Probabilità coi dadi

[axpgn]

Giorgio e Marco si divertono giocando con i dadi. Anzi, con un dado solo, non truccato.
Giorgio tira ripetutamente il dado finché non esce la sequenza $1-1$ cioè due volte consecutive il numero $1$.
Lo stesso per Marco con la differenza che la sequenza per Marco è $1-2$ cioè il numero $1$ seguito dal $2$ al tiro successivo.

1) In media, dovranno tirare lo stesso numero di volte? Oppure uno dei due arriva prima alla sequenza preferita? Non sono necessari calcoli espliciti.

2) In media, quanti tiri dovranno fare per ottenere quella sequenza?

Cordialmente, Alex

[andomito]

Che abbiano le stesse probabilità è immediato: fatto il numero voluto con il primo tiro (probabilità 1/6) la probabilità di fare il numero voluto nel successivo è sempre 1/6 (a prescindere da quale sia il valore desiderato).

La probabilità di avere successo è 1/36 (in altre parole, in 36 tiri gli verrà mediamente 6 volte 1 e mediamente una volta a tale 1 seguirà il numero voluto).

[axpgn]

No.

[orsoulx]

Marco impiega mediamente $ 36$ lanci per ottenere la sequenza $ 1 - 2 $, A Giorgio, invece, ne servono $ 42 $.

Ciao

[axpgn]

Potresti dire quale metodo hai usato?
Perché qualcosa mi dice che è sicuramente diverso da quello che conosco io

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Visto che il dado non ha 'memoria' dei lanci precedenti, ci troviamo di fronte ad un processo markoviano con solo tre stati:
$ N $ al lancio precedente non è comparso un $ 1 $;
$ U $ al lancio precedente è comparso un $ 1 $
$ V $ è comparsa la sequenza richiesta,
Indicando con $ M_N; M_U; M_V=0 $ i valori medi del numero di lanci necessari per vincere iniziando da uno dei tre stati, valgono le ovvie relazioni:
$ M_N=1 + 5/6 M_N+1/6 M_U; M_U=1+5/6M_N+1/6M_V $ per Giorgio;
$ M_N=1 + 5/6 M_N+1/6 M_U; M_U=1+1/6M_U+4/6M_N+1/6M_V $ per Marco.

Ciao

[niccoset]

Semplice snippet di codice Python che verifica sperimentalmente che la soluzione di orsoulx è quella corretta

import random

def number_of_throws (first_value, second_value):
    x = random.randint(1, 6)
    counter = first_value
    while True:
        y = random.randint(1, 6)
        counter += 1
        if x == first_value and y == second_value:
            return counter
        x = y

if __name__ == "__main__":
    tmp_counter = 0
    N = 1000000
    for i in range(N):
        tmp_counter += number_of_throws(1, 1)
    print("Numero di tiri per ottenere sequenza 1-1: ", tmp_counter//N)
    tmp_counter = 0
    for i in range(N):
        tmp_counter += number_of_throws(1, 2)
    print("Numero di tiri per ottenere sequenza 1-2: ", tmp_counter//N)

[axpgn]

@orsoulx
[ot]Mi sono sbagliato, è sostanzialmente lo stesso
Però non sapevo che questo metodo si chiamasse "processo markoviano"
Thank you, Alex[/ot]

[andomito]

Penso di aver capito l'errore del mio ragionamento.

Se la sequenza cercata è 1-1, nei 5/36 casi in cui il primo numero è uno e il secondo no mi sono senz'altro bruciato la possibilità di beccare la sequenza giusta con il prossimo tiro.
Nel caso in cui la sequenza cercata è 1-2, se il primo numero è uno e il secondo non è due residua 1/36 caso in cui il secondo numero è un uno, e quindi mi potrebbe permettere di vincere con il prossimo tiro.

