Probabilità e triangoli ottusangoli
Salve ragazzi, vi propongo un problema che sta passando da un forum all'altro. Non so chi sia stato il primo a lanciare questo "problema virus" , e non ho idea di quale sia la soluzione. Posso dirvi che ho provato diversi approcci, ma con risultati differenti. Ciancio alle bande, ecco il problema:
"Dati tre punti le cui coordinate obbediscono indipendentemente le une dalle altre alla medesima distribuzione normale, determinare la probabilità che il triangolo con tali vertici sia acuto." (versione oliforum, nella sezione Matematica non elementare)
"Si scelgano tre punti a caso non allineati in un piano infinito. Qual è la probabilità che questi tre punti siano i vertici di un triangolo ottusangolo?"(versione yahoo answers).
Buon divertimento (insomma, all'inizio sembrava divertente ma poi ....
)
"Dati tre punti le cui coordinate obbediscono indipendentemente le une dalle altre alla medesima distribuzione normale, determinare la probabilità che il triangolo con tali vertici sia acuto." (versione oliforum, nella sezione Matematica non elementare)
"Si scelgano tre punti a caso non allineati in un piano infinito. Qual è la probabilità che questi tre punti siano i vertici di un triangolo ottusangolo?"(versione yahoo answers).
Buon divertimento (insomma, all'inizio sembrava divertente ma poi ....
)
Risposte
@ Mathematico
prego.
riguardo il calcolo delle aree senza l'uso degli integrali, tieni presente che l'area di un segmento circolare a una base è la differenza tra l'area del corrispondente settore circolare e l'area del triangolo isoscele con base coincidente con quella del segmento (la corda) e vertice nel centro del cerchio.
@ Umby
il problema, così, certo che è simile, ma è un "quasi inverso" del precedente. non ti pare?
prego.
riguardo il calcolo delle aree senza l'uso degli integrali, tieni presente che l'area di un segmento circolare a una base è la differenza tra l'area del corrispondente settore circolare e l'area del triangolo isoscele con base coincidente con quella del segmento (la corda) e vertice nel centro del cerchio.
@ Umby
il problema, così, certo che è simile, ma è un "quasi inverso" del precedente. non ti pare?
Grazie AdaBTTLS, sono un demente!! Hai ragione, in quel momento pensavo che l'unico modo per determinare quelle aree fosse utilizzare gli integrali.
Ho ragionato al tuo problema... Vedi se va bene:
(disegnino
)
[asvg]axes();
circle([0,0], 2);
circle([0,0], 5);
text([-2,0],"A", aboveleft);
text([2,0],"B", aboveright);
text([1,1], "r", belowleft);
text([0,3], "k r", aboveleft);
text([-5, 0], "H", aboveleft);
text([5,0], "K", aboveright);
line([0,0], [1, 1.73]);
line([0,0], [-1, 4.8989]);[/asvg]
Come al solito:
$A= (-r,0), B=(r,0)$
$H= (-kr,0), K= (kr,0)$ con $k>1$
Il segmento principale è sempre AB, l'angolo in C è ottuso se e solo se C "vive" nel cerchio di raggio $r$ e centro $(0,0)$.
pertanto:
$P_k= \frac{r^2 \pi}{k^2 r^2 \pi}= \frac{1}{k^2}$
facendo tendere $k$ a $+\infty$
$P= lim_{k->+\infty} P_k=0$
Ho ragionato al tuo problema... Vedi se va bene:
(disegnino
)[asvg]axes();
circle([0,0], 2);
circle([0,0], 5);
text([-2,0],"A", aboveleft);
text([2,0],"B", aboveright);
text([1,1], "r", belowleft);
text([0,3], "k r", aboveleft);
text([-5, 0], "H", aboveleft);
text([5,0], "K", aboveright);
line([0,0], [1, 1.73]);
line([0,0], [-1, 4.8989]);[/asvg]
Come al solito:
$A= (-r,0), B=(r,0)$
$H= (-kr,0), K= (kr,0)$ con $k>1$
Il segmento principale è sempre AB, l'angolo in C è ottuso se e solo se C "vive" nel cerchio di raggio $r$ e centro $(0,0)$.
pertanto:
$P_k= \frac{r^2 \pi}{k^2 r^2 \pi}= \frac{1}{k^2}$
facendo tendere $k$ a $+\infty$
$P= lim_{k->+\infty} P_k=0$
ingegnoso.
la mia idea era invece di utilizzare un metodo semplice come per il primo problema ragionando questa volta sull'ordinata, restringendo il tutto al sottocaso "ascissa compresa tra -r e +r", perché viene comunque zero e un triangolo non può avere più di un angolo non acuto...
la mia idea era invece di utilizzare un metodo semplice come per il primo problema ragionando questa volta sull'ordinata, restringendo il tutto al sottocaso "ascissa compresa tra -r e +r", perché viene comunque zero e un triangolo non può avere più di un angolo non acuto...
"Mathematico":
Ho ragionato al tuo problema... Vedi se va bene:
(disegnino
a me piaceva di piu' l'altro.
