Probabilità di indovinare seme e colore.
Prendiamo un mazzo di \(4n\) carte e numeriamolo a partire dalla cima con \(1,2,\ldots, 4n\). Le \(4n\) carte si alternano di seme: cuori, fiori, quadri, picche. Quindi la prima carta, \(1\) è di cuori, la seconda di fiori, etc fino all'ultima, \(4n\), che è di picche. Ora tagliamo il mazzo in due mazzetti. Abbiamo così due mazzetti numerati \(1,2,\ldots, k\) e \( k+1,k+2,\ldots,4n\). Invertiamo l'ordine del primo mazzetto e facciamolo diventare \(k,k-1,\ldots,2,1\) e mischiamo (all'americana) i due mazzetti. Ora creiamo quattro mazzetti da \(n\) carte ciascuno distribuendo dalla cima una ad una le carte, chiamiamoli \(A,B,C,D\).
Quindi nei mazzetti \(A,B,C,D\) le ultime carte, l'\(n\)-esima riga, è formata rispettivamente dalle carte in posizione \(1,2,3,4\) dopo il miscuglio sopra menzionato. L' \(n-1\)-esima "riga" è formata rispettivamente dalle carte in posizione \(5,6,7,8 \) del mazzo dopo il miscuglio, etc. Fino alla prima riga che è formata dalle ultime quattro carte del mazzo dopo il miscuglio, rispettivamente \(4n-3, 4n-2,4n-1,4n \).
Giriamo di faccia a caso uno tra i mazzetti \(A,B,C,D\). Sia \(1 \leq \ell \leq n \) arbitrario.
1) Trovare una strategia tale per cui girando una ed una sola carta sulla \(\ell\)-esima riga tra le tre ancora di dorso sappiamo con certezza il colore di tutte le carte sulla \(\ell\)-esima riga.
2) Trovare una strategia tale per cui girando una ed una sola carta sulla \(\ell\)-esima riga tra le tre ancora di dorso sappiamo con probabilità \(1/2\) il seme di tutte le carte sulla \(\ell\)-esima riga.
edit: ho cambiato solamente la lettera perché era uguale ad una usata sopra e poteva portare a confusione (e corretto errori di battitura)
Quindi nei mazzetti \(A,B,C,D\) le ultime carte, l'\(n\)-esima riga, è formata rispettivamente dalle carte in posizione \(1,2,3,4\) dopo il miscuglio sopra menzionato. L' \(n-1\)-esima "riga" è formata rispettivamente dalle carte in posizione \(5,6,7,8 \) del mazzo dopo il miscuglio, etc. Fino alla prima riga che è formata dalle ultime quattro carte del mazzo dopo il miscuglio, rispettivamente \(4n-3, 4n-2,4n-1,4n \).
Giriamo di faccia a caso uno tra i mazzetti \(A,B,C,D\). Sia \(1 \leq \ell \leq n \) arbitrario.
1) Trovare una strategia tale per cui girando una ed una sola carta sulla \(\ell\)-esima riga tra le tre ancora di dorso sappiamo con certezza il colore di tutte le carte sulla \(\ell\)-esima riga.
2) Trovare una strategia tale per cui girando una ed una sola carta sulla \(\ell\)-esima riga tra le tre ancora di dorso sappiamo con probabilità \(1/2\) il seme di tutte le carte sulla \(\ell\)-esima riga.
edit: ho cambiato solamente la lettera perché era uguale ad una usata sopra e poteva portare a confusione (e corretto errori di battitura)
Risposte
Sto ancora cercando di capire come funzioni ...
Quando dici che giri un mazzetto, per esempio $A$, significa che posso vedere tutte le carte di $A$ e nell'ordine da cima a fondo?
Anche $k$ si conosce o è arbitrario pure esso?
Cordialmente, Alex

