Non so come intotolarlo...
il gioco è questo.
Devo trovare un numero tale che se lo mltiplico per 7 il numero che viene è uguale al numero di prima solo che la prima cifra è l'ultima di quello di prima.
Cercando di essere meno confusinaria faccio un esempio
$1235*7=5123$
questo prodotto ovviamente non è corretto, è per farvi capire...
(se non sono stata chiara dite...)
Devo trovare un numero tale che se lo mltiplico per 7 il numero che viene è uguale al numero di prima solo che la prima cifra è l'ultima di quello di prima.
Cercando di essere meno confusinaria faccio un esempio
$1235*7=5123$
questo prodotto ovviamente non è corretto, è per farvi capire...
(se non sono stata chiara dite...)
Risposte
Se cerchi un numero con $n$ cifre (e se ho capito quello che chiedi!) si tratterebbe di determinare $n$ numeri compresi fra $0$ e $9$, $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$, tali che
$(\sum_{k=0}^{n-1} 10^k a_k) \cdot 7 = a_0 \cdot 10^{n-1} + \sum_{k=0}^{n-2} 10^k a_k$
Ad esempio, con $n=3$, si tratterebbe di trovare un numero, le cui cifre sono $c, b, a$ (rispettivamente centinaia, decine, unità) tali che
$(100 c + 10 b + a) 7 = 100 a + 10 b + a$
Facendo i prodotti si ottiene
$700 c + 70 b + 7 a = 100 a + 10 b + a$
Posto (ad esempio) $b=0$, rimane
$700 c + 7a = 101 a$, cioè
$700 c = 94 a$
e non mi pare che in questo modo ci siano soluzioni intere... Almeno ho capito la richiesta?
$(\sum_{k=0}^{n-1} 10^k a_k) \cdot 7 = a_0 \cdot 10^{n-1} + \sum_{k=0}^{n-2} 10^k a_k$
Ad esempio, con $n=3$, si tratterebbe di trovare un numero, le cui cifre sono $c, b, a$ (rispettivamente centinaia, decine, unità) tali che
$(100 c + 10 b + a) 7 = 100 a + 10 b + a$
Facendo i prodotti si ottiene
$700 c + 70 b + 7 a = 100 a + 10 b + a$
Posto (ad esempio) $b=0$, rimane
$700 c + 7a = 101 a$, cioè
$700 c = 94 a$
e non mi pare che in questo modo ci siano soluzioni intere... Almeno ho capito la richiesta?
Io cerco un numero per cui valga che (nel caso abbia 3 cifre)
$(100 a + 10 b + c) * 7 = 100 c + 10 a + b$
Se ne ha 4 allora
$(1000a + 100b + 10c + d) * 7 = 1000c + 100a + 10b + c$
e così via... non mi interessa quante cifre abbia l'importante è che rispetti quelle condizioni...
$(100 a + 10 b + c) * 7 = 100 c + 10 a + b$
Se ne ha 4 allora
$(1000a + 100b + 10c + d) * 7 = 1000c + 100a + 10b + c$
e così via... non mi interessa quante cifre abbia l'importante è che rispetti quelle condizioni...
Perfetto, allora non avevo capito manco le condizioni. 
io l'ho pensata così...
scrivendo i due numeri
$ab...xyz * 7 =$
$zab...xy$ --> secondo numero
dove le lettere indicano le cifre
io so che c'è implicito nella forumalzione dell'esercizio che i due numeri abbiano lo stesso numero di cifre. Quindi $a*7<10$ e l'unica cifra moltiplicata per 7 che dia un numero minore di 10 è 1, quindi $a=1$
$1b...xyz * 7 =$
$z1b...xy$
e $z$ sarà o $7$ o $8$ o $9$
provo con $z=7$
$1b...xy7 * 7 =$
$71b...xy$
io so che $7*7=49$ quindi la prima cifra del secondo numero è di sicuro $9$, $y=9$
$1b...x97 * 7 =$
$71b...x9$
ora so che $97*7=769$, quindi le ultime due cifre di questo prodotto ($7$ e $9$) sono di sicuro anche le ultime due cifre del secondo numero. $x=6$
$1b...697 * 7 =$
$71b...69$
andando avanti così dovrei arrivare a un numero che moltiplicato per 7 mi dia un numero che finisca con le cifre che ho già segnato e che inizi con 71.
se non lo trovo allora provo con 8 come prima cifra del secondo numero, altrimenti 9.
Il problema è che chiaramente non posso continuare all'infinito per dire che 7 non vada bene... quindi mi serve di trovare un passaggio un più che mi sfugge.
