Paradosso di Bertrand
propongo un famoso problema di probabilità così come è scritto nel mio vecchio testo: K.Baclawski, M.Cerasoli, G.C.Rota. Introduzione alla Probabilità. UMI
si sceglie a caso una corda di un cerchio. qual è la probabilità che sia maggiore del lato del triangolo equilatero inscritto?
N.B.: avverto nel testo citato (soluzioni) si parla del fatto che il problema ha più soluzioni perché non è chiaro il significato della frase "scegliere a caso una corda", da cui l'apparente paradosso. dice che ci sono sei modi in cui si può scegliere a caso una corda e quindi sei soluzioni, però il testo ne propone solo tre: non vi dico quali sono le tre interpretazioni, sia per non rovinare la sorpresa sia perché sono comunque parziali, ma vi dico i valori corrispondenti delle tre probabilità (anch'esse parziali), 1/2, 1/3, 1/4. naturalmente se ottenete un risultato diverso è possibile che abbiate considerato uno degli altri tre modi d'interpretazione della frase incriminata.
buon divertimento!
si sceglie a caso una corda di un cerchio. qual è la probabilità che sia maggiore del lato del triangolo equilatero inscritto?
N.B.: avverto nel testo citato (soluzioni) si parla del fatto che il problema ha più soluzioni perché non è chiaro il significato della frase "scegliere a caso una corda", da cui l'apparente paradosso. dice che ci sono sei modi in cui si può scegliere a caso una corda e quindi sei soluzioni, però il testo ne propone solo tre: non vi dico quali sono le tre interpretazioni, sia per non rovinare la sorpresa sia perché sono comunque parziali, ma vi dico i valori corrispondenti delle tre probabilità (anch'esse parziali), 1/2, 1/3, 1/4. naturalmente se ottenete un risultato diverso è possibile che abbiate considerato uno degli altri tre modi d'interpretazione della frase incriminata.
buon divertimento!
Risposte
Letto il paradosso su wiki.
Alla fine dell'articolo sembra che il metodo "2" sia quello corretto. (Così, pur essendo tutti e tre i metodi perfettamente corretti ed accettabili, il secondo è l'unico che soddisfa i requisiti cui corrisponde, nel senso comune, la frase "scegliere una corda casualmente".)
personalmente (al primo impatto) preferisco il primo. Considererei la circonferenza come una retta, e sceglierei 2 punti di essa a caso. Anche volendo fare un piccolo programmino utilizzando il metodo di montecarlo, imposterei "la casualità" in questi termini.
Alla fine dell'articolo sembra che il metodo "2" sia quello corretto. (Così, pur essendo tutti e tre i metodi perfettamente corretti ed accettabili, il secondo è l'unico che soddisfa i requisiti cui corrisponde, nel senso comune, la frase "scegliere una corda casualmente".)
personalmente (al primo impatto) preferisco il primo. Considererei la circonferenza come una retta, e sceglierei 2 punti di essa a caso. Anche volendo fare un piccolo programmino utilizzando il metodo di montecarlo, imposterei "la casualità" in questi termini.
farò un giro anch'io su wiki. ma parla solo di questi tre o di tutti e 6?
Ciao a tutti:
Il problema, come ha spiegato AdaBTTLS, dipende da come si intende la frase "scegliere a caso". Anche io avrei optato sulla prima soluzione... Chiedo a voi: possibile che tutte le soluzioni siano accettabili?Perchè si hanno questi valori diversi?
Grazie
Il problema, come ha spiegato AdaBTTLS, dipende da come si intende la frase "scegliere a caso". Anche io avrei optato sulla prima soluzione... Chiedo a voi: possibile che tutte le soluzioni siano accettabili?Perchè si hanno questi valori diversi?
Grazie
"adaBTTLS":
farò un giro anch'io su wiki. ma parla solo di questi tre o di tutti e 6?
No, solo 3, e sono anche troppi per me.
Per me un metodo casuale deve essere piu' casuale possibile. (senza vincoli, libero, a caso)
Nel metodo num. 2 (quello denominato "raggio casuale" con probabilita' pari a 1/2) è stato tracciato un raggio, e sono state valutate tutte le corde perpendicolari al raggio ( solo quelle ). Possiamo dire che questo metodo è scorretto ?
Sicuramente no, ma mi sembra che metta dei "paletti" alla casualità.
... e non parliamo del terzo ....
Resto favorevole al primo metodo denominato "estremi casuali"
grazie, l'ho trovato, sto cercando altrove con google ... ora ci siamo anche noi!