In questo ultimo, mi sembra, che non hai tenuto conto che il lato AB sia il maggiore ... sbaglio ?
"adaBTTLS":
la mia idea era invece di utilizzare un metodo semplice come per il primo problema ragionando questa volta sull'ordinata, restringendo il tutto al sottocaso "ascissa compresa tra -r e +r", perché viene comunque zero e un triangolo non può avere più di un angolo non acuto...
Scusami, non mi è chiaro
Non è lo stesso ragionamento che ho utilizzato?
"adaBTTLS":
@ Umby
il problema, così, certo che è simile, ma è un "quasi inverso" del precedente. non ti pare?
mahh... a me sembra simile.
Prima si parlava di 3 punti, ne avevamo fissati due e valutavamo il terzo in che modo cambiava,
ora invece si parla di un lato AB e del terzo punto...
.. stiamo lì.
"Umby":
[quote="Mathematico"]
Ho ragionato al tuo problema... Vedi se va bene:
(disegnino
a me piaceva di piu' l'altro.
In questo ultimo, mi sembra, che non hai tenuto conto che il lato AB sia il maggiore ... sbaglio ?
[/quote]Scusami, ma affinchè l'angolo in C sia ottuso, non deve essere necessariamente AB il lato più lungo?
"Mathematico":
Scusami, ma affinchè l'angolo in C sia ottuso, non deve essere necessariamente AB il lato più lungo?
Mi spiego meglio:
Lascia perdere per un attimo l'angolo C (ottuso o acuto che sia), e disegna l'area dove deve cadere il punto C affinchè il lato AB sia il lato maggiore.
Dovrebbe essere questa:
$A= (-r,0), B=(r,0)$
[asvg]axes();
circle([0,0], 2);
circle([2,0], 4);
circle([-2,0],4);
text([-2,0],"A", belowleft);
text([2,0], "B", belowright);[/asvg]
Non so se dal disegno si capisce comunque l'area è data dall'intersezione delle due circonferenze di raggio $2r$, una delle quali ha centro in $A$, mentre l'altra in $B$
$A= (-r,0), B=(r,0)$
[asvg]axes();
circle([0,0], 2);
circle([2,0], 4);
circle([-2,0],4);
text([-2,0],"A", belowleft);
text([2,0], "B", belowright);[/asvg]
Non so se dal disegno si capisce comunque l'area è data dall'intersezione delle due circonferenze di raggio $2r$, una delle quali ha centro in $A$, mentre l'altra in $B$
"Mathematico":
Non so se dal disegno si capisce comunque l'area è data dall'intersezione delle due circonferenze di raggio $2r$, una delle quali ha centro in $A$, mentre l'altra in $B$
Perfetto... ecco perchè prima ho detto che mi piaceva di piu il primo disegno.
Nel secondo ci sta quella circonferenza (H, K) che non mi convinceva affatto.
Prova colori:
[asvg]axes();
fill="green";
circle([1,0], 2);
fill="red";
circle([-1,0],2);
text([-1,0],"A", belowleft);
text([1,0], "B", belowright);[/asvg]
[asvg]axes();
fill="green";
circle([1,0], 2);
fill="red";
circle([-1,0],2);
text([-1,0],"A", belowleft);
text([1,0], "B", belowright);[/asvg]
Pensavo che l'intersezione me la colorasse diversamente. 
"Umby":
[quote="Mathematico"]
Non so se dal disegno si capisce comunque l'area è data dall'intersezione delle due circonferenze di raggio $2r$, una delle quali ha centro in $A$, mentre l'altra in $B$
Perfetto... ecco perchè prima ho detto che mi piaceva di piu il primo disegno.
Nel secondo ci sta quella circonferenza (H, K) che non mi convinceva affatto.
[/quote]Posso chiederti perchè non ti convince? Inoltre così facendo la probabilità risulta maggiore di 0...
@ Umby
se mi spieghi come risolveresti il problema che tu definisci identico al precedente (procedimento, non soluzione), forse ci capiamo di più,
perché tra quasi uguali e quasi inversi ci si parla in un linguaggio tutt'altro che matematico...
se mi spieghi come risolveresti il problema che tu definisci identico al precedente (procedimento, non soluzione), forse ci capiamo di più,
perché tra quasi uguali e quasi inversi ci si parla in un linguaggio tutt'altro che matematico...
"Mathematico":
Posso chiederti perchè non ti convince? Inoltre così facendo la probabilità risulta maggiore di 0...
Infatti..... penso che stiamo facendo un po confusione.
Dobbiamo decidere se il lato AB è il maggiore o no.
Se è vero che è il maggiore dobbiamo "restringere" la nostra area di osservazione all'area di intersezione delle due circonferenze (quella che hai disegnato te prima).
Se invece AB è un lato qualsiasi (non il maggiore), allora si che la % è zero.
