Probabilità e triangoli ottusangoli
Salve ragazzi, vi propongo un problema che sta passando da un forum all'altro. Non so chi sia stato il primo a lanciare questo "problema virus" , e non ho idea di quale sia la soluzione. Posso dirvi che ho provato diversi approcci, ma con risultati differenti. Ciancio alle bande, ecco il problema:
"Dati tre punti le cui coordinate obbediscono indipendentemente le une dalle altre alla medesima distribuzione normale, determinare la probabilità che il triangolo con tali vertici sia acuto." (versione oliforum, nella sezione Matematica non elementare)
"Si scelgano tre punti a caso non allineati in un piano infinito. Qual è la probabilità che questi tre punti siano i vertici di un triangolo ottusangolo?"(versione yahoo answers).
Buon divertimento (insomma, all'inizio sembrava divertente ma poi ....
)
"Dati tre punti le cui coordinate obbediscono indipendentemente le une dalle altre alla medesima distribuzione normale, determinare la probabilità che il triangolo con tali vertici sia acuto." (versione oliforum, nella sezione Matematica non elementare)
"Si scelgano tre punti a caso non allineati in un piano infinito. Qual è la probabilità che questi tre punti siano i vertici di un triangolo ottusangolo?"(versione yahoo answers).
Buon divertimento (insomma, all'inizio sembrava divertente ma poi ....
)
Risposte
grazie a te dei complimenti!
Il calcolo delle probabilità non è il mio forte, comunque proverei a risolvere questo esercizio, con l'aiuto di una persona un po' più esperta in questo campo chi sa che non riesca a risolvere.
Innanzi tutto vorrei chiedere che cosa si intende per stessa distribuzione normale dei 3 punti, si intende che fissato un punto del piano (il centro della distribuzione) e scelto un sistema di coordinate circolari (raggio e angolo rispetto ad una direzione fissata) si ha una "mezza" distribuzione gaussiana sul raggio e una distribuzione casuale sull'angolo uguale per i 3 punti?
Ammesso che abbia capito bene questo, semplificherei il problema partendo dal ricavarmi la probabilità che, presi due punti A e B questi abbiano una tot distanza tra di loro e il punto intermedio del segmento abbia una tot distanza da una retta passante per il centro della distribuzione, perpendicolare al segmento (non è importante quale retta sia, visto che le distribuzioni dei tre punti sono ugali e simmetriche rispetto ad un centro).
Trovata la distribuzione di probabilità in funzione di questi due parametri distinguerei le superfici del piano entro le quali scelto il terzo punto il triangolo è acuto (circonferenze centrate nel punto medio del segmento e con diametro uguale al segmento) e calcolerei la probabilità che il punto si trovi all'esterno di queste circonferenze in funzione dei due parametri precedenti.
Se la distribuzione è gaussiana questa probabilità non è 1.
Innanzi tutto vorrei chiedere che cosa si intende per stessa distribuzione normale dei 3 punti, si intende che fissato un punto del piano (il centro della distribuzione) e scelto un sistema di coordinate circolari (raggio e angolo rispetto ad una direzione fissata) si ha una "mezza" distribuzione gaussiana sul raggio e una distribuzione casuale sull'angolo uguale per i 3 punti?
Ammesso che abbia capito bene questo, semplificherei il problema partendo dal ricavarmi la probabilità che, presi due punti A e B questi abbiano una tot distanza tra di loro e il punto intermedio del segmento abbia una tot distanza da una retta passante per il centro della distribuzione, perpendicolare al segmento (non è importante quale retta sia, visto che le distribuzioni dei tre punti sono ugali e simmetriche rispetto ad un centro).
Trovata la distribuzione di probabilità in funzione di questi due parametri distinguerei le superfici del piano entro le quali scelto il terzo punto il triangolo è acuto (circonferenze centrate nel punto medio del segmento e con diametro uguale al segmento) e calcolerei la probabilità che il punto si trovi all'esterno di queste circonferenze in funzione dei due parametri precedenti.
Se la distribuzione è gaussiana questa probabilità non è 1.
