pensato di impostare il problema come avete fatto tu e blackbishop13, solo che non sono capace di inserire grafici (non c'è stata ancora l'urgenza di postarli, e non ho imparato...
). quindi la cosa mi ha confortato nel calcolare la probabilità in base al terzo punto...
io avevo pensato di impostare il problema come avete fatto tu e blackbishop13, solo che non sono capace di inserire grafici (non c'è stata ancora l'urgenza di postarli, e non ho imparato...
). quindi la cosa mi ha confortato nel calcolare la probabilità in base al terzo punto...
Grazie, credo di aver capito
prego.
Concordo con la soluzione trovata.
Paradosso:
Se la probabilità che il triangolo sia ottusangolo è 1, quella di acutangolo è 0, cosi' come quella di un triangolo rettangolo.
Quindi, triangolo acutangolo e rettangolo hanno la stessa probabilita'.
Paradosso:
Se la probabilità che il triangolo sia ottusangolo è 1, quella di acutangolo è 0, cosi' come quella di un triangolo rettangolo.
Quindi, triangolo acutangolo e rettangolo hanno la stessa probabilita'.
Ho modificato un po' il testo, cercando di verificare il fatto che la probabilità fosse 1, ma invece mi risulta minore di 1 
Problema:
Prendere A,B,C tre punti nel piano, fare in modo che AB sia il segmento più lungo, determinare la probabilità che il triangolo A,B,C sia ottusangolo
la cosa assurda è che in questo modo la probabilità che ABC sia ottusangolo è di circa 0.64 (??)
Problema:
Prendere A,B,C tre punti nel piano, fare in modo che AB sia il segmento più lungo, determinare la probabilità che il triangolo A,B,C sia ottusangolo
la cosa assurda è che in questo modo la probabilità che ABC sia ottusangolo è di circa 0.64 (??)
perché, che cosa cambia? è infinita la lunghezza di AB?
il problema è che così strutturato, la probabilità non dipende più dalla lunghezza di AB.
Appena ho un po' di tempo, cercherò di formalizzare i passaggi, magari facendo un disegnino! Grazie per l'interessamento!! Non puoi immaginare quanto sia difficile per me determinare la soluzione di questo problema
Appena ho un po' di tempo, cercherò di formalizzare i passaggi, magari facendo un disegnino! Grazie per l'interessamento!! Non puoi immaginare quanto sia difficile per me determinare la soluzione di questo problema
ci sono tanti tipici problemi che hanno soluzioni diverse a seconda del tipo di approccio, perciò io qualche post fa mi dicevo confortata nel vedere che anche vio avevate impostato il problema come pensavo io...
non dubito che si possa impostare diversamente, ed attendo la tua soluzione, ma certo se usi il metodo usato finora non cambia nulla partire dal segmento di lunghezza maggiore...
se ti interessa, tra qualche giorno posso postare un esempio tipico di problema curioso (famoso) con più soluzioni...
non dubito che si possa impostare diversamente, ed attendo la tua soluzione, ma certo se usi il metodo usato finora non cambia nulla partire dal segmento di lunghezza maggiore...
se ti interessa, tra qualche giorno posso postare un esempio tipico di problema curioso (famoso) con più soluzioni...
Certo che mi interessa 
La probabilità è un ramo della matematica molto complesso, ma altrettanto affascinante
Comunque provo a fare il disegno di quello che intendo dire:
[asvg]axes();
circle([0,0], 1);
circle([1,0], 2);
circle([-1,0],2);
text([-1,0],"A", aboveleft);
text([1,0],"B", aboveright);
text([0,-1.73],"H", belowleft);
text([0, 1.73], "K", aboveright);[/asvg]
Siano $A= (-r,0), B=(r,0)$
A noi interessa l'insieme dei punti interni alla figura (AHBK).
Vado nel dettaglio:
Siano $A= (-r,0), B=(r,0)$
Se il punto C è uno dei punti interni del cerchio di centro (0,0) e raggio r allora il triangolo ABC è ottusangolo, mentre se C appartiene all'insieme $(B[(-r,0), 2r]\cap B[(r,0), 2r])\setminus B[(0,0), r]$ allora il triangolo è acutangolo (con $B[(x_0,y_0), k]$ indico la "palla piena" di centro $(x_0, y_0)$ e raggio k).
Se C cade all'esterno di questi insiemi, allora viene meno una condizione del problema, infatti, abbiamo preteso che AB sia il segmento più lungo.
