Maschi e femmine

[axpgn]

Immaginiamo esista uno stato in cui ogni coppia di genitori voglia avere un maschio.
Ovvero la coppia farà figli finchè non nascerà un maschio. E poi stop.
Quale sarà la proporzione tra maschi e femmine in tale nazione?

Nota: Ai fini del problema, si assume che la probabilità di avere un maschio o una femmina è la stessa. Inoltre non si considerano famiglie con parti plurimi (gemelli, triplette and so on), coppie senza figli, genitori venuti a mancare prima di avere un maschio.

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

La probabilita' di avere un maschio (M) e' di 1/2. La coppia si ferma di fare figli e la popolazione e' aumentata di 1 M e 0 F.
La probabilita' di arrestarsi dopo 2 figli (FM) e' di 1/4 e la popolazione sara' aumentata di 1 M e 1 F.
La probabilita' di arrestarsi dopo 3 figli (FFM) e' di 1/8 e la popolazione sara' aumentata di 1 M e 2 F.
La probabilita' di arrestarsi dopo 4 figli (FFFM) e' di 1/16 e la popolazione sara' aumentata di 1 M e 3 F.

Il numero totale di M sara' quindi $\sum_{n = 1} 1/2^n$.
Il numero totale di F sara' quindi $\sum_{n = 1} (n-1)/2^n$.

Il rapporto di questi 2 numeri e' (sorprendentemente) 1.

[Folpo13]

A me è venuto come Quinzio usando un metodo un po' diverso:

Ho ragionato così:
1M
1M 1F
1M
1M 2F
1M
1M 1F
1M
1M 3F
...

Al $2n$esimo giro ci saranno $2n$ maschi e $1+2+1+3+1+2+1+4...$ femmine. Fermandosi al $2^n$esimo termine il numero di femmine è $2^(n+1)-1$ invece quello dei maschi $2^(n+1)$

$lim_(n->\infty)2^(n+1)/(2^(n+1)-1)=1$

[axpgn]

Benissimo (e controintuitivo) anche se la soluzione di @Folpo13 non mi è del tutto chiara


Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Provo a spiegarmi meglio...

1M
1M 1F
1M
1M 2F
1M
1M 1F
1M
1M 3F
.
.
.

Ogni riga è una famiglia. Noto che il $50%$ delle famiglie ha 0 femmine, il $25$ 1 femmina e così via...

Il numero di maschi dopo $2^(n+1)$ termini è esattamente $2^(n+1)$ invece quello delle femmine segue il pattern $1+2+1+3+1+2+1+4...$: parto da $A_(2^0)=1$ e $A_(2^(j+1))=2A_(2^j)+1$. Per induzione $A_(1)=2^0=2^1-1$ e se $A_(2^j)=2^j-1$ allora $A_(2^(j+1))=2(2^j-1)+1=2^(j+1)-1$

Al $2^n$esimo termine il numero di maschi è $2^n$, quello di femmine $2^n-1$ quindi il rapporto per $n->\infty$ il rapporto tende ad $1$

[axpgn]

"Folpo13":1M
1M 1F
1M
1M 2F
1M
1M 1F
1M
1M 3F
.
.
.

Ogni riga è una famiglia. Noto che il $ 50% $ delle famiglie ha 0 femmine, il $ 25 $ 1 femmina e così via...

Se mi permetti, scritta così, è una conclusione arbitraria ovvero una semplice sequenza del genere non ti consente di concludere niente; ti permette di congetturare (e congetturare giusto) ma non è una prova.
Non so se mi spiego

La dimostrazione di Quinzio è diversa.