"nnsoxke":
Il calcolo delle probabilità non è il mio forte, comunque proverei a risolvere questo esercizio, con l'aiuto di una persona un po' più esperta in questo campo chi sa che non riesca a risolvere.
Innanzi tutto vorrei chiedere che cosa si intende per stessa distribuzione normale dei 3 punti, si intende che fissato un punto del piano (il centro della distribuzione) e scelto un sistema di coordinate circolari (raggio e angolo rispetto ad una direzione fissata) si ha una "mezza" distribuzione gaussiana sul raggio e una distribuzione casuale sull'angolo uguale per i 3 punti?
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Se la distribuzione è gaussiana questa probabilità non è 1.
io ho considerato "stessa distribuzione uniforme nel piano", mi era sfuggito il termine "normale", e con "stessa distribuzione dei tre punti" intendo che per ogni regione del piano ciascun punto preso singolarmente ha la stessa probabilità di ciascuno degli altri due di appartenere a tale regione.
"nnsoxke":
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Ammesso che abbia capito bene questo, semplificherei il problema partendo dal ricavarmi la probabilità che, presi due punti A e B questi abbiano una tot distanza tra di loro e il punto intermedio del segmento abbia una tot distanza da una retta passante per il centro della distribuzione, perpendicolare al segmento (non è importante quale retta sia, visto che le distribuzioni dei tre punti sono ugali e simmetriche rispetto ad un centro).
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non ho capito. di quale costruzione geometrica parli?
"nnsoxke":
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Trovata la distribuzione di probabilità in funzione di questi due parametri distinguerei le superfici del piano entro le quali scelto il terzo punto il triangolo è acuto (circonferenze centrate nel punto medio del segmento e con diametro uguale al segmento) e calcolerei la probabilità che il punto si trovi all'esterno di queste circonferenze in funzione dei due parametri precedenti.
Se la distribuzione è gaussiana questa probabilità non è 1.
sia perché non ho capito la parte precedente, sia perché "urge" un'interpretazione di "stessa distribuzione normale dei 3 punti", ti chiedo di proporre la tua soluzione spiegando come prendi a caso i tre punti e come calcoli la probabilità. ciao e grazie.
Procederei così, qualcuno mi corregga se sbaglio.
Innanzitutto per distribuzione normale uguale per i tre punti ho inteso una distribuzione gaussiana in funzione del raggio, fissato un centro sul piano e un sistema di coordinte circolari, e indipendente dall'angolo. Ho supposto che le tre distribuzioni abbiano lo stesso scarto quadratico medio e siano centrate nello stesso punto (l'origine del sistema di coordinate).
A questo punto semplificherei il problema facendo delle osservazioni: dati due punti e presa la circonferenza che ha come diametro il segmento che li unisce, la condizione per cui il terzo punto dà un triangolo acuto è che si trovi all'esterno di questa circonferenza; essendo le distribuzioni di probabilità per i tre punti uguali e simmetriche con lo stesso centro, su ogni direzione individuata dalla posizione del centro della circonferenza e l'origine abbiamo gli stessi casi.
Passo quindi a calcolare la probabilità che, date due circonferenze (una fissa sul piano) che si intersecano con lo stesso raggio e il cui centro si trova alla stessa distanza dall'origine, uno dei 3 punti si trovi all'interno della superficie appartenente a solo uno dei due cerchi (i due cerchi esclusa l'intersezione) e un altro punto sia "diametralmente opposto".
Qui ho poi dei dubbi su come calcolare da questo la probabilità che i punti siano diametralmente opposti su una qualsiasi circonferenza (per qualsiasi coordinata angolare del centro) di tale raggio e tale distanza dall'origine...
Innanzitutto per distribuzione normale uguale per i tre punti ho inteso una distribuzione gaussiana in funzione del raggio, fissato un centro sul piano e un sistema di coordinte circolari, e indipendente dall'angolo. Ho supposto che le tre distribuzioni abbiano lo stesso scarto quadratico medio e siano centrate nello stesso punto (l'origine del sistema di coordinate).
