Olimpiadi matematica
Salve,
come risolvereste questo problema?
come risolvereste questo problema?
Risposte
Per favore cancella l'immagine e riscrivi il testo (come peraltro richiesto dal regolamento oltre al fatto che l'immagine conduce ad un sito non sicuro)
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Brava Gabriella! E grazie 
Prego!
[xdom="gabriella127"]@ Karotto Il regolamento prevede che le formule vengano scritte con il codice, e che si eviti il più possibile di caricare immagini, per il semplice motivo che le immagini sul Forum dopo un certo tempo scompaiono e il messaggio diventa incomprensibile.
Se riesci a riscrivere sarebbe meglio, così il tuo post rimane.
Se al momento hai difficoltà a scrivere in codice e a fare grafici, per questo messaggio non fa niente, ma vale per il futuro.[/xdom]
[xdom="gabriella127"]@ Karotto Il regolamento prevede che le formule vengano scritte con il codice, e che si eviti il più possibile di caricare immagini, per il semplice motivo che le immagini sul Forum dopo un certo tempo scompaiono e il messaggio diventa incomprensibile.
Se riesci a riscrivere sarebbe meglio, così il tuo post rimane.
Se al momento hai difficoltà a scrivere in codice e a fare grafici, per questo messaggio non fa niente, ma vale per il futuro.[/xdom]
Anche io ho trovato questo problema alle olimpiadi... È uno dei due che non sono riuscito a risolvere (l'altro era con un parallelogramma - non sono proprio un asso in geometria). Vediamo se riesco risolverlo ora, a "mente lucida"... 
Scusatemi, non ho molto dimestichezza con il Codice. Chiedo scusa per l’inconveniente.
Grazie per la comprensione. Il prossimo messaggio sarà redatto sulla base di queste prescrizioni
Grazie per la comprensione. Il prossimo messaggio sarà redatto sulla base di queste prescrizioni
"axpgn":
Per favore cancella l'immagine e riscrivi il testo (come peraltro richiesto dal regolamento oltre al fatto che l'immagine conduce ad un sito non sicuro)
Cordialmente, Alex
Nel triangolo $PQR$ i punti $S$ e $T$ appartengono, rispettivamente, ai lati $PQ$ e $QR$.
Detto $I$ il punto di intersezione tra i lati $RS$ e $PT$,
le aree dei triangoli $PIR$, $RIT$ e $SIP$ misurano rispettivamente
$5\ "mm"^2$, $10 \ "mm"^2$ e $1 \ "mm"^2$.
Qual e' l'area del triangolo $PQR$ ?
a) $30 \ "mm"^2$
b) $36 \ "mm"^2$
c) $24 \ "mm"^2$
d) $32 \ "mm"^2$
PS.
Ci si mette meno a riscriverlo che a scrivere di riscriverlo la prossima volta.
Detto $I$ il punto di intersezione tra i lati $RS$ e $PT$,
le aree dei triangoli $PIR$, $RIT$ e $SIP$ misurano rispettivamente
$5\ "mm"^2$, $10 \ "mm"^2$ e $1 \ "mm"^2$.
Qual e' l'area del triangolo $PQR$ ?
a) $30 \ "mm"^2$
b) $36 \ "mm"^2$
c) $24 \ "mm"^2$
d) $32 \ "mm"^2$
PS.
Ci si mette meno a riscriverlo che a scrivere di riscriverlo la prossima volta.
La formula per trovare l'area QSIT e'
dove
$u = RIT$
$v = PIR$
$w = PIS$
La metto sotto spoiler siccome vedo che altri si stanno cimentando col problema.
Ne segue che la risposta e' la (A), $30 \ "mm"^2$.
Piu' tardi metto la dimostrazione, e' un po' lunghetta da scrivere, se spiegata bene
.
dove
$u = RIT$
$v = PIR$
$w = PIS$
La metto sotto spoiler siccome vedo che altri si stanno cimentando col problema.
Ne segue che la risposta e' la (A), $30 \ "mm"^2$.
Piu' tardi metto la dimostrazione, e' un po' lunghetta da scrivere, se spiegata bene
.
Credo di aver trovato l'inghippo 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
La dimostrazione e' questa, se interessa a qualcuno.
