Persone attorno a un tavolo

[Pachisi]

Abbiamo un certo numero di persone attorno a un tavolo circolare. Ci sono 7 donne che hanno una donna alla loro destra, e 12 donne che hanno un uomo alla loro destra. Inoltre, per ogni 4 uomini, 3 hanno una donna alla loro destra. Quante persone sono sedute attorno al tavolo?

[orsoulx]

Penserei 35, 19 donne e 16 uomini, ma ci sarà sicuramente il trucco; altrimenti perché Pachisi l'avrebbe proposto.

Ciao
B.

[axpgn]

$35$

[size=150]DUUDUDU-DUUDUDU-DUUDUDU-DUUDUDU-DDDDDDD[/size]

Cordialmente, Alex

[Pachisi]

Si, giusto

[orsoulx]

Allora rilancio.
Supponendo le persone indistinguibili, tranne per il genere: pedine rosa ed azzurre tanto per intenderci.
Rispettando le condizioni, in quante maniere diverse (distinguibili) si possono disporre?
Ciao
B.

[veciorik]

105 = 35 * 3

[axpgn]

Provo ...

$((12),(4))$

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Veciorik; Alex
velocissimi! Vi confesso che il calcolo esatto non l'ho ancora fatto, ma direi che non è così semplice: a naso direi fra 10 e 20 sottocasi, per un totale di varie migliaia di possibilità. Ovviamente, posso sbagliare tutto.
Ciao
B.

[axpgn]

Piccola aggiunta ...

$((12),(4))*((12),(7))$

Soluzioni progressive ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex
Fatti i calcoli, a me viene meno e dubito si possano ridurre ad espressioni così semplici.
Ciao
B.

[axpgn]

Spiego il ragionamento che ho fatto ...

Penso che dati i vincoli ci debbano essere $4$ gruppi $DUU$ e $8$ gruppi $DU$; fissato il gruppo di sette donne le diverse possibilità sono $((12),(4))$.
Dal fisso all'unico il passo è breve ... ... ma non sono sinonimi ... in effetti le sette donne posso sempre "piazzarle" davanti alle altre $12$ quindi in totale $((12),(4))*((12),(7))$.

Cordialmente, Alex

[veciorik]

Spiego come ho interpretato il quiz e costruite le soluzioni.

(a1) 7 donne hanno a destra una donna
(a2) 12 donne hanno a destra un uomo
(a1+a2) le donne sono 19 e gli uomini almeno 12

(b) ogni 4 uomini 3 hanno una donna a destra: ho interpretato che ogni sottosequenza contenente 4 uomini deve avere anche 3 donne per un totale di 7 persone così disposte: UUDUDUD o UDUUDUD o UDUDUUD

(c) per (a2) servono 4 sequenze da 7: quindi gli uomini sono 4 x 4 = 16 per un totale di 19 + 16 = 35 persone

(d) per (b) le sottosequenze UU sono equidistanti tra loro ed intercalate da sequenze DUDUD per un totale di 23 persone = 14U + 9D così disposte UUDUDUDUUDUDUDUUDUDUDUU. Restano da disporre 35 - 23 = 12 persone = 10D + 2U

(e) delle restanti 10D, per (a1), 8D devono essere contigue precedute e seguite da U

(f) restano 2D + 2U da disporre in 3 modi: 8D-UDUD-23p o 23p-DUDU-8D o DU-8D-UD-23p

(g) le 3 disposizioni di (f) si moltiplicano per le 35 possibili rotazioni del tutto: in totale 3x35=105 disposizioni

[axpgn]

"veciorik":

... ho interpretato che ogni sottosequenza contenente 4 uomini deve avere anche 3 donne ...

Penso che la richiesta sia più generale, non vincolata a sottosequenze ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Veciorik; Alex

Sulla questione uomini ho interpretato come Veciorick: girando intorno al tavolo comunque scelga 4 uomini di seguito, 3 di questi hanno una donna alla loro destra. Alex legge invece il dato come una media. Interpretazioni entrambe accettabili, che non cambiano nulla per il problema originale. Direi di considerare la prima versione, non perché sia 'autentica', ma solo per rendere più semplici i calcoli: una volta stabilito quante sono le maniere diverse con la prima ipotesi si può poi passare alla seconda usando il risultato trovato.
In questo caso, escludendo le sette donne con una donna alla loro destra, abbiamo una situazione tipo quadrante d'orologio, con coppie di uomini alle ore 12, 3, 6, 9 e uomini singoli alle altre ore; le 12 donne sono negli spazi intermedi.
Però sistemare le 7 restanti non è mica banale, l'unica condizione è che bisogna metterle accanto ad una donna; ma possono andare tutte nello stesso posto oppure 4 da una parte, 2 da un'altra e l'ultima ancora in un posto diverso.....

