Per la serie..."TROVA L"ERRORE"
TEOREMA (ovviamente sballato!!!)
SUM_0(infinito)(2^i)=-1
DIMOSTRAZIONE (ovviamente sbagliata)
Sia S la somma delle potenze di 2. Si ha:
1+2+4+8+... = S
moltiplicando ambo i membri per 2 si ha
2+4+8+... = 2S
Aggiungendo 1 ad entrambi i membri si ha
1+2+4+8+.... = 2S+1
Ora Si puo' osservare che il primo membro e' esattamente la sommatoria iniziale che avevamo chiamato S
Dunque risulta
S = 2S+1
da cui
S = -1
TROVATE L'ERRORE E BUON DIVERTIMENTO
SUM_0(infinito)(2^i)=-1
DIMOSTRAZIONE (ovviamente sbagliata)
Sia S la somma delle potenze di 2. Si ha:
1+2+4+8+... = S
moltiplicando ambo i membri per 2 si ha
2+4+8+... = 2S
Aggiungendo 1 ad entrambi i membri si ha
1+2+4+8+.... = 2S+1
Ora Si puo' osservare che il primo membro e' esattamente la sommatoria iniziale che avevamo chiamato S
Dunque risulta
S = 2S+1
da cui
S = -1
TROVATE L'ERRORE E BUON DIVERTIMENTO
Risposte
"Giusepperoma":
TEOREMA (ovviamente sballato!!!)
SUM_0(infinito)(2^i)=-1
DIMOSTRAZIONE (ovviamente sbagliata)
Sia S la somma delle potenze di 2. Si ha:
1+2+4+8+... = S
moltiplicando ambo i membri per 2 si ha
2+4+8+... = 2S
Aggiungendo 1 ad entrambi i membri si ha
1+2+4+8+.... = 2S+1
Ora Si puo' osservare che il primo membro e' esattamente la sommatoria iniziale che avevamo chiamato S
Dunque risulta
S = 2S+1
da cui
S = -1
TROVATE L'ERRORE E BUON DIVERTIMENTO
haaa, l'hai preso dove ti ho spiegato come calcolare la serie geometrica, però per moltiplicare entrambi i membri per 2 i membri devono essere < di infinito.
Bello questo!
La "fregatura" si vede scrivendo la somma con il simbolismo di Eulero:
$ S = \sum_{i=0}^n 2^i $
Moltiplichiamo per 2:
$ 2S = \sum_{i=0}^n 2^{i+1} $
Aggiungiamo 1:
$ 2S + 1 = \sum_{i=0}^n 2^{i+1} + 1 = \sum_{i=0}^{n+1} 2^{i} \ne S $
La "fregatura" si vede scrivendo la somma con il simbolismo di Eulero:
$ S = \sum_{i=0}^n 2^i $
Moltiplichiamo per 2:
$ 2S = \sum_{i=0}^n 2^{i+1} $
Aggiungiamo 1:
$ 2S + 1 = \sum_{i=0}^n 2^{i+1} + 1 = \sum_{i=0}^{n+1} 2^{i} \ne S $
scusa, ma non riesco a decifrare la tua scrittura...
non ho il programma adatto, ma mi sembra, da quel poco che riesco a capire che fai la sommatoria da 0 a n e non da 0 a infinito...
non ho il programma adatto, ma mi sembra, da quel poco che riesco a capire che fai la sommatoria da 0 a n e non da 0 a infinito...
Se usi firefox sono necessarie soltanto delle fonts matematiche che puoi scaricare da questo link: http://web.mit.edu/atticus/www/mathml/m ... .0-fc1.msi
Se usi internet explorer prima di tutto ti consiglio di passare a firefox, se poi sei masochista e vuoi continuare ad usarlo scarica questo plugin: http://www.dessci.com/en/dl/MathPlayerSetup.asp
Se usi internet explorer prima di tutto ti consiglio di passare a firefox, se poi sei masochista e vuoi continuare ad usarlo scarica questo plugin: http://www.dessci.com/en/dl/MathPlayerSetup.asp
il fatto e' che il computer non e' mio e non sono autorizzato a scaricare niente....
Ah, OK! Comunque sempre meglio ricordarlo alla comunità!
"carlo23":
[quote="Giusepperoma"]TEOREMA (ovviamente sballato!!!)
SUM_0(infinito)(2^i)=-1
DIMOSTRAZIONE (ovviamente sbagliata)
Sia S la somma delle potenze di 2. Si ha:
1+2+4+8+... = S
moltiplicando ambo i membri per 2 si ha
2+4+8+... = 2S
Aggiungendo 1 ad entrambi i membri si ha
1+2+4+8+.... = 2S+1
Ora Si puo' osservare che il primo membro e' esattamente la sommatoria iniziale che avevamo chiamato S
Dunque risulta
S = 2S+1
da cui
S = -1
TROVATE L'ERRORE E BUON DIVERTIMENTO
haaa, l'hai preso dove ti ho spiegato come calcolare la serie geometrica, però per moltiplicare entrambi i membri per 2 i membri devono essere < di infinito.[/quote]
veramente...
questo quesito lo conosco dai tempi dell'universita'...
secondo
come calcolare la serie lo sapevo (libero di non crederci) ricordavo male il risultato, ma ero convinto di ricordarlo bene, cosicche' non ho controllato...