Un'altra ancora, informale ma corretta , è questa:
Supponiamo di riunire insieme tutte le mamme (delle famiglie che rispettano quelle condizioni); siccome ognuna di loro ha uno e uno solo figlio maschio, se le mamme sono $n$ anche i maschi saranno $n$.
Chiediamo di alzare la mano a tutte le mamme il cui primo nato è una femmina: metà si alzeranno e quindi abbiamo $n/2$ figlie femmine; poi chiediamo di alzare la mano alle mamme il cui secondo nato è una femmina: metà delle mani si abbasseranno e nessuna nuova si alzerà, quindi aggiungiamo $n/4$ figlie femmine al conto totale. E così via ...
Alla lunga, il numero di figlie femmine tende a $n$, tante quante i figli maschi

Cordialmente, Alex

[Folpo13]

"axpgn":
Se mi permetti, scritta così, è una conclusione arbitraria ovvero una semplice sequenza del genere non ti consente di concludere niente; ti permette di congetturare (e congetturare giusto) ma non è una prova.
Non so se mi spiego

Non la chiamerei arbitraria

Se la probabilità che il primo figlio nasca maschio metà delle famiglie avrà un solo figlio maschio, sennò la metà della metà ha una figlia femmina e un maschio, la metà della metà della metà due femmine e un maschio e così via...

Poi il numero di maschi è uguale al numero di famiglie e ho dimostrato che il numero di femmine in $2^n$ famiglie è statisticamente $2^n-1$ usando quella sequenza che fa vedere il rapporto tra maschi e femmine a livello probabilistico

[axpgn]

@Folpo13
La sequenza che hai scritto, di per sé, è arbitraria perché non si sa come viene costruita
Se invece ne spieghi la metodologia allora può diventare OK (però è comunque inutile )


Cordialmente, Alex

[Folpo13]

Inizi con 1 maschio e 0 femmine. Poi raddoppi ma all'ultimo elemento aggiungi una femmina. Raddoppi la sequenza ma all'ultimo elemento aggiungi una femmina e così via...

[Bokonon]

Il numero medio di maschi per famiglia è evidentemente pari a 1.
Il numero medio di femmine per famiglia è dato da $sum_(n=1)^oo (n-1)p^n$
dove $p^n$ è la probabilità che la famiglia si "arresti" dopo n figli: pertanto (n-1) saranno femmine.

$sum_(n=1)^oo (n-1)p^n=sum_(n=1)^oo np^n -sum_(n=1)^oo p^n=p/(1-p)^2-p/(1-p)=[p/(1-p)]^2$
Per $p=1/2$ otteniamo che il numero medio di maschi e femmine sono uguali ed entrambi pari a 1.
Pertanto il rapporto è 1.

[axpgn]

Eh, ma questo è un altro livello

[Bokonon]

"axpgn":Eh, ma questo è un altro livello

Un livello sbagliato!

Mi son svegliato per irrigare e bere un po' d'acqua e non sono più riuscito ad addormentarmi pensando "ma che cacchio mi significa quel $p^n$ come probabilità di arresto? Va esplicitato"
In realtà mi puzzava assai quella soluzione quadratica, quindi ho preso carta e penna e riscritto la soluzione in modo chiaro e diretto.

Una famiglia "completata" di $n+1$ figli significa che uno è maschio mentre $n$ sono femmine: quindi, come prima, il numero medio di maschi è 1. E la prob che questa famiglia si completi è $p^n(1-p)$ dove $p$ è la prob. che nasca una femmina.
Da cui, il numero medio di femmine è dato da $sum_(n=0)^oo np^n(1-p)$

Esplicitando si arriva $sum_(n=0)^oo np^n-sum_(n=0)^oo np^(n+1)=sum_(n=1)^oo np^n-sum_(n=1)^oo (n-1)p^n=p/(1-p)^2-p^2/(1-p)^2=p/(1-p)=p/q$
Ora tutto ha finalmente senso e la formula vale per qualsiasi $0<=p<1$

Ora posso dormire tranquillo

[axpgn]

Eh, sì che è un altro livello; mica l'avevo capito che non andava bene

Cordialmente, Alex

[ghira1]

"axpgn":Immaginiamo esista uno stato in cui ogni coppia di genitori voglia avere un maschio.
Ovvero la coppia farà figli finchè non nascerà un maschio. E poi stop.
Quale sarà la proporzione tra maschi e femmine in tale nazione?

