Primi consecutivi

[xXStephXx]

Dimostrare che la somma di due numeri primi consectuvi ha almeno 3 fattori primi (eventualmente anche uguali tra loro)

[milizia96]

2+3=5 ha un solo fattore primo...

[xXStephXx]

Ok, allora c'era una dovuta eccezione xD Facciamo primi maggiori di 2.

[Sk_Anonymous]

Così dovrebbe funzionare... Eventuali errori sono da imputarsi alla fretta con cui scrivo: ho lezione tra poco.

Numeri primi consecutivi differiscono (ovviamente) di due unità. Siano \(\displaystyle p_{1} \) il primo numero primo e \(\displaystyle p_{2} \) il secondo numero primo; prima di essere primi (evvai con i giochi di parole!), tali numeri sono dispari. Quindi si ha \(\displaystyle p_{1}=2n-1 \) e \(\displaystyle p_{2}=2n+1 \) per un qualche \(\displaystyle n \) naturale. La loro somma, \(\displaystyle p_{1} + p_{2} = 2n -1 + 2n +1 = 4n \) , è prodotto di almeno tre fattori primi (\(\displaystyle 2 \cdot 2 \cdot n \), ove \(\displaystyle n \) sarà primo o a sua volta scomponibile in fattori primi).

NOTA: il ragionamento è errato. Vedi sotto.

[Paolo902]

@ Delirium: ma 19 e 23 non li consideri primi consecutivi?

[Sk_Anonymous]

Sì Paolo, sono un imbecille. Ho considerato i primi gemelli e non i consecutivi.

Devo fare un nodo al fazzoletto: mai fare esercizi prima delle lezioni di Algebra Lineare.

[Gi81]

Siano $p_1$ e $p_2$ numeri primi consecutivi tali che $2 Si ha che $(p_1+p_2)/(2)$ è un numero naturale non primo. Allora $p_1 + p_2$ ...

[giannirecanati]

Con l'hint di Gi8 forse ci sono. Anzitutto è chiaro che \(\displaystyle 2\mid p_1+p_ 2\). Adesso analizziamo il numero \(\displaystyle \frac{p_1+p_2}{2} \), necessariamente si ha che \(\displaystyle p_1<\frac{p_1+p_2}{2}

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[xXStephXx]

Bene