E' fatta per via analitica, in quanto non mi piacciono molto i vari ortocentro, incentro e mediane varie (e non le conosco neanche bene). E non so neanche se in questo caso portano alla conclusione.
Quindi si tratta di mettere il triangolo in un piano cartesiano $xOy$ con l'angolo $Q$ nell'origine.
L'asse $x$ e' posizionato sul lato $QR$.
Ora, in generale, l'angolo $P$ non e' sovrapposto all'asse $y$.
Si puo' pero' traslare il punto $P$ in direzione parallela all'asse $x$, fino a portarlo sull'asse $y$.
Chiaramente tutto il resto del triangolo si deforma in modo rigido seguendo lo spostamento di $P$.
Quello che e' importante e' vedere che questa trasformazione non modifica le varie aree del triangolo.
Immaginando che il triangolo sia fatto da tanti strati paralleli all'asse $x$, gli strati scorrono uno sopra l'altro, senza modificarsi, e in tal modo le aree di preservano. [nota]In un momento di creatività' ho chiamato questa trasformazione "POST-IT". Infatti, prendendo uno dei famosi blocchi di foglietti gialli POST-IT, facendo pressione con una mano e muovendo la mano di lato, la geometria del blocchetto cambia, ma il volume del blocchetto rimane chiaramente invariato.[/nota]
In termini piu' formali viene fatto un cambio di coordinate secondo la matrice:
$((x'),(y')) = ( ( 1 , -x_P/y_P ),( 0 , 1 ) ) ((x),(y))$
Inserendo nella trasformazione le coordinate del punto $P=(x_P, y_P)$ si ottiene $P' = (0, y_P)$, ovvero il punto e' stato traslato in orizzontale fino all'asse $y$.
Essendo $det ( 1 , -x_P/y_P ) = 1$, la trasformazione lascia le aree invariate.
Viene effettuata la trasformazione delle coordinate da $x, y$ a $x', y'$ ma nel seguito della dimostrazione continuo ad usare le lettere senza apici, ovvero $x, y$.
Il pregio di questo artificio e' che ora l'angolo $Q$ e' retto, il triangolo e' rettangolo e questo facilita di molto le cose.
Abbiamo quindi $Q$ nell’origine, $T$ e $R$ sull'asse $x$; e $S$ e $P$ sull'asse $y$, senza perdere di generalità' essendo le aree invariate.
Nel continuo della dimostrazione i simboli dei punti, ovvero $R, T, P, S$ stanno ad indicare sempre i punti, ma numericamente indicano la coordinata del punto sull'asse. Ad esempio, quando $R$ compare in una formula, sta ad indicare l'ascissa di $R$, essendo $R$ di coordinate $R=(x_R, 0)$.
Ad esempio, la formula $PR$ indica l'area del rettangolo di dimensioni $P$ ed $R$, dove alle lettere vanno sostituite la rispettiva coordinata di $P$ ed $R$.
Siccome l'obbiettivo e' in qualche modo trovare l'area $QSIT$, diventa interessante trovare le coordinate di $I$.
Le rette su cui giacciono i segmenti $\bar{PT}$ ed $\bar{SR}$ sono le rette di equazione
$y/P + x/T = 1$
$y/S + x/R = 1$
Mettendo a sistema le due equazioni si trovano le coordinate dell'intersezione, ossia il punto $I$:
$x_I = (P-S)/(PR-ST) RT$
$y_I = (R-T)/(PR-ST) PS$
Ora si tratta di scrivere l'area di $QSIT$ in funzione delle coordinate di $I$.
Un disegno sarebbe molto esplicativo, ma senza disegno, l'area $QSIT$ si puo' pensare come composta da un rettangolo che ha come vertici opposti $Q$ ed $I$, piu' due triangoli. La posizione dei due triangoli e' ovvia, basta farsi un veloce disegno.
Prima di proseguire con la dimostrazione dichiaro alcune lettere che verranno usate per indicare le aree, ovvero
$z = 2 \cdot QSIT$
$ u = 2 \cdot RIT $
$ v = 2 \cdot PIR $
$ w = 2 \cdot PIS $
Questo rende piu' chiara la lettura delle formule.
Il raddoppio delle aree e' per non appesantire le formule.