1 senza calcolare nulla. Quello che fanno queste coppie non influisce in alcun modo la proporzione di maschi fra i neonati.

[gabriella127]

Anche io intuitivamente avevo pensato quello che dice ghira.
Cioè, appena ho visto il problema ho pensato, a istinto, che il rapporto tra maschi e femmine era comunque 1.
Infatti poi, alla fine, vengono fatti nascere diciamo $x$ bambini, e comunque su $x$ bambini generati $1/2$ saranno maschi e $1/2$ saranno femmine, a prescindere dal comportamenmto e dalle 'tecniche' che adottano le coppie.

Poi ho fatto un calcolo, per conferma, con le serie, in modo simile a quello che hanno fatto le soluzioni precedenti (non l'ho postata perché era nottetempo e l'avevano già fatta gli altri), e mi veniva comunque $1$.

Ma l'idea intuitiva, senza calcoli, non la so formalizzare, ammesso che si possa. Si può esprimere in modo più formale?

[axpgn]

... mmm ... intuitivamente ho qualche dubbio

Voglio dire che l'intuito da solo non sempre è sufficiente; ghira dice (e gabriella conferma e lo facciamo anche noi ) che alla nascita i maschi sono tanti quanti le femmine; ok, niente da dire.
Ma il problema dice che NON si contano le coppie che sono venute a mancare PRIMA di avere figli maschi ovvero nel conteggio vengono a mancare delle femmine e solo delle femmine.
Quindi, una dimostrazione più rigorosa serve.
IMHO.


Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Non dico che non serve, sto dicendo il contrario, vorrei che ci fosse una spiegazione rigorosa più vicina al lato intuitivo, che non faccia i calcoli delle probabilità con le serie.
Forse non c'è, non lo so, ma i conti con le serie mi sembrano troppo meccanici e più lontani dll'intuzione.

[ghira1]

"axpgn":
Ma il problema dice che NON si contano le coppie che sono venute a mancare PRIMA di avere figli maschi

Certo. Ma dei bambini nascono. 50% maschi. Non importa a chi nascono.

[axpgn]

L'avevo capito questo.
Ma il testo dice, in pratica, che NON dobbiamo conteggiare alcune femmine (ovvero quelle delle famiglie che non hanno avuto figli maschi) mentre i maschi li conteggiamo tutti.
Quindi, a mio parere, non basta la constatazione che nascono tanti maschi quante femmine, occorre qualche ragionamento in più.

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

"ghira":[quote="axpgn"]
Ma il problema dice che NON si contano le coppie che sono venute a mancare PRIMA di avere figli maschi

Certo. Ma dei bambini nascono. 50% maschi. Non importa a chi nascono.[/quote]

Infatti. Alla fine secondo me basta questo: nascono tot bambini.
A chi nascono e come nascono, non è rilevante, è fuffa, è nebbia che oscura l'essenza del problema.

(Il fatto di non conteggiare le coppie che schiattano prima di avere figli maschi non cambia l'essenza della questione, è come se non fossero mai esistiti, non esistono di fatto nella formulazione del problema).

Questi problemi di probabilità li trovo carini proprio per questo, di quanto possa influire la formulazione del problema sulla percezione del problema.
Si tratta di trovare l'essenza, al di là delle apparenze della formulazione, sono spesso così.
Non è nemmeno che sono controintuitivi, è che ci sono formulazioni che ingannano l'intuizione.

[axpgn]

"gabriella127":(Il fatto di non conteggiare le coppie che schiattano prima di avere figli maschi non cambia l'essenza della questione, è come se non fossero mai esistiti, non esistono di fatto nella formulazione del problema).

Non so, non ne sono convinto.

Riformuliamo il problema, reinserendo questa possibilità ovvero si deve tener conto anche delle famiglie che hanno avuto solo figlie femmine; la conclusione è la stessa? le formule cambiano? Io penso di sì

[ot]Vai Bokonon, dimmi che è così [/ot]

Cordialmente, Alex