Per un pugno di centesimi

[orsoulx]

Dato un insieme di monetine disposte su un tavolo, con una faccia appoggiata sulla sua superficie, chiamiamo 'forza' di una qualsiasi di queste, il numero di monetine che si trovano ad una distanza (centro-centro) assegnata $ d $ dalla prima. Chiamiamo, inoltre, 'potenza' della collezione di monetine la forza di quella più debole.
Disponendo di un Euro, cambiabile in monetine del medesimo valore, potendo decidere la lunghezza $ d $ ed utilizzando un tavolo sufficientemente ampio:
(a) qual è la massima potenza ottenibile disponendo opportunamente le monete (non necessariamente tutte) sul tavolo?
(b) se vi viene corrisposta una somma uguale al prodotto della potenza per il valore complessivo appoggiato, quant'è la massima vincita possibile?
(c) qual è il minimo valore di $ d $ che consente le disposizioni volute?

Ciao

[axpgn]

Mah …

Non riesco a "vedere" qualcosa di meglio di una disposizione esagonale con il centro e quindi una potenza al massimo di $3$.
"Disegnando" due esagoni sovrapposti dove il centro dell'uno è un vertice dell'altro si possono usare tutte e dieci le monete da dieci centesimi per un totale di tre euro.
La minima distanza dovrebbe essere $d=2r$ dove $r$ è il raggio delle monete.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Buon inizio: la scelta delle monetine da 10 centesimi è la più semplice per osservare i vantaggi di una diversa disposizione.

Si può aumentare il ricavo del $20%$ con $ d>=2 r sqrt(2+sqrt(3)) $.

Ciao

[axpgn]

Mi sa che ho capito poco …

Mi è tornato in mente quel problemino sui 4 punti del piano con due distanze e una delle soluzioni divideva le sei distanze in due classi … perciò oltre a centrare l'esagono posso centrare anche i triangoli equilateri mantenendo la stessa "potenza" che però rimane $3$.
Però non vedo come questo possa modificare la vincita massima perché se posso mettere sul tavolo l'importo completo (come nel caso precedente dei dieci centesimi) e la potenza è la stessa, la vincita massima rimane la stessa …

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn":Mi sa che ho capito poco …

Mi sa che hai capito tutto! Ma non riesci a 'sistemare' le monetine nella maniera opportuna.
Il bello, a mio avviso, di questo problema è che, per risolverlo, bastano competenze matematiche elementari e non serve possedere una buona visualizzazione spaziale: arriva l'intuizione corretta e tutto diventa banale.
Dopo averlo vestito ammodo, ho postato il suo nucleo in "Scervelliamoci un po'", vediamo se qualcuno ci prova.
Ciao

[axpgn]

"orsoulx":Mi sa che hai capito tutto!

Hai troppa fiducia …

"orsoulx":... e non serve possedere una buona visualizzazione spaziale ...

Per te che ce l'hai …

Non mi schiodo da una disposizione simile ...




Volendo è ripetibile ad libitum (a destra e sinistra ma anche a NE, NO, SE e SO … )

Cordialmente, Alex

[gpm63]

con 18 monete da 5 centesimi, disposte così:

dovrebbe andare.

saluti
Melba

[axpgn]

@melba

Se ho ben interpretato il testo, la potenza della tua disposizione è pari a tre come la mia, quindi novanta centesimi per tre è minore di tre euro … IMHO

Cordialmente, Alex

[gpm63]

@axpng

Hai ragione, non avevo considerato bene la potenza di tutte le monete.

Melba

[gpm63]

Così?

supponendo r=1 si ha d=5,76
le monete sono 18 da 5 centesimi, disposte 9 sui vertici di un ennagono, le altre 9 sui vertici di un ennagono interno ottenuti costruendo un triangolo equilatero su ogni lato dell'ennagono esterno.
Considerando la moneta (circonferenza) k si vede che ha potenza 4, perché equidistante dalle circonferenze h, r, c, s, la cosa vale ovviamente per tutte le monete esterne. Prendiamo ora in considerazione una delle monete interne, ad es. la c; anch'essa ha potenza 4 perché equidistante per costruzione dalle due monete esterne k e s e dalle due interne k e h, dato che i segmenti JO e JN sono congruenti a AJ (ovvero al lato dell'ennagono esterno ). Infatti i triangoli FOJ e FNJ sono isosceli e uguali fra loro, Uguali perché hanno in comune la base JF, il lato OF congruente al lato FN per costruzione e l'angolo OFJ congruente a NFJ, dato che FJ giace sulla bisettirce dell'angolo OFN (infatti in un ennagono la bisettrice di un angolo è l'. asse del lato opposto). I triangoli FOJ e FNJ sono, inoltre isosceli perché l'angolo OFN e l'angolo OJN sono uguali, perché corrispondenti in figure simili (i due ennagoni) e saranno quindi uguali gli angoli alla base dei due triangoli.
Di questi triangoli conosco l'angolo alla base che è 10°, e la misura dell'altezza che è 1, quindi posso ricavare il lato obliquo che coincide con d, ossia d=1/sen10= 5,758770483.
La massima vincita possibile è 18x0,5x4=3,60€