"Giusepperoma":
[quote="carlo23"][quote="Giusepperoma"]TEOREMA (ovviamente sballato!!!)
SUM_0(infinito)(2^i)=-1
DIMOSTRAZIONE (ovviamente sbagliata)
Sia S la somma delle potenze di 2. Si ha:
1+2+4+8+... = S
moltiplicando ambo i membri per 2 si ha
2+4+8+... = 2S
Aggiungendo 1 ad entrambi i membri si ha
1+2+4+8+.... = 2S+1
Ora Si puo' osservare che il primo membro e' esattamente la sommatoria iniziale che avevamo chiamato S
Dunque risulta
S = 2S+1
da cui
S = -1
TROVATE L'ERRORE E BUON DIVERTIMENTO
haaa, l'hai preso dove ti ho spiegato come calcolare la serie geometrica, però per moltiplicare entrambi i membri per 2 i membri devono essere < di infinito.[/quote]
veramente...
questo quesito lo conosco dai tempi dell'universita'...
secondo
come calcolare la serie lo sapevo (libero di non crederci) ricordavo male il risultato, ma ero convinto di ricordarlo bene, cosicche' non ho controllato...[/quote]
Certo, sono sicuro che conoscevi già la serie geometrica (non ti prendo mica per scemo).
Volevo solo dire che hai postato questo problema perchè ti è venuto in mente mentre hai risolto il problema del prodotto infinito che avevo postato io.
Spero tu non ti sia offeso
tutto ok! don't worry!
"Giusepperoma":
scusa, ma non riesco a decifrare la tua scrittura...
non ho il programma adatto, ma mi sembra, da quel poco che riesco a capire che fai la sommatoria da 0 a n e non da 0 a infinito...
Pensavo che si capisse. Pero' effettivamente non e' chiaro. Con $S$ intendevo le somme parziali... infatti io penso che per maneggiare le serie sia d'obbligo maneggiare le somme parziali e poi eventualmente mandare all'infinito (mi pare che anche per la geometrica si faccia cosi'). Il fatto e' che se $S_n$ e' la somma parziale fino a $n$ allora:
$ 2 S_n + 1 = S_n + 2^{n+1} $ (dai conti di prima)
Se mandiamo $n -> oo$ si vede che la relazione ($2S+1=S$) e' chiaramente falsa.
capito!
No! con S io indico la somma infinita, quella che "voglio" dimostrare essere uguale a -1!!!
Se usassi somme parziali sarebbe falso
1+2+4+8=S(3)
moltiplicando per 2 si avrebbe
2+4+8+16=2S(3)
aggingendo 1
1+2+4+8+16=2S(3)+1
ma ora a primo membro non si ha piu' S(3)....
giusto?
@Carlo 23
Non credo che la tua soluzione sia ammissibile!
se
a=b ---> 2a=2b sia che a e b siano finiti o meno, non ti pare?
io ho un'altra soluzione... fu a suo tempo accettata dal mio professore alla Sapienza... magari lascio un po' di tempo a tutti per divertirsi, poi posto la mia e ne discutiamo, che dici?
Ciao,
Giuseppe
No! con S io indico la somma infinita, quella che "voglio" dimostrare essere uguale a -1!!!
Se usassi somme parziali sarebbe falso
1+2+4+8=S(3)
moltiplicando per 2 si avrebbe
2+4+8+16=2S(3)
aggingendo 1
1+2+4+8+16=2S(3)+1
ma ora a primo membro non si ha piu' S(3)....
giusto?
@Carlo 23
Non credo che la tua soluzione sia ammissibile!
se
a=b ---> 2a=2b sia che a e b siano finiti o meno, non ti pare?
io ho un'altra soluzione... fu a suo tempo accettata dal mio professore alla Sapienza... magari lascio un po' di tempo a tutti per divertirsi, poi posto la mia e ne discutiamo, che dici?
Ciao,
Giuseppe
Secondo me non e' formalmente corretto agire sulle somme infinite. Bisogna passare per le somme parziali e andare al limite. Cosi' facendo non si ottengono "paradossi".
Comunque resto in attesa della soluzione ufficiale.