Ad esempio l'area del triangolo $PQR$ diventa una scrittura facile da leggere, usando queste convenzioni:
$PR = u+v+w+z$
Di nuovo, $P$ ed $R$ sono 2 numeri ed indicano l'ascissa di $R$ e l'ordinata di $P$.
Torniamo all'area $QSIT$ che chiameremo quindi $z$.
Secondo quanto ho spiegato prima,
$z = (S - y_I)x_I + (T - x_I)y_I + 2 x_I y_I $
semplificando:
$z = S x_I + T y_I$.
Usando le coordinate di $I$ calcolate prima si trova:
$z = ST((PR-RS+PR-PT)/(PR-ST))$
semplificando:
$z = (2PR-RS-PT)/((PR)/(ST)-1)$
I vari prodotti di due lettere che compaiono nella formula sono facilmente individuabili, a parte $ST$.
Per $ST$ scriviamo:
$ST = ST (PR)/(PR) = (PRST)/(PR) = ((PT)(RS))/(PR)$
Ora si tratta di scrivere i prodotti di due lettere usando le aree del triangolo individuate dalle aree $u, v, w, z$ descritte prima.
Le aree sono facili da individuare e risulta:
$PR = u+v+w+z$
$RS = w+z$
$PT = u+z$
$ST = ((u+z)(w+z))/(u+v+w+z)$
Ora non rimane che prendere la formula di $z$ scritta prima, ovvero
$z = (2PR-RS-PT)/((PR)/(ST)-1)$
e sostituire alle coppie di lettere, le aree usando $u, v, w, z$.
La formula che risulta e' abbastanza complessa e lunga.
La ometto perché' e' solo una banale sostituzione letterale.
Fortunatamente ci sono molte eliminazioni di termini e fortunatamente i termini quadratici, in cui compare $z^2$ spariscono completamente.
La formula che rimane e' quella conclusiva per l'area di $z=QSIT$:
$QSIT = (uw(u+w+2v))/(v^2-uw)$.
Questo conclude la dimostrazione.
E' fatta per via analitica, in quanto non mi piacciono molto i vari ortocentro, incentro e mediane varie (e non le conosco neanche bene). E non so neanche se in questo caso portano alla conclusione.
Quindi si tratta di mettere il triangolo in un piano cartesiano $xOy$ con l'angolo $Q$ nell'origine.
L'asse $x$ e' posizionato sul lato $QR$.
Ora, in generale, l'angolo $P$ non e' sovrapposto all'asse $y$.
Si puo' pero' traslare il punto $P$ in direzione parallela all'asse $x$, fino a portarlo sull'asse $y$.
Chiaramente tutto il resto del triangolo si deforma in modo rigido seguendo lo spostamento di $P$.
Quello che e' importante e' vedere che questa trasformazione non modifica le varie aree del triangolo.
Immaginando che il triangolo sia fatto da tanti strati paralleli all'asse $x$, gli strati scorrono uno sopra l'altro, senza modificarsi, e in tal modo le aree di preservano. [nota]In un momento di creatività' ho chiamato questa trasformazione "POST-IT". Infatti, prendendo uno dei famosi blocchi di foglietti gialli POST-IT, facendo pressione con una mano e muovendo la mano di lato, la geometria del blocchetto cambia, ma il volume del blocchetto rimane chiaramente invariato.[/nota]
In termini piu' formali viene fatto un cambio di coordinate secondo la matrice:
$((x'),(y')) = ( ( 1 , -x_P/y_P ),( 0 , 1 ) ) ((x),(y))$
Inserendo nella trasformazione le coordinate del punto $P=(x_P, y_P)$ si ottiene $P' = (0, y_P)$, ovvero il punto e' stato traslato in orizzontale fino all'asse $y$.
Essendo $det ( 1 , -x_P/y_P ) = 1$, la trasformazione lascia le aree invariate.
Viene effettuata la trasformazione delle coordinate da $x, y$ a $x', y'$ ma nel seguito della dimostrazione continuo ad usare le lettere senza apici, ovvero $x, y$.
Il pregio di questo artificio e' che ora l'angolo $Q$ e' retto, il triangolo e' rettangolo e questo facilita di molto le cose.