Detto in altro modo, se cerco la sequenza 1-2 qualunque sia la sequenza di fallimenti che mi ha portato ad un tiro ho sempre 1/6 di probabilità di aver appena tirato un uno e 1/6 di stare per tirare un 2. Dunque ho una probabilità su 36 di vincere.
Se cerco la combinazione 1-1 la sequenza di fallimenti che mi ha portato ad un tiro esclude la possibilità che possa aver appena tirato un 1 se poco prima era uscito un altro 1, ma del resto poco prima non poteva essere uscito un 1 se in precedenza ne era appena uscito un altro, e così via. Quindi la possibilità che abbia appena tirato un 1 è 1/6 al secondo tiro, 1/6 * 5/6 =1/(7,2) al terzo tiro, e alla lunga va stabilizzandosi sul valore 1/7

[axpgn]

Ok, però metti sotto spoiler le tue considerazioni/soluzioni, thanks

[Gz21]

"orsoulx":

Visto che il dado non ha 'memoria' dei lanci precedenti, ci troviamo di fronte ad un processo markoviano con solo tre stati:
$ N $ al lancio precedente non è comparso un $ 1 $;
$ U $ al lancio precedente è comparso un $ 1 $
$ V $ è comparsa la sequenza richiesta,
Indicando con $ M_N; M_U; M_V=0 $ i valori medi del numero di lanci necessari per vincere iniziando da uno dei tre stati, valgono le ovvie relazioni:
$ M_N=1 + 5/6 M_N+1/6 M_U; M_U=1+5/6M_N+1/6M_V $ per Giorgio;
$ M_N=1 + 5/6 M_N+1/6 M_U; M_U=1+1/6M_U+4/6M_N+1/6M_V $ per Marco.

Ciao

Ciao, è il primo post che scrivo, dopo aver esplorato un po’ tutto il forum.
Vi faccio i miei complimenti perché siete tutti veramente preparati, al contrario di me.

In merito alla risoluzione di questo problema vorrei chiedere, se possibile, come si arriva alle relazioni del processo markoviano postate da orsolux.

Il motivo per il quale Marco impiega mediamente un numero inferiore di lanci rispetto a Giorgio per ottenere la sequenza 1-2, piuttosto che 1-1, mi è chiaro [o almeno così mi pare].

Il motivo per cui al secondo lancio, se al primo è uscito 1, Marco ha 1/6 di probabilità di vincere, 4/6 di perdere e dover ricominciare daccapo e 1/6 di perdere ma non dover ricominciare da daccapo, mi è chiaro [o almeno così mi pare].

Penso di aver capito perché si pone Mv=0: se ci si trova nello stato V vuol dire che la sequenza è comparsa e non servono altri lanci, quindi il numero medio di lanci necessari Mv è, appunto, zero. [o almeno così mi pare].

Trovo difficoltà a capire il ragionamento che porta ad esprimere, sotto forma di formula, la media dei lanci necessari per ottenere le sequenze.

Forse potrebbe essere sufficiente che qualcuno mi spiegasse come si leggono le relazioni espresse da orsolux.

Chiarisco che non sto chiedendo un “corso completo”, se potete, per favore, mettetemi sulla buona strada.

Grazie

"orsoulx":

Visto che il dado non ha 'memoria' dei lanci precedenti, ci troviamo di fronte ad un processo markoviano con solo tre stati:
$ N $ al lancio precedente non è comparso un $ 1 $;
$ U $ al lancio precedente è comparso un $ 1 $
$ V $ è comparsa la sequenza richiesta,
Indicando con $ M_N; M_U; M_V=0 $ i valori medi del numero di lanci necessari per vincere iniziando da uno dei tre stati, valgono le ovvie relazioni:
$ M_N=1 + 5/6 M_N+1/6 M_U; M_U=1+5/6M_N+1/6M_V $ per Giorgio;
$ M_N=1 + 5/6 M_N+1/6 M_U; M_U=1+1/6M_U+4/6M_N+1/6M_V $ per Marco.

Ciao

Scusate la domanda stupida... qualcuno potrebbe spiegarmi gli '1' presenti in queste relazioni?

[axpgn]

Non mi ero accorto di questa risposta (il fatto che i primi messaggi richiedano l'approvazione crea un bel po' di disguidi ... )

@Gz2

Gli "uni" ci sono perché c'è il lancio iniziale ...

Cordialmente, Alex