"adaBTTLS":
@ Umby
se mi spieghi come risolveresti il problema che tu definisci identico al precedente (procedimento, non soluzione), forse ci capiamo di più,
perché tra quasi uguali e quasi inversi ci si parla in un linguaggio tutt'altro che matematico...
Davo per scontato che il lato AB fosse il maggiore (inizialmente il quesito era stato posto in questi termini), pertanto il procedimento che adotterei è quello di rapportare l'area del cerchio piccolo con l'area di intersezione dei due cerchi. (cosi' come inizialmente era stato impostato)
dunque, tento di fare il punto della situazione:
inizialmente si parlava della probabilità di prendere il punto C, dopo aver fissato i punti A e B, in maniera tale che il triangolo risultasse acutangolo, o ottusangolo ...
poi si è parlato di fissare sempre il segmento AB, e trovare la probabilità che ABC sia acutangolo, ottusangolo, ... , nell'ipotesi che AB fosse il lato maggiore.
a quel punto sono venute diverse interpretazioni con diverse varianti del problema.
quello del disegno di Mathematico che piace a Umby è preciso in quanto risponde alla domanda "qual è la probabilità che ABC sia ottusangolo nell'ipotesi (quindi probabilità condizionata) che AB sia il lato maggiore?" ... e questo non mi pare proprio che sia lo stesso problema del primo post.
la schematizzazione con i cerchi concentrici rispondeva ad un'altra domanda, quella del problema che ponevo io: "qual è la probabilità che, fissati A e B, prendendo a caso un punto C, l'angolo ACB è ottuso?" ... e questa non la vedrei come una probabilità condizionata.
io però parlavo di analogia con il problema iniziale, anzi di "quasi inverso" in questo senso:
per rispondere alla domanda precedente: "qual è la probabilità che, fissati A e B, prendendo a caso un punto C, l'angolo ACB è ottuso?",
tengo conto del fatto che un triangolo ha almeno due angoli acuti, per cui trovo la probabilità che sia "A acuto, B acuto, C ottuso".
nella rappresentazione iniziale, "A acuto e B acuto" significa che C ha ascissa compresa tra -r ed r, e per di più se C è ottuso allora si trova all'interno della circonferenza di raggio r. ... quindi è zero la probabilità che C sia ottuso.
una piccola variante che proponevo era appunto trovare la probabilità condizionata "che C sia ottuso nell'ipotesi che A e B siano acuti": questo è più propriamente l'esercizio "quasi inverso" di quello iniziale (o meglio della mia soluzione semplificata) perché si può risolvere ragionando solo sull'ordinata di C...
inizialmente si parlava della probabilità di prendere il punto C, dopo aver fissato i punti A e B, in maniera tale che il triangolo risultasse acutangolo, o ottusangolo ...
poi si è parlato di fissare sempre il segmento AB, e trovare la probabilità che ABC sia acutangolo, ottusangolo, ... , nell'ipotesi che AB fosse il lato maggiore.
a quel punto sono venute diverse interpretazioni con diverse varianti del problema.
quello del disegno di Mathematico che piace a Umby è preciso in quanto risponde alla domanda "qual è la probabilità che ABC sia ottusangolo nell'ipotesi (quindi probabilità condizionata) che AB sia il lato maggiore?" ... e questo non mi pare proprio che sia lo stesso problema del primo post.
la schematizzazione con i cerchi concentrici rispondeva ad un'altra domanda, quella del problema che ponevo io: "qual è la probabilità che, fissati A e B, prendendo a caso un punto C, l'angolo ACB è ottuso?" ... e questa non la vedrei come una probabilità condizionata.
io però parlavo di analogia con il problema iniziale, anzi di "quasi inverso" in questo senso:
per rispondere alla domanda precedente: "qual è la probabilità che, fissati A e B, prendendo a caso un punto C, l'angolo ACB è ottuso?",
tengo conto del fatto che un triangolo ha almeno due angoli acuti, per cui trovo la probabilità che sia "A acuto, B acuto, C ottuso".
nella rappresentazione iniziale, "A acuto e B acuto" significa che C ha ascissa compresa tra -r ed r, e per di più se C è ottuso allora si trova all'interno della circonferenza di raggio r. ... quindi è zero la probabilità che C sia ottuso.
una piccola variante che proponevo era appunto trovare la probabilità condizionata "che C sia ottuso nell'ipotesi che A e B siano acuti": questo è più propriamente l'esercizio "quasi inverso" di quello iniziale (o meglio della mia soluzione semplificata) perché si può risolvere ragionando solo sull'ordinata di C...
"adaBTTLS":
dunque, tento di fare il punto della situazione:
direi una analisi perfetta....
Mi ero accorto gia' precedentemente che stavamo parlando di due problemi diversi....
grazie!
ora posso proporre il famoso problema di cui vi ho parlato ... però forse è il caso che apra un altro topic. ciao.
ora posso proporre il famoso problema di cui vi ho parlato ... però forse è il caso che apra un altro topic. ciao.
Grazie AdaBTTLS, sei stat* eccezionale 
Ringrazio anche Umby!
Ringrazio anche Umby!
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