Io ho provato con le prima dieci cifre sia per 7, 8 e 9 ma non ho concluso. O che il mio ragionamento è sbagliato o che i numeri che cerco hanno un sacco di cifre...
scrivendo i due numeri
$ab...xyz * 7 =$
$zab...xy$ --> secondo numero
dove le lettere indicano le cifre
io so che c'è implicito nella forumalzione dell'esercizio che i due numeri abbiano lo stesso numero di cifre. Quindi $a*7<10$ e l'unica cifra moltiplicata per 7 che dia un numero minore di 10 è 1, quindi $a=1$
$1b...xyz * 7 =$
$z1b...xy$
e $z$ sarà o $7$ o $8$ o $9$
provo con $z=7$
$1b...xy7 * 7 =$
$71b...xy$
io so che $7*7=49$ quindi la prima cifra del secondo numero è di sicuro $9$, $y=9$
$1b...x97 * 7 =$
$71b...x9$
ora so che $97*7=769$, quindi le ultime due cifre di questo prodotto ($7$ e $9$) sono di sicuro anche le ultime due cifre del secondo numero. $x=6$
$1b...697 * 7 =$
$71b...69$
andando avanti così dovrei arrivare a un numero che moltiplicato per 7 mi dia un numero che finisca con le cifre che ho già segnato e che inizi con 71.
se non lo trovo allora provo con 8 come prima cifra del secondo numero, altrimenti 9.
Il problema è che chiaramente non posso continuare all'infinito per dire che 7 non vada bene... quindi mi serve di trovare un passaggio un più che mi sfugge.
Io ho provato con le prima dieci cifre sia per 7, 8 e 9 ma non ho concluso. O che il mio ragionamento è sbagliato o che i numeri che cerco hanno un sacco di cifre...
Secondo me non c'è questo numero.
"lillalolla":
io l'ho pensata così...
scrivendo i due numeri
$ab...xyz * 7 =$
$zab...xy$ --> secondo numero
dove le lettere indicano le cifre
io so che c'è implicito nella forumalzione dell'esercizio che i due numeri abbiano lo stesso numero di cifre. Quindi $a*7<10$ e l'unica cifra moltiplicata per 7 che dia un numero minore di 10 è 1, quindi $a=1$
$1b...xyz * 7 =$
$z1b...xy$
e $z$ sarà o $7$ o $8$ o $9$
provo con $z=7$
$1b...xy7 * 7 =$
$71b...xy$
io so che $7*7=49$ quindi la prima cifra del secondo numero è di sicuro $9$, $y=9$
$1b...x97 * 7 =$
$71b...x9$
ora so che $97*7=769$, quindi le ultime due cifre di questo prodotto ($7$ e $9$) sono di sicuro anche le ultime due cifre del secondo numero. $x=6$
$1b...697 * 7 =$
$71b...69$
andando avanti così dovrei arrivare a un numero che moltiplicato per 7 mi dia un numero che finisca con le cifre che ho già segnato e che inizi con 71.
se non lo trovo allora provo con 8 come prima cifra del secondo numero, altrimenti 9.
Il problema è che chiaramente non posso continuare all'infinito per dire che 7 non vada bene... quindi mi serve di trovare un passaggio un più che mi sfugge.
Io ho provato con le prima dieci cifre sia per 7, 8 e 9 ma non ho concluso. O che il mio ragionamento è sbagliato o che i numeri che cerco hanno un sacco di cifre...
Stai proprio fusa...Ma pensa a un cuba libre, che te fai le seghe mentali su questi giochini....
provo a dare una soluzione, non essendo certissimo. Cmq intraprendo la strada di Tipper che mi sembrava corretta: effettivamente lui ha mostrato che non ci sono soluzioni per i numeri a tre cifre.
Allora, si risolve
$7*(10^n a_n+...+a_0)=a_0 10^m+a_n 10^(n-1)+a_(n-1)10^(n-2)+...+a_2 10+a_1$
con $a_0,a_n$ non nulli e tutte le cifre comprese tra 0 e 9. Portando a primo membro e raccogliendo ripsetto ad $a_i$
$(7*10^n a_n -10^n a_0)+(7*10^(n-1) a_(n-1)-10^(n-1) a_n)+(7*10^(n-2) a_(n-2)-10^(n-2) a_(n-1))+...+7 a_0-a_1=0$
cioè
$(69*10^(n-1))a_n + (69*10^(n-2))a_(n-1)+...+69a_1+(7-10^n)a_0=0$
dividendo per 69 entrambe le equazioni l'integrità implica che 69 deve dividere
$(7-10^n)a_0$. Ora 69=3*23, pertanto 23 deve dividere $10^n -7$, dato che $a_0$ è una cifra e in particolare è minore di 23.
Sicché basta verificare che non può essere soddisfatta la congruenza
$10^n == 7 mod 23$
che discende dal fatto che se $ax == b mod m$ e $d= mcd(a,m)|b$ allora esistono solo $d$ soluzioni (nel nostro caso d=1).
che ne pensate...