A questo punto semplificherei il problema facendo delle osservazioni: dati due punti e presa la circonferenza che ha come diametro il segmento che li unisce, la condizione per cui il terzo punto dà un triangolo acuto è che si trovi all'esterno di questa circonferenza; essendo le distribuzioni di probabilità per i tre punti uguali e simmetriche con lo stesso centro, su ogni direzione individuata dalla posizione del centro della circonferenza e l'origine abbiamo gli stessi casi.
Passo quindi a calcolare la probabilità che, date due circonferenze (una fissa sul piano) che si intersecano con lo stesso raggio e il cui centro si trova alla stessa distanza dall'origine, uno dei 3 punti si trovi all'interno della superficie appartenente a solo uno dei due cerchi (i due cerchi esclusa l'intersezione) e un altro punto sia "diametralmente opposto".
Qui ho poi dei dubbi su come calcolare da questo la probabilità che i punti siano diametralmente opposti su una qualsiasi circonferenza (per qualsiasi coordinata angolare del centro) di tale raggio e tale distanza dall'origine...
vediamo se ho capito.
avendo stabilito un punto origine del piano ($O$), prendiamo le coordinale polari di un generico punto $P(rho, theta)$, e la probabilità di $P$ dipende da $rho=bar(OP)$ e non dipende dall'angolo $theta$.
allora, si potrebbe definire la densità di probabilità di $P$ in questo modo: $den("dist"=rho)=1/(sigma sqrt(2pi)) e^-((rho^2)/(2sigma^2))$
ma se consideriamo tre punti, $" "A(rho_1, theta_1), " "B(rho_2, theta_2)," "C(rho_3, theta_3)" "$, la distanza tra due di essi ovviamente dipende anche dagli angoli. penso che sia abbastanza complicato partire da qui, anche se magari con questo spunto ed una tua idea potrebbe essere facile ...
propongo una variante, che però non risolve il problema anche se lo rende secondo me accessibile.
immagina di conoscere due punti, $A, B$, e di limitarti a studiare la probabilità della posizione del terzo punto $C$.
puoi immaginare di trovare "media" e "varianza" solo attraverso le posizioni dei due punti, per cui potresti prendere come "origine" il punto medio di $AB$ (magari è quello che cercavi di spiegare nell'altro post che non ho capito...), per cui la "media" sarebbe $0$ ed anche la varianza la si calcolerebbe in maniera banale (verrebbe $1/4bar(AB)^2$), per cui $rho=sigma=1/2 bar(AB)$, e la probabilità che $hatC$ sia ottuso è la probabilità che $C$ si trovi all'interno della circonferenza di diametro $AB$, dunque la formula della densità di cui sopra con $sigma=rho$ ...
devo specificare che così trovi solo la probabilità che $hatC$ sia ottuso, non che il triangolo sia ottusangolo.
se infatti rivedi i post precedenti, basta che $C$ sia esterno alla striscia di piano individuata dalle rette per $A$ e per $B$ e perpendicolari ad $AB$, perché uno dei due angoli $hatA, hatB$ risulti ottuso.
fammi sapere se la discussione può portare a qualcosa di utile nel senso da te dato al quesito. ciao.
avendo stabilito un punto origine del piano ($O$), prendiamo le coordinale polari di un generico punto $P(rho, theta)$, e la probabilità di $P$ dipende da $rho=bar(OP)$ e non dipende dall'angolo $theta$.
allora, si potrebbe definire la densità di probabilità di $P$ in questo modo: $den("dist"=rho)=1/(sigma sqrt(2pi)) e^-((rho^2)/(2sigma^2))$
ma se consideriamo tre punti, $" "A(rho_1, theta_1), " "B(rho_2, theta_2)," "C(rho_3, theta_3)" "$, la distanza tra due di essi ovviamente dipende anche dagli angoli. penso che sia abbastanza complicato partire da qui, anche se magari con questo spunto ed una tua idea potrebbe essere facile ...
propongo una variante, che però non risolve il problema anche se lo rende secondo me accessibile.