Quando dici che giri un mazzetto, per esempio $A$, significa che posso vedere tutte le carte di $A$ e nell'ordine da cima a fondo?
Anche $k$ si conosce o è arbitrario pure esso?
Cordialmente, Alex
Inoltre cosa significa "mischiare all'americana"? Che le carte di ogni mazzetto rimangono ordinate rispetto alle altre dello stesso mazzetto ma possono finire dovunque rispetto a quelle dell'altro?
"axpgn":
Sto ancora cercando di capire come funzioni ...![]()
Quando dici che giri un mazzetto, per esempio $A$, significa che posso vedere tutte le carte di $A$ e nell'ordine da cima a fondo?
Anche $k$ si conosce o è arbitrario pure esso?
Cordialmente, Alex
Esatto! Significa che puoi vedere tutte le carte e nello stesso ordine con cui sono posate. Quindi se una carta era in posizione \( \ell \) qualunque e di dorso, dopo la giri di faccia ma resta sempre alla posizione \( \ell \).
\( k\) anche lui è arbitrario.
"axpgn":
Inoltre cosa significa "mischiare all'americana"? Che le carte di ogni mazzetto rimangono ordinate rispetto alle altre dello stesso mazzetto ma possono finire dovunque rispetto a quelle dell'altro?
Esattamente non sarei riuscito a dirlo meglio (non ci sono riuscito in effetti).
Un esempio è questo. Hai il mazzo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Lo tagli in
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11 12
Inverti l'ordine del primo mazzetto
4 3 2 1
5 6 7 8 9 10 11 12
Mischi all americana (il significato che hai detto te), ad esempio
(4) 5 6 (3) 7 (2) 8 9 (1) 10 11 12
Poi dividi in 4 mazzetti
A) (1) 7 (4)
B) 10 (2) 5
C) 11 8 6
D) 12 9 (3)
Girare un mazzetto, diciamo \(A\), significa semplicemente sapere i valori che ci sono dietro le carte.
Ad esempio, se giriamo \(A\), e diciamo che la X indica il dorso di una carta. Allora hai in realtà che tu conosci
A) (1) 7 (4)
B) X X X
C) X X X
D) X X X
Dove con le righe intendo che che la carta (1) è sulla stessa riga del 10, del 11 e del 12. Ovvero occupano la stessa posizione all interno dei loro mazzetti
Ok, allora avevo capito bene ... il problema
... per la soluzione, ci vuole tempo, molto anzi parecchio ...


"axpgn":
Ok, allora avevo capito bene ... il problema... per la soluzione, ci vuole tempo, molto anzi parecchio ...
Beh dai almeno mi hai permesso di chiarire il problema nel caso non fosse stato chiaro a più persone!
Non c'è fretta, assolutamente.
"3m0o":
Poi dividi in 4 mazzetti
A) (1) 7 (4)
B) 10 (2) 5
C) 11 8 6
D) 12 9 (3)
Dove con le righe intendo che che la carta (1) è sulla stessa riga del 10, del 11 e del 12. Ovvero occupano la stessa posizione all interno dei loro mazzetti
Help 3m0o! Quindi in questa tabella tu per riga intendi colonna?
Ingenuamente per riga intendevo riga

"gabriella127":
[quote="3m0o"]
Poi dividi in 4 mazzetti
A) (1) 7 (4)
B) 10 (2) 5
C) 11 8 6
D) 12 9 (3)
Dove con le righe intendo che che la carta (1) è sulla stessa riga del 10, del 11 e del 12. Ovvero occupano la stessa posizione all interno dei loro mazzetti
Help 3m0o! Quindi in questa tabella tu per riga intendi colonna?
Ingenuamente per riga intendevo riga

Eh il problema è che non sapevo come fare i mazzetti. Cioè se distribuisci le carte fisicamente su un tavolo. La (4), 5,6 e la (3) toccano il tavolo. E la (1), 10, 11 e 12 sono in cima. Sono ruotate di 90 gradi e quindi sono delle righe e non delle colonne. Se vuoi sono così
A) | B) | C) | D)
1| 10 | 11 | 12
7 | 2 | 8 | 9
4 | 5 | 6 | 3
Chiaro, chiaro.
Cordialmente, Alex
@axpgn
@3m0o
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
@axpgn
Cordialmente, Alex
Nessuno? 
Sennò pubblico la soluzione

Sennò pubblico la soluzione
Mah, rifacendomi alla prima domanda, la butto lì ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
@axpgn
Ma dai, è chiarissimo, è come l'altro

Sforzati un po' perché mi costerebbe troppo provare a scriverlo come faresti tu (anzi praticamente impossibile
)
E poi, non dovrebbe essere difficile "interpretare" i miei geroglifici per uno che riempie di "chiaramente" quella roba che hai scritto in "Scervelliamoci un po' "

[ot]Permettimi di scherzare ...
[/ot]
Cordialmente, Alex


Sforzati un po' perché mi costerebbe troppo provare a scriverlo come faresti tu (anzi praticamente impossibile

E poi, non dovrebbe essere difficile "interpretare" i miei geroglifici per uno che riempie di "chiaramente" quella roba che hai scritto in "Scervelliamoci un po' "


[ot]Permettimi di scherzare ...

Cordialmente, Alex