Allora, si risolve
$7*(10^n a_n+...+a_0)=a_0 10^m+a_n 10^(n-1)+a_(n-1)10^(n-2)+...+a_2 10+a_1$
con $a_0,a_n$ non nulli e tutte le cifre comprese tra 0 e 9. Portando a primo membro e raccogliendo ripsetto ad $a_i$
$(7*10^n a_n -10^n a_0)+(7*10^(n-1) a_(n-1)-10^(n-1) a_n)+(7*10^(n-2) a_(n-2)-10^(n-2) a_(n-1))+...+7 a_0-a_1=0$
cioè
$(69*10^(n-1))a_n + (69*10^(n-2))a_(n-1)+...+69a_1+(7-10^n)a_0=0$
dividendo per 69 entrambe le equazioni l'integrità implica che 69 deve dividere
$(7-10^n)a_0$. Ora 69=3*23, pertanto 23 deve dividere $10^n -7$, dato che $a_0$ è una cifra e in particolare è minore di 23.
Sicché basta verificare che non può essere soddisfatta la congruenza
$10^n == 7 mod 23$
che discende dal fatto che se $ax == b mod m$ e $d= mcd(a,m)|b$ allora esistono solo $d$ soluzioni (nel nostro caso d=1).
che ne pensate...
"lillalolla":
provo con $z=7$
$1b...xy7 * 7 =$
$71b...xy$
io so che $7*7=49$ quindi la prima cifra del secondo numero è di sicuro $9$, $y=9$
$1b...x97 * 7 =$
$71b...x9$
ora per trovare x non dovresti fare 7*9=63 più il riporto di 4 (del 49)? dunque x dovrebbe essere 7.
Il problema è che chiaramente non posso continuare all'infinito per dire che 7 non vada bene... quindi mi serve di trovare un passaggio un più che mi sfugge.
Io ho provato con le prima dieci cifre sia per 7, 8 e 9 ma non ho concluso. O che il mio ragionamento è sbagliato o che i numeri che cerco hanno un sacco di cifre...
sì penso anch'io che sia un ragionamento non valido quello di procedere all'infinito, ammesso di dimostrare che non ti verrà mai 71, e per questo credo sia necessario analizzare i resti
no, non mi sono dimeticata il riporto...
a me interessa solo la prima cifra (sulla destra) del prodotto di $9*7$ perchè la seconda non so so se è sicura, quindi il riporto me lo sono dimenticato volutamente perchè sarebe scorretto metterlo.
no, ora per trovare $x$ dovrei fare $97*7=679$, di cui prendo solo le prima due cifre (il $9$ ce l'avevo già) e il $7$ è la mia $x$. Quindi.
$1b...797 * 7=$
$71b...79$
e così via, il prossimo passaggio sarà fare $797 * 7$, trovare il risultato, prendere la penultima cifra (da destra) (che sarà $3$), aggiungerla al mio numero e rifare l'operazione.
$1b...3797 * 7=$
$71b..379$
a me interessa solo la prima cifra (sulla destra) del prodotto di $9*7$ perchè la seconda non so so se è sicura, quindi il riporto me lo sono dimenticato volutamente perchè sarebe scorretto metterlo.
ora per trovare x non dovresti fare 7*9=63 più il riporto di 4 (del 49)? dunque x dovrebbe essere 7.
no, ora per trovare $x$ dovrei fare $97*7=679$, di cui prendo solo le prima due cifre (il $9$ ce l'avevo già) e il $7$ è la mia $x$. Quindi.
$1b...797 * 7=$
$71b...79$
e così via, il prossimo passaggio sarà fare $797 * 7$, trovare il risultato, prendere la penultima cifra (da destra) (che sarà $3$), aggiungerla al mio numero e rifare l'operazione.
$1b...3797 * 7=$
$71b..379$
poi questo procedimento andrà avanti finchè il mio primo numeor, moltiplicato per $7$ mi darà na secondo numeor che inizia con le cifre "$71$", ammesso che 7 sia il primo numero, se non lo è provo con l'$8$ o con il $9$..
si ma così se rifai l'operazione
.....3797 x
7 =
--------------
......6579
o no?
.....3797 x
7 =
--------------
......6579
o no?
hai ragione, avevo sbagliato a scrivere...
modifico il mio messaggio precedente perchè perchè $797 * 7=5579$ e non $3579$, quindi viene...
difatti se faccio $5797 * 7=40579$ la cifra da riprendere sarebbe $0$, ma proprio perchè è zero (e quindi porterebbe alcun riporto...) allora prendo pure il $4$ e verrebbe
$1b..405797 * 7=$
$71b.40579$
andando avanti sono arrivata fino a
$1b..623188405797 * 7=$
$71b..6231840579$
modifico il mio messaggio precedente perchè perchè $797 * 7=5579$ e non $3579$, quindi viene...
