Probabilità di mentire

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In un suo libro, Eddington riporta il seguente problema:

Se $A, B, C, D$ dicono la verità una volta ogni tre (indipendentemente), e $A$ afferma che $B$ nega che $C$ dichiari che $D$ è un bugiardo, qual è la probabilità che $D$ dica la verità?

Eddington usò il metodo di soluzione per esclusione e giunse al risultato di $25/71$ ma in realtà il valore corretto è un altro.

Provare che la probabilità corretta è $13/41$ e che questa è pure la probabilità che ognuno dei tre $A, B, C$ dica la verità.


Cordialmente, Alex

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Nessuno?


Cordialmente, Alex

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Ci sono $81$ combinazioni di verità e bugie per la nostra proposizione (come se ogni persona fosse un dado a tre facce: V+F+F); di queste, quelle compatibili con la nostra proposizione sono solo quelle che contengono un numero pari di bugie (p.es. "$C$ nega che $D$ è sincero" è equivalente a "$C$ dichiara che $D$ è un bugiardo).
Quindi se $D$ dice la verità o tutti gli altri sono sinceri o esattamente due mentono, combinazioni che possiamo rappresentare così: $VVVV$ (1 modo), $VFFV$ (4 modi), $FVFV$ (4 modi), $FFVV$ (4 modi).
In modo simile, se $D$ mente, i casi sono i seguenti: $FFFF$ (16 modi), $VVFF$ (4 modi), $FVVF$ (4 modi), $VFVF$ (4 modi).
In conclusione, la probabilità cercata è $13/41$.

Cordialmente, Alex