Numeri naturali e numeri reali
Dimostrare che ci sono più numeri reali fra 0 e 1 che numeri naturali.
Risposte
Basta stabilire una biezione tra $(0, 1)$ e $RR$.
"giuseppe87x":
Basta stabilire una biezione tra $(0, 1)$ e $RR$.
Basta molto meno, quale numero naturale ($in NN$ quindi) è $<1$ è $>0$?
"carlo23":
[quote="giuseppe87x"]Basta stabilire una biezione tra $(0, 1)$ e $RR$.
Basta molto meno, quale numero naturale ($in NN$ quindi) è $<1$ è $>0$?[/quote]
Il compreso fra 0 e 1 era inteso solo per i reali, i naturali vanno considerati tutti...
L'insieme $NN$ è sottoinsieme proprio di $RR$, quindi in $NN$ ci sono meno elementi che in $RR$. Ma l'insieme $RR$ ha lapotenza del continuo ed è equipotente all'intervallo $[0,1]$ (ciò è di semplice domostrazione). Segue la tesi
"matematicoestinto":
L'insieme $NN$ è sottoinsieme proprio di $RR$, quindi in $NN$ ci sono meno elementi che in $RR$.
Quindi cosa?!?
Anche $[0,1]$ è un sottoinsieme proprio di $RR$, ma in $[0,1]$ non ci sono meno elementi che in $RR$. 
$[0,1]$ è un sottinsieme perfetto di $RR$, dunque non è numerabile, come ho imparato dal post di giuseppe87x 
scusate l'ignoranza, ma l'insieme $NN$ e i numeri reali compresi tra 0 e 1, non son entrambi infiniti?
solo che i numri reali sono più "densi " dei numeri naturali...
solo che i numri reali sono più "densi " dei numeri naturali...
Sono entrambi infiniti, ma i numeri reali fra 0 e 1 sono di più...
intuitivamente questo perchè non c'è relazione biunivoca tra gli insiemi $NN$ ed $RR$, ma c'è solo una corrispondenza surriettiva, giusto?
quindi $NNsubeRR$, in questo modo nel sottoinsieme $(0,1)inRR$, si può, con gli elementi di $RR$ contenuti in questo intervallo, relazionare una corrispondenza suriettiva con l'insieme $NN$, in quanto entrambi sono infiniti e l'insieme $RR$ ha la stessa cardinalità dell'intervallo (0,1).
Però risalendo alla domanda, se essa è vero, allora $NNsube(0,1)$ e quindi in questo intervallo ci sono più elementei...
questa non è la dimostrazione immagino, ma è in questi termini che si deve ragionare, giusto?...
quindi $NNsubeRR$, in questo modo nel sottoinsieme $(0,1)inRR$, si può, con gli elementi di $RR$ contenuti in questo intervallo, relazionare una corrispondenza suriettiva con l'insieme $NN$, in quanto entrambi sono infiniti e l'insieme $RR$ ha la stessa cardinalità dell'intervallo (0,1).
Però risalendo alla domanda, se essa è vero, allora $NNsube(0,1)$ e quindi in questo intervallo ci sono più elementei...
questa non è la dimostrazione immagino, ma è in questi termini che si deve ragionare, giusto?...
Per la dimostrazione, almeno quella che conosco io, prima si suppone, per assurdo, che i reali fra 0 e 1 siano tanti quanti i naturali, quindi ad ogni numero naturale si associa un numero reale.
Poi si dimostra, molto facilmente, che si può individuare un numero reale che non è stato associato a nessun numero naturale.
Quindi è dimostrato che i reali in $(0,1)$ sono più di tutti i naturali.
Poi si dimostra, molto facilmente, che si può individuare un numero reale che non è stato associato a nessun numero naturale.
Quindi è dimostrato che i reali in $(0,1)$ sono più di tutti i naturali.
che è la stessa dimostrazione del fatto che $RR$ non è numerabile.
penso di aver trovato l'ennesimo (sono un umorista, eh?) modo:
mostriamo che c'e' una mappa iniettiva $\phi : P(NN)->(0,1)$.
Se cosi' fosse allora $(0,1)$ avrebbe almeno tanti punti quanti ne ha $P(NN)$, che sappiamo essere non numerabile per il teorema di Cantor.
definiamo $\phi(S) = x$ come segue:
$x=, 0a_{0}0a_1...0a_n0...$ dove $a_i = 1$ se $i \in S$, $a_i=11$ se $i \notin S$
$phi$ e' iniettiva:
Se prendiamo due diversi sottoinsiemi $S, S_2$ di $NN$ e, wlog, $n \in S$ ma $n \notin S_2$
allora $phi(S)$ ha un $10$ dopo lo zero numero $n+1$, mentre $phi(S_2)$ ha $110$, quindi $phi(S)\!= phi(S_2)$
mostriamo che c'e' una mappa iniettiva $\phi : P(NN)->(0,1)$.
Se cosi' fosse allora $(0,1)$ avrebbe almeno tanti punti quanti ne ha $P(NN)$, che sappiamo essere non numerabile per il teorema di Cantor.
definiamo $\phi(S) = x$ come segue:
$x=, 0a_{0}0a_1...0a_n0...$ dove $a_i = 1$ se $i \in S$, $a_i=11$ se $i \notin S$
$phi$ e' iniettiva:
Se prendiamo due diversi sottoinsiemi $S, S_2$ di $NN$ e, wlog, $n \in S$ ma $n \notin S_2$
allora $phi(S)$ ha un $10$ dopo lo zero numero $n+1$, mentre $phi(S_2)$ ha $110$, quindi $phi(S)\!= phi(S_2)$
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