"adaBTTLS":
grazie, l'ho trovato, sto cercando altrove con google ... ora ci siamo anche noi!
si ma te, da che parte stai ?
wiki rimanda ad un'altra pagina: http://www.cut-the-knot.org/bertrand.shtml
oltre a queste, le uniche "fonti autorevoli" che sono riuscita a trovare che parlano dell'argomento sono queste:
http://mathworld.wolfram.com/BertrandsProblem.html
http://www.brunodefinetti.it/Bibliograf ... trand..pdf
anche se la seconda ancora non riesco ad aprirla... sono andata a fiducia...
oltre a queste, le uniche "fonti autorevoli" che sono riuscita a trovare che parlano dell'argomento sono queste:
http://mathworld.wolfram.com/BertrandsProblem.html
http://www.brunodefinetti.it/Bibliograf ... trand..pdf
anche se la seconda ancora non riesco ad aprirla... sono andata a fiducia...
Troppo belline le animazioni!! Ho notato che stiamo utilizzando l'espressione: "Secondo me è giusta questa o quell'altra soluzione"... Non trovate che sia poco matematico?
sono io che non trovo le animazioni... è il mio computer che ancora non mi permette di aprire "DeFinetti"?
io sarei più per la seconda ... però non è il caso di prendere una posizione netta ...
io sarei più per la seconda ... però non è il caso di prendere una posizione netta ...
sorpresa...
non riuscendo ad aprire il file, l'ho ricercato tramite google, ed ho deciso di aprire la versione HTML, che ora vi posto, ed è non di Bruno De Finetti ma di una nostra vecchia conoscenza ... ricordi, Umby?
http://209.85.129.132/search?q=cache:CF ... clnk&gl=it
non riuscendo ad aprire il file, l'ho ricercato tramite google, ed ho deciso di aprire la versione HTML, che ora vi posto, ed è non di Bruno De Finetti ma di una nostra vecchia conoscenza ... ricordi, Umby?
http://209.85.129.132/search?q=cache:CF ... clnk&gl=it
"adaBTTLS":
sono io che non trovo le animazioni... è il mio computer che ancora non mi permette di aprire "DeFinetti"?
io sarei più per la seconda ... però non è il caso di prendere una posizione netta ...
nel primo link, ci sono delle simulazioni di generazioni numeri casuali per dimostrare le varie percentuali (1/3 1/2 1/4)
Ricordo che tempo fa usavi ancora Explorer, forse non lo hai piu sostituito con Firefox ?
Il secondo link, è errato.
"adaBTTLS":
sorpresa...
non riuscendo ad aprire il file, l'ho ricercato tramite google, ed ho deciso di aprire la versione HTML, che ora vi posto, ed è non di Bruno De Finetti ma di una nostra vecchia conoscenza ... ricordi, Umby?
Certo che mi ricordo!!!
(pur non sapendo chi fosse, ho subito capito )Mi spiace che non si affacci più sul forum, sicuramente una persona molto preparata, anche se un po' scorbutica.
Ho letto il suo articolo, ma non è che si sbottoni tanto. Considera tutti i vari metodi con lo stesso peso. Mi sarei aspettato una maggiore critica tra un metodo e l'altro.
A questo punto non ci rimane che ognuno scelga il proprio.
P.s. Perchè te sei piu favorevole al secondo ?
Malvestuto coglie il punto importante. Anche se è piuttosto ovvio.
Ovvero, vengono usati, nella descrizione del problema, termini del linguaggio naturale che si prestano a molteplici interpretazioni.
Detto questo, non c'è nulla di strano che vengano risultati diversi a seconda della interpretazione che viene scelta.
Semmai, si può notare che lavorare in un ambiente infinito aumenta i rischi di interpretazioni variopinte.
Ovvero, vengono usati, nella descrizione del problema, termini del linguaggio naturale che si prestano a molteplici interpretazioni.
Detto questo, non c'è nulla di strano che vengano risultati diversi a seconda della interpretazione che viene scelta.
Semmai, si può notare che lavorare in un ambiente infinito aumenta i rischi di interpretazioni variopinte.
"Fioravante Patrone":
Malvestuto coglie il punto importante. Anche se è piuttosto ovvio.
Ovvero, vengono usati, nella descrizione del problema, termini del linguaggio naturale che si prestano a molteplici interpretazioni.
Detto questo, non c'è nulla di strano che vengano risultati diversi a seconda della interpretazione che viene scelta.
Semmai, si può notare che lavorare in un ambiente infinito aumenta i rischi di interpretazioni variopinte.