Comunque resto in attesa della soluzione ufficiale.
io credo che lo sia... non vedo perche' non dovrebbe esserlo, visto che il doppio di infinito e' comunque infinito....
comunque... la soluzione l'avete tutti a portata di mano, la state praticamente dicendo senza dirla
se volete ve la do subito... e se ne discute
il mio prof a suo tempo propose il quesito ed accetto' la mia risposta... questo e' tutto, non so se si possa parlare della mia risposta come della
"soluzione ufficiale"
fatemi sapere se e quando volete la mia proposta di soluzioine
ciao
Giuseppe
comunque... la soluzione l'avete tutti a portata di mano, la state praticamente dicendo senza dirla
se volete ve la do subito... e se ne discute
il mio prof a suo tempo propose il quesito ed accetto' la mia risposta... questo e' tutto, non so se si possa parlare della mia risposta come della
"soluzione ufficiale"
fatemi sapere se e quando volete la mia proposta di soluzioine
ciao
Giuseppe
"Giusepperoma":
TEOREMA (ovviamente sballato!!!)
...
Dunque risulta
S = 2S+1
da cui
S = -1
...
Mi pare evidente l'errore, ma per essere più chiaro (ed esplicito) uso un linguaggio "sbagliato":
«Sia S = Infinito,
allora 2S+1 = 2·Infinito+1 = Infinito,
da cui segue 2S+1 = S,
da cui segue che S = -1 »
esatto:
la soluzione ad una sommatoria infinita va cercata non in R, ma in R barrato (cioe' con l'aggiunta di + o - infinito!)
In R barrato, le soluzioni possibili sono
- infinito
-1
+ infinito
essendo la somma a termini positivi l'unica soluzione possibile e' piu' infinito!
la soluzione ad una sommatoria infinita va cercata non in R, ma in R barrato (cioe' con l'aggiunta di + o - infinito!)
In R barrato, le soluzioni possibili sono
- infinito
-1
+ infinito
essendo la somma a termini positivi l'unica soluzione possibile e' piu' infinito!
si chiama R* (erre star) :D
:D
l'ho sempre chiamato R barrato (con la barra sopra, per capirci)
d'altra parte non e' con la barra sopra che si suole indicare la chiusura di un insieme?
d'altra parte non e' con la barra sopra che si suole indicare la chiusura di un insieme?
"Giusepperoma":
...
In R barrato, le soluzioni possibili sono
- infinito
-1
+ infinito
essendo la somma a termini positivi l'unica soluzione possibile e' piu' infinito!
Forse non ho capito bene, ma mi pare che non abbai senso: semplicemente è assurda l'affermazione «(2·Infinito+1) - Infinito = Infinito +1».
In R barrato ci sono dei numeri (su cui le operazioni hanno delle proprietà, in particolare vi sono definite anche la differenza e, ma solo se il divisore non è nullo, il rapporto) e due altri enti, cioè +Infinito e -Infinito, ma su cui alcune operazioni non sono definite (in particolare la differnza +Infinito -(+Infinito), e non essendo definita la dimostrazione iniziale è sbagliaa, maanche la tua affermazione della citazione sopra.
Forse sono ancora più chiaro se affermo che «per ogni V elemento di R barrato esistono coppie di successioni (S1(n), S2(n)) tali che è +Infinto il limite, per n che trende a +Infinito, sia di S1(n) che di S2(n), ma tali che la difernza S1(n)-S2(n) tenda a V; esistono anche coppie analoghe, ma tali che non esista il limite della loro differenza».
sono d'accordo: non ha senso fare infinito meno infinito, ma ha senso fare 2 per infinito, che fa infinito e infinito piu' 1 che fa ancora infinito
L'equazione era
S=2S+1
Non c'e' infinito meno infinito....
o non ho capito lo spirito del tuo intervento?
L'equazione era
S=2S+1
Non c'e' infinito meno infinito....
o non ho capito lo spirito del tuo intervento?
Come ho scritto sopra, citando, l'errore sta nel tentativo di far seguire che
S=-1
dall'uguaglianza ("vera", intesa come limite)
S=2S+1 .
Io ho pensato che l'idea sarebbe stata quella di sottrarre "S" ad ambo i membri di "S=2S+1" otenendo "0=S+1" e da questa arrivare a "S=-1" .
Se ho intepretato correttamente (penso di sì) l'errore sta proprio nell'affermazione suddetta, perché è chiaro che se il limite di "S" e di "2S+1" sono entrambi +Infinito è ovvio che il limite della differenza non è affatto "0".
S=-1
dall'uguaglianza ("vera", intesa come limite)
S=2S+1 .
Io ho pensato che l'idea sarebbe stata quella di sottrarre "S" ad ambo i membri di "S=2S+1" otenendo "0=S+1" e da questa arrivare a "S=-1" .
Se ho intepretato correttamente (penso di sì) l'errore sta proprio nell'affermazione suddetta, perché è chiaro che se il limite di "S" e di "2S+1" sono entrambi +Infinito è ovvio che il limite della differenza non è affatto "0".
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