.

Saluti
Melba

[axpgn]

@melba

Mi pare proprio una bellissima costruzione

Le condizioni mi sembrano rispettate, inoltre in questo modo ottieni $3,60$ e cioè il $20%$ in più che diceva orsoulx ed anche la distanza corrisponde (quasi).

Osservandolo mi viene da fare una considerazione: la costruzione avviene al contrario di come hai detto, cioè prima il cerchio interno e poi quello esterno; in questo modo definisci la distanza (determinata in modo univoco dalla disposizione delle monete interne a contatto).
Così facendo penso si possano costruire "poligoni" con più lati (illimitati?) che penso siano la soluzione dell'altro trhead di orsoulx

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@melba:
bella costruzione! Con cui superi quella di Alex, utilizzando però monete da 5 centesimi. Con queste monetine si può aumentare il ricavo di un ulteriore 25%.
Riporto la mia soluzione con monete da 10 centesimi. Per non smentire la mia perfidia, cercherò di mascherare l'autentico approccio, che, come ho già detto, è decisamente 'elementare'.

Con 6 monete strettamente accostate formate un triangolo equilatero che, come tutti i suoi simili, presenta tre assi di simmetria.
Su ciascuno di questi assi aggiungete due monete, da parti opposte (una accostata al vertice e l'altra al punto medio del lato opposto). Lo so, vi mancano due monetine ma, nonostante le arie che tirano, troverete sicuramente chi vi presti 20 centesimi che gli restituirete con gli interessi.
Le sei monete più esterne formano un esagono irregolare con lati congruenti la cui lunghezza sarà $ d $. La potenza dell'insieme sarà zero: nove monete avranno forza $ 4 $ e le restanti tre $ 0 $. Eliminando queste ultime (sono i vertici del triangolo iniziale), potrete saldare il debito e resterà un insieme di potenza $ 4 $ che varrà 3.60 euro.

Ciao

[gpm63]

@ axpng

Grazie Alex. Effettivamente si può partire anche dall'ennagono interno. Io sono partito dall'esterno, una volta individuati i centri delle monete ho posto la condizione che quelle interne fossero tangenti. Nella soluzione di Orsolux, comunque, la distanza d è minore assai della mia, quindi preferibile. Quanto ai poligoni maggiori dell'ennagono rimane però il limite di 1€, per cui con le monete da 5 centesimi si può tentare con il decagono, non so con quale esito. Sennò bisogna ricorrere a quelle da 2 centesimi!

@ Orsolux

Ciao Orsolux, la tua soluzione è sicuramente meglio della mia perché la distanza è minore. Per aumentare il ricavo di un 25% occorrerebbero sempre 18 monete da 5 centesimi con potenza 5?

Saluti
Melba

[orsoulx]

@melba:

A mio avviso, il valore di $ d $ non ha un'influenza diretta sulla 'bontà' della soluzione. una configurazione si può ingrandire a piacimento senza che cambi il ricavato. Esisterà solo un valore minimo di $ d $, derivante dall'impossibilità di sovrapporre le monete.
Grosso modo il ricavo possibile cresce con l'aumento della potenza, che a sua volta può aumentare se cresce il numero di monete in gioco.
Sì, con monete da 5 centesime esistono soluzioni con potenza 5, ma non ho alcuna certezza che non si possa far di meglio.

Ciao

[axpgn]

@orsoulx
È questa?

@melba
Intendevo una generalizzazione senza limiti di importo massimo

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:
sì e credo non si possa far di meglio. Però, aumentando $ d $, esistono infinite disposizioni col medesimo rendimento, somiglianti ma non necessariamente simili a quella.
Ciao