Probabilità!!!

[maximouse77]

Considero un' aula X persone.
Qual è il numero minimo di tali persone per il quale la probabilità di avere due persone che hanno lo stesso compleanno e maggiore di quella di avere tutte persone nate in differenti giorni???

[Nidhogg]

E' un problema classico del calcolo delle probabilità, che contrasta con l'intuizione. Nell'aula vi sono n persone (con n<=365). Se il numero delle persone fosse maggiore di 365 l'evento sarebbe certo, ma la probabilità cresce rapidamente anche se il numero delle persone è relativamente basso. Sia l'evento E: "almento due persone presenti in sala hanno lo stesso compleanno". E' più semplice servirsi dell'evento complementare 1-E:"Tutte le persone hanno diverso compleanno". I casi possibili, supposti egualmente possibili (ipotesi non esattamente verificata nella realtà), sono per ogni persona i 365 giorni dell'anno e quindi per n persone sono 365^n. I casi favorevoli al verificarsi di 1-E, ossia che tutte le n persone siano nato in un giorno diverso, sono tante quante le disposizioni semplici di 365 giorni di classe n, cioè sono: 365*365*...[365-(n-1)]
La probabilità richiesta è allora:
P(E)=1-P(E)=1-[365*364*...*(366-n)]/(365^n)
Eseguendo i calcoli, si trova che è sufficiente che sia n=23 per avere una probabilità di oltre il 50%.
Precisamente si trova:
n=15 p=0.253
n=23 p=0.507
n=30 p=0.706
n=60 p=0.994

Perciò, ad esempio, in una classe di 30 allievi vi è un probabilità del 70,6% che vi siano almeno due allivi con lo stesso compleanno.

[maximouse77]

Infatti lo avevo preso proprio perchè può sembrare strano che sia solo 23 il numero di persone!!!!