"lillalolla":
$1b...797 * 7=$
$71b...79$
e così via, il prossimo passaggio sarà fare $797 * 7$, trovare il risultato, prendere la penultima cifra (da destra) (che sarà $5$), aggiungerla al mio numero e rifare l'operazione.
$1b...5797 * 7=$
$71b..579$
difatti se faccio $5797 * 7=40579$ la cifra da riprendere sarebbe $0$, ma proprio perchè è zero (e quindi porterebbe alcun riporto...) allora prendo pure il $4$ e verrebbe
$1b..405797 * 7=$
$71b.40579$
andando avanti sono arrivata fino a
$1b..623188405797 * 7=$
$71b..6231840579$
a faresti meglio a fermarti
perché se anche non sono sicurissimo della mia dimostrazione, ho di certo provato che questo numero, se esiste, avrebbe almeno un centinaio di cifre.
ciao
perché se anche non sono sicurissimo della mia dimostrazione, ho di certo provato che questo numero, se esiste, avrebbe almeno un centinaio di cifre.
ciao
a dir la verità il prof che me l'ha proposto ha detto che esiste e che ha 21 cifre... 
hai ragione.. per n=21 23 divide $10^n -7$. Allora probabilmente esiste
hai fatto le prove di moltiplicazione con 8 e 9?
hai fatto le prove di moltiplicazione con 8 e 9?
eccolo qui:
1014492753623188405797
EDIT: compiata male 1 cifra
1014492753623188405797
EDIT: compiata male 1 cifra
"Pappus":
eccolo qui:
1014492753623188405797
EDIT: compiata male 1 cifra
grazie
ma come hai fatto a trovarlo?
quando fai la moltiplicazione devi moltiplicare 7 per ogni cifra, questa è la regola standard che si insegna a scuola, dovuta alla distributività del prodotto sulla somma. E poi chiaramente devi fari il riporto, che ti sei dimanticata.
Allora hai
........xyz7 x
7=
..............9
e porti il 4 sulla z. Sicché ora z=9, e ti basta moltiplicare 7 per 9 (non 7 per 97, qui usi il fatto che il prodotto è distributivo), cioè 63 + 4 del riporto=67. Pertanto hai
........xy97 x
7=
...........79
e porti il 6 sulla y. ora fai sempre la stessa operazione.
ciao
EDIT maledette cifre
Allora hai
........xyz7 x
7=
..............9
e porti il 4 sulla z. Sicché ora z=9, e ti basta moltiplicare 7 per 9 (non 7 per 97, qui usi il fatto che il prodotto è distributivo), cioè 63 + 4 del riporto=67. Pertanto hai
........xy97 x
7=
...........79
e porti il 6 sulla y. ora fai sempre la stessa operazione.
ciao
EDIT maledette cifre
nono... ma pure io ho fatto così, ho fatto proprio quello. Non ci siamo capiti...
Solo che io sono arrivata fino a 188405797, poi mi sono fermata perchè non sapevo ancora quante cifre avesse e non avevo intenzione di andare aventi per tanto...
quello che intendevo è come hai fatto, nel senso se l'ha fatto a mano o se hai creato un programma...
nel caso hai usato un programma hai provato pure con 8 e 9. E poi è possibile dire che quello sia l'unico numero o che ce ne siano altri?
Solo che io sono arrivata fino a 188405797, poi mi sono fermata perchè non sapevo ancora quante cifre avesse e non avevo intenzione di andare aventi per tanto...
quello che intendevo è come hai fatto, nel senso se l'ha fatto a mano o se hai creato un programma...
nel caso hai usato un programma hai provato pure con 8 e 9. E poi è possibile dire che quello sia l'unico numero o che ce ne siano altri?
"lillalolla":
nono... ma pure io ho fatto così, ho fatto proprio quello. Non ci siamo capiti...
Solo che io sono arrivata fino a 188405797, poi mi sono fermata perchè non sapevo ancora quante cifre avesse e non avevo intenzione di andare aventi per tanto...
quello che intendevo è come hai fatto, nel senso se l'ha fatto a mano o se hai creato un programma...
nel caso hai usato un programma hai provato pure con 8 e 9. E poi è possibile dire che quello sia l'unico numero o che ce ne siano altri?
si lo so che hai fatto così, infatti ho usato il tuo procedimento
, anzi ti faccio i complimenti . semplicemente mi era sembrato che ti fossi dimenticata dei riporti. L'ho fatto a mano e sono ci sono arrivato dopo 5 minuti di conti, non ho programmato nulla. Semplicemente è che eravamo attirati dal fatto che questo numero non esistesse (devo ammettere di avere avuto questo pregiudizio) e piuttosto che fare qualche conto (cosa che i matematici odiano) ho cercato di infamare la sua esistenza...e non ti arrabbiare
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