Me - so beautiful, I think: $((2n),(n)) < 4^n/\sqrt{\pi(n
Sulla scia dell'altro che ho proposto a questo link, vi invito a dimostrare un'intrigante variazione sul tema principale della disuguaglianza (click!) che mi ha ispirato queste ultime ore di ricerca datate 2006. E 2007 grazie a Crook per lo spunto! 
Problema: per ogni $x \ge 0$, sia $\pi(x)$ il numero dei primi naturali $\le x$ (ad es., $\pi(1) = 0$, $\pi(9) = 4$). Provare che $((2n),(n)) < 4^n/{\sqrt{\pi(n)}}$, per ogni intero $n \ge 2$.
N.B.: v'invito a osservare come la disuguaglianza qui sopra sia significativamente più forte dell'altra suggerita da Crook nel thread che ho già linkato.
EDIT: ho notato soltanto oggi di aver dimenticato una radice, chiedo venia!
Problema: per ogni $x \ge 0$, sia $\pi(x)$ il numero dei primi naturali $\le x$ (ad es., $\pi(1) = 0$, $\pi(9) = 4$). Provare che $((2n),(n)) < 4^n/{\sqrt{\pi(n)}}$, per ogni intero $n \ge 2$.
N.B.: v'invito a osservare come la disuguaglianza qui sopra sia significativamente più forte dell'altra suggerita da Crook nel thread che ho già linkato.
EDIT: ho notato soltanto oggi di aver dimenticato una radice, chiedo venia!
Risposte
Con i "bound" per $pi(x)$ che conosco non si riesce a fare niente. C'entra con le dimostrazioni di Chebyshev e Bertrand o è tutta un'altra strada?
Poi volevo chiedere: cosa si può dire su una disuguaglianza tra $((2n),(n))$ e $(prod_(p<=n)p)/(pi(n))$?
Poi volevo chiedere: cosa si può dire su una disuguaglianza tra $((2n),(n))$ e $(prod_(p<=n)p)/(pi(n))$?
"Crook":
Con i "bound" per $pi(x)$ che conosco non si riesce a fare niente. C'entra con le dimostrazioni di Chebyshev e Bertrand o è tutta un'altra strada?
Non amo dare suggerimenti, ma diciamo pure che il postulato di Bertrand è un passo essenziale per l'approdo alla tesi.
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