Abbiamo quindi $Q$ nell’origine, $T$ e $R$ sull'asse $x$; e $S$ e $P$ sull'asse $y$, senza perdere di generalità' essendo le aree invariate.
Nel continuo della dimostrazione i simboli dei punti, ovvero $R, T, P, S$ stanno ad indicare sempre i punti, ma numericamente indicano la coordinata del punto sull'asse. Ad esempio, quando $R$ compare in una formula, sta ad indicare l'ascissa di $R$, essendo $R$ di coordinate $R=(x_R, 0)$.
Ad esempio, la formula $PR$ indica l'area del rettangolo di dimensioni $P$ ed $R$, dove alle lettere vanno sostituite la rispettiva coordinata di $P$ ed $R$.
Siccome l'obbiettivo e' in qualche modo trovare l'area $QSIT$, diventa interessante trovare le coordinate di $I$.
Le rette su cui giacciono i segmenti $\bar{PT}$ ed $\bar{SR}$ sono le rette di equazione
$y/P + x/T = 1$
$y/S + x/R = 1$
Mettendo a sistema le due equazioni si trovano le coordinate dell'intersezione, ossia il punto $I$:
$x_I = (P-S)/(PR-ST) RT$
$y_I = (R-T)/(PR-ST) PS$
Ora si tratta di scrivere l'area di $QSIT$ in funzione delle coordinate di $I$.
Un disegno sarebbe molto esplicativo, ma senza disegno, l'area $QSIT$ si puo' pensare come composta da un rettangolo che ha come vertici opposti $Q$ ed $I$, piu' due triangoli. La posizione dei due triangoli e' ovvia, basta farsi un veloce disegno.
Prima di proseguire con la dimostrazione dichiaro alcune lettere che verranno usate per indicare le aree, ovvero
$z = 2 \cdot QSIT$
$ u = 2 \cdot RIT $
$ v = 2 \cdot PIR $
$ w = 2 \cdot PIS $
Questo rende piu' chiara la lettura delle formule.
Il raddoppio delle aree e' per non appesantire le formule.
Ad esempio l'area del triangolo $PQR$ diventa una scrittura facile da leggere, usando queste convenzioni:
$PR = u+v+w+z$
Di nuovo, $P$ ed $R$ sono 2 numeri ed indicano l'ascissa di $R$ e l'ordinata di $P$.
Torniamo all'area $QSIT$ che chiameremo quindi $z$.
Secondo quanto ho spiegato prima,
$z = (S - y_I)x_I + (T - x_I)y_I + 2 x_I y_I $
semplificando:
$z = S x_I + T y_I$.
Usando le coordinate di $I$ calcolate prima si trova:
$z = ST((PR-RS+PR-PT)/(PR-ST))$
semplificando:
$z = (2PR-RS-PT)/((PR)/(ST)-1)$
I vari prodotti di due lettere che compaiono nella formula sono facilmente individuabili, a parte $ST$.
Per $ST$ scriviamo:
$ST = ST (PR)/(PR) = (PRST)/(PR) = ((PT)(RS))/(PR)$
Ora si tratta di scrivere i prodotti di due lettere usando le aree del triangolo individuate dalle aree $u, v, w, z$ descritte prima.
Le aree sono facili da individuare e risulta:
$PR = u+v+w+z$
$RS = w+z$
$PT = u+z$
$ST = ((u+z)(w+z))/(u+v+w+z)$
Ora non rimane che prendere la formula di $z$ scritta prima, ovvero
$z = (2PR-RS-PT)/((PR)/(ST)-1)$
e sostituire alle coppie di lettere, le aree usando $u, v, w, z$.
La formula che risulta e' abbastanza complessa e lunga.
La ometto perché' e' solo una banale sostituzione letterale.
Fortunatamente ci sono molte eliminazioni di termini e fortunatamente i termini quadratici, in cui compare $z^2$ spariscono completamente.
La formula che rimane e' quella conclusiva per l'area di $z=QSIT$:
$QSIT = (uw(u+w+2v))/(v^2-uw)$.
Questo conclude la dimostrazione.
Cordialmente, Alex
A grande richiesta ( ) aggiungo alcuni dettagli ...
Cordialmente, Alex
) aggiungo alcuni dettagli ...Cordialmente, Alex
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