Probabilità di indovinare seme e colore.

[Studente Anonimo]

Prendiamo un mazzo di \(4n\) carte e numeriamolo a partire dalla cima con \(1,2,\ldots, 4n\). Le \(4n\) carte si alternano di seme: cuori, fiori, quadri, picche. Quindi la prima carta, \(1\) è di cuori, la seconda di fiori, etc fino all'ultima, \(4n\), che è di picche. Ora tagliamo il mazzo in due mazzetti. Abbiamo così due mazzetti numerati \(1,2,\ldots, k\) e \( k+1,k+2,\ldots,4n\). Invertiamo l'ordine del primo mazzetto e facciamolo diventare \(k,k-1,\ldots,2,1\) e mischiamo (all'americana) i due mazzetti. Ora creiamo quattro mazzetti da \(n\) carte ciascuno distribuendo dalla cima una ad una le carte, chiamiamoli \(A,B,C,D\).

Quindi nei mazzetti \(A,B,C,D\) le ultime carte, l'\(n\)-esima riga, è formata rispettivamente dalle carte in posizione \(1,2,3,4\) dopo il miscuglio sopra menzionato. L' \(n-1\)-esima "riga" è formata rispettivamente dalle carte in posizione \(5,6,7,8 \) del mazzo dopo il miscuglio, etc. Fino alla prima riga che è formata dalle ultime quattro carte del mazzo dopo il miscuglio, rispettivamente \(4n-3, 4n-2,4n-1,4n \).

Giriamo di faccia a caso uno tra i mazzetti \(A,B,C,D\). Sia \(1 \leq \ell \leq n \) arbitrario.

1) Trovare una strategia tale per cui girando una ed una sola carta sulla \(\ell\)-esima riga tra le tre ancora di dorso sappiamo con certezza il colore di tutte le carte sulla \(\ell\)-esima riga.
2) Trovare una strategia tale per cui girando una ed una sola carta sulla \(\ell\)-esima riga tra le tre ancora di dorso sappiamo con probabilità \(1/2\) il seme di tutte le carte sulla \(\ell\)-esima riga.

edit: ho cambiato solamente la lettera perché era uguale ad una usata sopra e poteva portare a confusione (e corretto errori di battitura)

[Studente Anonimo]

Cosa intendi per: la composizione dei blocchi non cambia? Rimane l'ordine cuori, fiori, quadri, picche?

Se sì, tu dici che se \(k \equiv 2 \mod 4 \) allora l'ordine nei blocchi da 4 carte rimane cuori, fiori, quadri, picche. Ma è falso ad esempio se \(k = 2 \), dipende dove inserisci e come inserisci le prime due carte nel miscuglio all'americana successivo e puoi cambiare l'ordine di quale blocco vuoi. Per semplicità consideriamo il primo blocco da 4 carte.
Hai 1 2 3 4 5 6 ...
tagli a \(k = 2 \) e facendo tutto il procedimento descritto prima ottieni due mazzetti
2 1
3 4 5 6. ...

Potresti mischiarle così (volendo) e il primo blocco potrebbe essere
2 1 3 4 (fiori, cuori, quadri, picche)
2 3 1 4 (fiori, quadri, cuori, picche)
2 3 4 1 (fiori, quadri, picche, cuori)
3 2 1 4 (quadri, fiori, cuori, picche)
3 2 4 1 (quadri, fiori, picche, cuori)
3 4 2 1 (quadri, picche, fiori, cuori)

e mischiarle in molti altri modi possibili.


In ogni caso, come fai a conoscere \(k\) ? È un informazione che non hai, quindi non la puoi usare per guadagnare informazioni sul colore delle carte. È possibile che in base a \(k\) si possa dedurre più informazione, non ci ho pensato. Ad ogni modo, la soluzione che ho io è indipendente da \(k\).