Ciao
B.

[axpgn]

Volevo postare la terza puntata ma mi hai preceduto ...

Più o meno volevo dire quello che hai detto riguardo alle sette donne; in pratica abbiamo un caso con $7$ donne di seguito poi ne abbiamo $11$ con $6$ donne di seguito e una che varia nella altre undici posizioni; proseguendo abbiamo un gruppo di $5$ donne di seguito con due donne che possono distribuirsi accoppiate o singole e quindi dovrebbero essere altri $66$ casi e così via ... il tutto moltiplicato per $((12),(4))$ (utilizzando la mia versione) ... il conto preciso non l'ho ancora fatto, ci proverò appena ho tempo ...

Cordialmente, Alex

[veciorik]

"orsoulx":

... comunque scelga 4 uomini di seguito, 3 di questi hanno una donna alla loro destra.
... coppie di uomini alle ore 12, 3, 6, 9 e uomini singoli alle altre ore; le 12 donne sono negli spazi intermedi.
... le 7 restanti ... bisogna metterle accanto ad una donna ...

OK.
Sbagliando mi ero fissato che 7 donne, anzi 8, dovessero stare tutte appiccicate.
Invece, partendo dalla disposizione proposta da orsoulx:

Ognuna delle 7 donne restanti occupa una qualsiasi delle 12 posizioni "accanto ad una donna".
E' indifferente che stia prima o dopo la donna adiacente.
E' indifferente anche che stia accanto ad una donna singola o a sequenze di più donne.
E' come distribuire 7 oggetti in 12 cassetti: combinazioni con ripetizione.
Quindi $((12 - 1 + 7),(7)) \ = \ (18!)/(7! \ 11!) \ = \ 31.824$ combinazioni.
Resta da quantificare il contributo dovuto alle rotazioni del tavolo.
Poiché la disposizione a orologio delle prime 28 persone = 16U+12D ha una doppia simmetria assiale dovuta alle coppie UU equidistanti, direi che bisogna moltiplicare per $7 \ = \ 28/4$. Risultato $222.768$ .

Se invece interpretiamo la condizione "ogni 4 uomini 3 hanno una donna a destra" come frequenza media, farei così:

Metto le 19 donne in 19 di 57 (= 3 x 19) caselle disposte in cerchio con 2 buchi tra una donna e l'altra.
Metto 12 uomini in 12 dei 19 buchi a destra di una donna: $((19),(12)) \ = \ (19!)/(12! \ 7!)$ combinazioni.
PS: o meglio $((18),(11)) \ = \ (18!)/(11! \ 7!)$ per la simmetria circolare della configurazione precedente ?
PPS: il primo uomo determina soltanto l'origine per gli altri 11 nel sistema di riferimento circolare.
Metto gli altri 4 uomini in 4 dei 12 buchi a destra di un uomo: $((12),(4)) \ = \ (12!)/(8! \ 4!) = 495$ combinazioni.
PPS: se reintroduciamo la condizione di equidistanza tra le coppie di uomini, questo fattore si annulla (per la precisione si riduce a 3 per la simmetria a croce).
Poi ignoro i buchi. Risultato $(19!)/(7! \ 8! \ 4!) \ = \ 24.942.060$ . PPS: da ricalcolare !
Sono indeciso sul contributo dovuto alle rotazioni attorno al tavolo: 35 ? PPS: o niente ?

PPS: sono confuso perché questo risultato non quadra con quello del caso esaminato per primo ( rif. disposizione proposta da orsoulx nel secondo spoiler ) quando si assume la equidistanza tra le coppie di uomini.

[axpgn]

Completo il ragionamento precedente ...

Fisso un gruppo di $n$ donne contigue e determino in quanti modi "sistemo" le altre; per esempio se ho un gruppo di $4$ donne devo poi posizionare le altre tre in $3$ casi: o tutte e tre vicine o due vicine e una libera oppure tutte e tre libere.
Ricapitolando tutte le situazioni mi viene questa tabella:

Gruppo di $7$ donne: $((11),(0))$
Gruppo di $6$ donne: $((11),(1))$
Gruppo di $5$ donne: $((11),(1))+((11),(2))$
Gruppo di $4$ donne: $((11),(1))+((11),(2))+((11),(3))$
Gruppo di $3$ donne: $((11),(2))+((11),(3))+((11),(4))$
Gruppo di $2$ donne: $((11),(3))+((11),(4))+((11),(5))$
Gruppo di $1$ donna: $((11),(6))$

In totale sono $2278$ da moltiplicare per $((12),(4))$ e quindi complessivamente sono $1.127.610$

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Veciorik
ancora una volta i nostri risultati coincidono.