immagina di conoscere due punti, $A, B$, e di limitarti a studiare la probabilità della posizione del terzo punto $C$.
puoi immaginare di trovare "media" e "varianza" solo attraverso le posizioni dei due punti, per cui potresti prendere come "origine" il punto medio di $AB$ (magari è quello che cercavi di spiegare nell'altro post che non ho capito...), per cui la "media" sarebbe $0$ ed anche la varianza la si calcolerebbe in maniera banale (verrebbe $1/4bar(AB)^2$), per cui $rho=sigma=1/2 bar(AB)$, e la probabilità che $hatC$ sia ottuso è la probabilità che $C$ si trovi all'interno della circonferenza di diametro $AB$, dunque la formula della densità di cui sopra con $sigma=rho$ ...
devo specificare che così trovi solo la probabilità che $hatC$ sia ottuso, non che il triangolo sia ottusangolo.
se infatti rivedi i post precedenti, basta che $C$ sia esterno alla striscia di piano individuata dalle rette per $A$ e per $B$ e perpendicolari ad $AB$, perché uno dei due angoli $hatA, hatB$ risulti ottuso.
fammi sapere se la discussione può portare a qualcosa di utile nel senso da te dato al quesito. ciao.
"adaBTTLS":
vediamo se ho capito.
avendo stabilito un punto origine del piano ($O$), prendiamo le coordinale polari di un generico punto $P(rho, theta)$, e la probabilità di $P$ dipende da $rho=bar(OP)$ e non dipende dall'angolo $theta$.
allora, si potrebbe definire la densità di probabilità di $P$ in questo modo: $den("dist"=rho)=1/(sigma sqrt(2pi)) e^-((rho^2)/(2sigma^2))$
ma se consideriamo tre punti, $" "A(rho_1, theta_1), " "B(rho_2, theta_2)," "C(rho_3, theta_3)" "$, la distanza tra due di essi ovviamente dipende anche dagli angoli. penso che sia abbastanza complicato partire da qui, anche se magari con questo spunto ed una tua idea potrebbe essere facile ...
Si ho inteso una distribuzione di probabilità del tipo che hai scritto.
L'esercizio ho pensato di dividerlo in due parti:
-trovare la probabilità che dato il diametro di una circonferenza e la distanza del suo centro dall'origine (con coordinata angolare qualsiasi) due punti, con la stessa distribuzione prima scritta, appartengano alla circonferenza e siano diametralmente opposti
-trovare la probabilità, che data una circonferenza con dato diametro, una data distanza dall'origine del suo centro e una data coordinata angolare, un punto sia esterno a questa.
Per quanto riguarda la prima parte c'è da dire che se la coordinata angolare del centro della circonferenza fosse data la probabilità sarebbe nulla. Se invece si prende il caso di coordinata angolare qualsiasi come si può procedere nel calcolo della probabilità?
Avevo pensato di partire così: date due circonferenze che si intersecano, con lo stesso diametro e la stessa distanza tra origine e rispettivi centri, dati la coordinata angolare di uno dei centri e la distanza tra i due (abbastanza piccola), determinare la probabilità che un punto si trovi nella superficie individuata dai cerchi esclusa la loro intersezione.
Sicuramente ci sono anche altri problemi, ma non capisco da qui come fare il passaggio da una coordinata angolare particolare ad una qualsiasi, le superfici entro le quali deve stare il punto (i due cerchi esclusa la loro intersezione) si intersecano variando la coordinata angolare, per cui appartenere ad una di queste superfici ad una data coordinata angolare non è un evento indipendente ad appartenere ad altre superfici a coordinate angolari diverse, o perlomeno non per tutte le altre superfici è così.
Vorrei proporre a tutti i partecipanti della discussione un libro in cui si trovano spunti interessanti. Attenzione però, esso contiene la/le soluzione/i al problema. Lo potete trovare qui. Per ottenere un'unica soluzione è necessario ricorrere a teoremi poco noti. Vabbè buona lettura 
Bel link quello che hai postato... per chi è in grado di apprezzare 
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