Ho capito che per rispondere in modo univoco a questo tipo di problemi, ci dobbiamo mettere d'accordo su quale sia la definizione di "casualità", quest'ultima soggetta ad interpretazione.
Curioso il fatto che il linguaggio naturale sia limitante per la matematica
Non ho trovato sulla pagina di wikipedia quello
che avevo pensato io:
per ogni direzione della corda, le probabilità che sia più corta del lato del triangolo
non potrebbero essere contate come la frazione dell'area del cerchio dei due
segmenti circolari dei settori di angolo $2/3\pi$ ciascuno? Ovvero:
più corta: $(2/3\pi - 2(1/2)(sqrt3(1/2)))/\pi$.
Faccio questo esempio: ho una linea retta tracciata in terra, e lancio un anello di raggio interno $R$. Rispetto agli eventi
in cui la retta seca, (o "tange"), la circonferenza che consideriamo -la
probabilità che quella corda (o punto) sia più lunga di $sqrt(3)R$ a me sembra si possa considerare proprio in rapporto alle aree.
E' come il "metodo 2", solo che considero l'area e non la porzione di raggio.
che avevo pensato io:
per ogni direzione della corda, le probabilità che sia più corta del lato del triangolo
non potrebbero essere contate come la frazione dell'area del cerchio dei due
segmenti circolari dei settori di angolo $2/3\pi$ ciascuno? Ovvero:
più corta: $(2/3\pi - 2(1/2)(sqrt3(1/2)))/\pi$.
Faccio questo esempio: ho una linea retta tracciata in terra, e lancio un anello di raggio interno $R$. Rispetto agli eventi
in cui la retta seca, (o "tange"), la circonferenza che consideriamo -la
probabilità che quella corda (o punto) sia più lunga di $sqrt(3)R$ a me sembra si possa considerare proprio in rapporto alle aree.
E' come il "metodo 2", solo che considero l'area e non la porzione di raggio.
non ti garantisco che sia una delle possibili soluzioni già prese in considerazione (il testo parlava di 6 interpretazioni, ma ne citava solo 3).
c'è un motivo particolare per cui ti convince più delle altre?
c'è un motivo particolare per cui ti convince più delle altre?
Non è che mi convinca di più, è stata semplicemente quella che mi è venuta in mente senza guardare quali fossero le 3.
Era solo un..."pensierino", da considerare poi se possa andare o no.
Ora ci sto pensando meglio; quello
che ho detto andrebbe bene per punti ritengo, non per segmenti di retta come le corde!
Mh, per come ho descritto l'esperimento, sarebbe a dire: dove cade il centro dell'anello rispetto alla retta?
dunque: se il centro cade nella striscia con la retta come asse ed ampezza $R$, la corda intercettata
è maggiore o uguale al lato del triangolo. Invece l'altra area è quella di due strisce parallele alle retta ognuna di ampiezza $(1/2)R$ -quindi la probabilità così viene $(1/2)$! -in effetti è il "metodo 2".
p.s. (per chi ha letto questo ms. prima che lo correggessi) che "erroraccio" che avevo fatto! come
dissi qui in Biblioteca: "sarà il caldo da me accumulato nei giorni passati"
Era solo un..."pensierino", da considerare poi se possa andare o no.
Ora ci sto pensando meglio; quello
che ho detto andrebbe bene per punti ritengo, non per segmenti di retta come le corde!
Mh, per come ho descritto l'esperimento, sarebbe a dire: dove cade il centro dell'anello rispetto alla retta?
dunque: se il centro cade nella striscia con la retta come asse ed ampezza $R$, la corda intercettata
è maggiore o uguale al lato del triangolo. Invece l'altra area è quella di due strisce parallele alle retta ognuna di ampiezza $(1/2)R$ -quindi la probabilità così viene $(1/2)$! -in effetti è il "metodo 2".
p.s. (per chi ha letto questo ms. prima che lo correggessi) che "erroraccio" che avevo fatto! come
dissi qui in Biblioteca: "sarà il caldo da me accumulato nei giorni passati"
"Mathematico":
Curioso il fatto che il linguaggio naturale sia limitante per la matematica
Curioso ma neppure piú di tanto.
Già Peano nel suo articolo Arithmetices principia nova methodo exposita punta il dito contro il linguaggio naturale come la principale causa di confusione e fraintendimenti in ambito matematico, con particolare riferimento alle questioni di matematica fondazionale.
È proprio da questa considerazione che prende le mosse lo sviluppo della sua notazione logica per la matematica.
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