Ma la tua "precedente" soluzione era moooolto vicina. Hai ragionato solo su nero/rosso, se fai lo stessa argomentazione con i semi hai vinto!

[ot]Ah scherza pure
Però ti faccio notare che ho scritto solo 3 "chiaramente" in quella roba lì di scervelliamoci. Io un po' mi sono sforzato! Un po' sforzati anche tu dai [/ot]

Se vuoi posto un indizio
INDIZIO:

Con un mazzo di \(n\) carte numerate dall' 1 a \(n\), questo tipo di miscuglio forma un sottoinsieme, che chiamo \(G\), di \( S_n\), le permutazioni di \(\{1,\ldots,n\}\). Le seguenti proposizioni sono equivalenti:
1) \( \sigma \in G\)
2) Per ogni \(j\), abbiamo che le prime \(j \) carte, \( \sigma(1),\ldots, \sigma(j) \) sono distinte modulo \(j\)
3) Per ogni \(j \) e \(m \), con \( jm \leq n \) abbiamo che le \(j \) carte
\[ \sigma((m-1)j+1) , \sigma((m-1)j+2) , \ldots , \sigma(jm) \]
sono distinte modulo \(j\)

Per risolvere l'indovinello considera \(j=2 \) e \(j=4 \) nei punti 2) e 3). Combina queste informazioni e deduci una strategia per risolvere l'indovinello.

[axpgn]

"3m0o":Cosa intendi per: la composizione dei blocchi non cambia? Rimane l'ordine cuori, fiori, quadri, picche?

Non ho parlato di "ordine" ma di "composizione" ovvero in un caso la composizione non cambia (ovvero hai tutti e quattro i semi in un blocco) nell'altro caso invece ti ritrovi con blocchi con semi doppi. Idem per i dispari.
Almeno così mi pare ...
Certo che non conosco $k$ ma ho esplicitato i quattro casi solo per dimostrare che le situazioni finali sono solo due e quindi la probabilità che alzando una carta ti ritrovi in una situazione piuttosto che in un'altra è $1/2$.
Formalmente non è una soluzione ma la sostanza penso sia quella ...

Lascia perdere indizi così fatti (per me, "chiaramente" )


Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

No, allora no! Non hai mai in nessun blocco semi ripetuti, anzi hai sempre in ogni blocco di 4 carte tutti e quattro i semi.

[axpgn]

Adesso che ho fatto un po' di prove, ti dico che hai ragione!

[Studente Anonimo]

Soluzione

Abbiamo che in ogni blocco (riga) di 4 carte ci sono tutti e quattro i semi. Inoltre se avessimo formato due mazzetti al posto di 4 mazzetti, avremmo che in blocco (riga) di 2 carte di sarebbero stati entrambi i colori. Dunque
punto 1)
Abbiamo che in una qualunque riga diciamo che le carte sono \( X_A, X_B, X_C, X_D \). Sappiamo dunque che ci sono una nera e una rossa tra i mazzetti \(A,B \) e una carta nera ed una rossa nei mazzetti \(C,D \).
Supponiamo senza perdita di generalità che abbiamo girato il mazzetto \(A\), conoscendo il colore di \(X_A\) determiniamo il colore di \(X_B\) (e viceversa), basta dunque girare a caso una carta tra \(C\) e \(D\) per determinare il colore di tutte e quattro le carte. Perché sapendo il colore di \(X_C\) sappiamo il colore di \(X_D\) e viceversa

punto 2)
La strategia è la medesima, la cosa che cambia è che abbiamo 1/2 di probabilità di scegliere la carta che ci da informazione. Supponendo di aver girato il mazzetto \(A\), sappiamo il colore ed il seme di \(X_A\), quindi per determinare il seme di tutte le carte dobbiamo girare la carta di colore opposto al colore di \(X_A\) tra le carte \(X_C \) e \(X_D\). In questo modo possiamo determinare colore e seme di tutte le carte.

[Studente Anonimo]

Mi ricorda questo!!