Ora calcolo l'area dell'insieme AKBH, sfruttando la simmetria, e qualche altra proprietà dell'integrale:
$\frac{Area_{AKBH}}{4}= \int_r^{2r}\sqrt{(2r)^2-x^2}dx= \frac{1}{6}(4\pi-3\sqrt{3})r^2$ da cui:
$Area_{AKBH}= \frac{2}{3}(4\pi-3\sqrt{3})r^2
di conseguenza:
$P= \frac{\pi r^2}{Area_{AKBH}}= \frac{3\pi}{2(4\pi-3\sqrt{3})}=0,64 $ circa (scusami, non ricordo come si fa il "circa uguale" )
La probabilità è un ramo della matematica molto complesso, ma altrettanto affascinante
Comunque provo a fare il disegno di quello che intendo dire:
[asvg]axes();
circle([0,0], 1);
circle([1,0], 2);
circle([-1,0],2);
text([-1,0],"A", aboveleft);
text([1,0],"B", aboveright);
text([0,-1.73],"H", belowleft);
text([0, 1.73], "K", aboveright);[/asvg]
Siano $A= (-r,0), B=(r,0)$
A noi interessa l'insieme dei punti interni alla figura (AHBK).
Vado nel dettaglio:
Siano $A= (-r,0), B=(r,0)$
Se il punto C è uno dei punti interni del cerchio di centro (0,0) e raggio r allora il triangolo ABC è ottusangolo, mentre se C appartiene all'insieme $(B[(-r,0), 2r]\cap B[(r,0), 2r])\setminus B[(0,0), r]$ allora il triangolo è acutangolo (con $B[(x_0,y_0), k]$ indico la "palla piena" di centro $(x_0, y_0)$ e raggio k).
Se C cade all'esterno di questi insiemi, allora viene meno una condizione del problema, infatti, abbiamo preteso che AB sia il segmento più lungo.
Ora calcolo l'area dell'insieme AKBH, sfruttando la simmetria, e qualche altra proprietà dell'integrale:
$\frac{Area_{AKBH}}{4}= \int_r^{2r}\sqrt{(2r)^2-x^2}dx= \frac{1}{6}(4\pi-3\sqrt{3})r^2$ da cui:
$Area_{AKBH}= \frac{2}{3}(4\pi-3\sqrt{3})r^2
di conseguenza:
$P= \frac{\pi r^2}{Area_{AKBH}}= \frac{3\pi}{2(4\pi-3\sqrt{3})}=0,64 $ circa (scusami, non ricordo come si fa il "circa uguale"
)
me lo vedrò con calma, comunque credo di aver capito che cosa intendi. certo che è un altro problema...!
ti prego, però, non ricorrere agli integrali quando non ce n'è bisogno...
bisognerebbe piuttosto dare un valore anche alla probabilità che AB sia il lato maggiore ...
propongo un'altra variante:
dato il lato AB, scelto a caso il punto C, valutare la probabilità che l'angolo in C sia ottuso (in tal caso la probabilità per me è zero...)
il circa uguale fino a poco fa non lo sapevo fare neppure io... se ti va bene il simbolo di congruenza, è \$~=\$, dove ~ si ottiene con Alt+126
ti prego, però, non ricorrere agli integrali quando non ce n'è bisogno...
bisognerebbe piuttosto dare un valore anche alla probabilità che AB sia il lato maggiore ...
propongo un'altra variante:
dato il lato AB, scelto a caso il punto C, valutare la probabilità che l'angolo in C sia ottuso (in tal caso la probabilità per me è zero...)
il circa uguale fino a poco fa non lo sapevo fare neppure io... se ti va bene il simbolo di congruenza, è \$~=\$, dove ~ si ottiene con Alt+126
"adaBTTLS":
dato il lato AB, scelto a caso il punto C, valutare la probabilità che l'angolo in C sia ottuso (in tal caso la probabilità per me è zero...)
piu' o meno, è lo stesso problema iniziale, no ?
"Mathematico":
Certo che mi interessa
La probabilità è un ramo della matematica molto complesso, ma altrettanto affascinante
In effetti questo calcolo potrebbe sembrare che contraddice quello precedentemente fatto.
Però, c'e' un pero'. Ovvero che tu hai "fissato" una condizione, quella che AB sia il lato piu' lungo.
"adaBTTLS":
ti prego, però, non ricorrere agli integrali quando non ce n'è bisogno...
Scusami, ritenevo che fosse il modo più veloce... Quale formula mi consiglieresti di utilizzare in questi casi?
"adaBTTLS":
bisognerebbe piuttosto dare un valore anche alla probabilità che AB sia il lato maggiore ...
propongo un'altra variante:
dato il lato AB, scelto a caso il punto C, valutare la probabilità che l'angolo in C sia ottuso (in tal caso la probabilità per me è zero...)
Ok, mi impegnerò a risolverlo, sperando di riuscirci
"adaBTTLS":
il circa uguale fino a poco fa non lo sapevo fare neppure io... se ti va bene il simbolo di congruenza, è \$~=\$, dove ~ si ottiene con Alt+126
Grazie, spero di ricordarlo
"Umby":
[quote="Mathematico"]Certo che mi interessa
La probabilità è un ramo della matematica molto complesso, ma altrettanto affascinante
In effetti questo calcolo potrebbe sembrare che contraddice quello precedentemente fatto.
Però, c'e' un pero'. Ovvero che tu hai "fissato" una condizione, quella che AB sia il lato piu' lungo.
[/quote]Anche a me sta venendo il dubbio che non sia lo stesso problema
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