Ho trovato, faticosamente, 7956 disposizioni 'riconoscibili' senza riferimenti al tavolo (come fossero perline rosa ed azzurre infilate in una collana circolare priva di un inizio e di una fine). Tu, con un procedimento decisamente migliore, ne trovi 31824, quattro volte tanto, ma la differenza sta solo nel fatto che ho tenuto conto della indistinguibilità derivante dai maschietti che si ripetono nella formazione U-U-UU- quattro volte attorno al tavolo.
Per conteggiare l'incremento di riconoscibilità dovuta alla posizione del tavolo, a me pare basti $ 7956 \cdot 35= 278460 $. Come fare un nodo alla collana in uno qualsiasi dei 35 intervalli fra una perlina e la successiva.

Ciao
B.

[orsoulx]

@Alex

Non mi ritrovo con il tuo conteggio: van bene alcuni casi, ma altri non mi paiono corretti.
Es. gruppi da 4 donne, fissi, penso, il pacchetto delle 4 e conti in quanti modi puoi sistemare le restanti:
4+3 fornisce 11 modi OK
4+1+1+1 fornisce 165 modi OK
4+2+1 tu conteggi 55 modi, senza tener conto che il gruppo da due è distinguibile da quello da 1 e perciò, a mio avviso, dovrebbero essere 110 le disposizioni 'riconoscibili'.

Anche sull'apporto dei quattro maschietti 'anomali' la fai un po' troppo semplice. Secondo me è la medesima cosa delle sette donne, con la semplificazione derivante dall'esiguità del loro numero, ma con la complicazione che, mentre per le donne non esistono disposizioni che differiscono solo per una rotazione, per i maschi ci sono... e complicano la vita.

Ciao
B.

[veciorik]

Fatico ad orientarmi con le disposizioni in cerchio.
Ci penso e ci ripenso ma non sono mai sicuro.

Riconsidero la disposizione con le coppie UU equidistanti, ad ore 3 6 9 12.
Provo a dirla con le mie parole.

La simmetria a croce giustifica una divisione per 4 delle combinazioni ottenute distribuendo 7 oggetti uguali in 12 celle: ruotando 1 2 3 volte di 90° riottengo schemi indistinguibili da quelli già contati.
Restava il dubbio se moltiplicare il risultato per 35 oppure per 7 alla fine.
Mi attirava 7 per la simmetria a croce dello schema intermedio ma, ripensandoci, mi convinco che 35 è corretto per due motivi:
- si è già tenuto conto della simmetria dividendo per 4
- la rimozione finale delle celle (sedie) rimaste vuote distrugge la simmetria.

Devo ripensare con più calma all'altra disposizione, quella di Alex, con le coppie UU non simmetriche.
Ho pasticciato.
Se, ad un certo punto, quando piazzo i 4 U, reintroduco la simmetria DEVO ottenere il medesimo risultato !

ciao
Rik (a volte vecio a volte no)

[axpgn]

"orsoulx":

4+2+1 tu conteggi 55 modi, senza tener conto che il gruppo da due è distinguibile da quello da 1 e perciò, a mio avviso, dovrebbero essere 110 le disposizioni 'riconoscibili'.

Vero. Rifaccio i conti.

Gruppo di $ 7 $ donne: $ ((11),(0)) $
Gruppo di $ 6 $ donne: $ ((11),(1)) $
Gruppo di $ 5 $ donne: $ ((11),(1))+((11),(2)) $
Gruppo di $ 4 $ donne: $ ((11),(1))+11*10+((11),(3)) $
Gruppo di $ 3 $ donne: $ 11*10+11*((10),(2))+((11),(4)) $
Gruppo di $ 2 $ donne: $ 11*((10),(2))+11*((10),(3))+((11),(5)) $
Gruppo di $ 1 $ donna: $ ((11),(6)) $

In totale sono $ 4038 $ da moltiplicare per $((12),(4))$ e quindi complessivamente sono $ 1.998.810 $

Per i maschi però continuo a non vedere anomalie ... secondo me, a causa delle condizioni poste, ci sono quattro gruppi $DUU$ e otto gruppi $DU$ quindi $((12),(4))$ combinazioni diverse ...

Cordialmente, Alex