Maschi e femmine

[axpgn]

Immaginiamo esista uno stato in cui ogni coppia di genitori voglia avere un maschio.
Ovvero la coppia farà figli finchè non nascerà un maschio. E poi stop.
Quale sarà la proporzione tra maschi e femmine in tale nazione?

Nota: Ai fini del problema, si assume che la probabilità di avere un maschio o una femmina è la stessa. Inoltre non si considerano famiglie con parti plurimi (gemelli, triplette and so on), coppie senza figli, genitori venuti a mancare prima di avere un maschio.

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Secondo me non cambia niente, il succo è: nascono tot bambini, stop. Come nascono nascono non importa, e ce li teniamo.
Diverso sarebbe se si formulasse il problema, che so: quando nasce una femmina la buttiamo dalla finestra, con probabilità $p$.

[edit] no, forse se contiamo quelli con solo femmine ci devo ripensare
[ri-edit] qui penso in effetti che ci sono più femmine, influiamo sulla casualità, è come se dicessimo: per alcune coppie quando nasce un maschio lo buttiamo.

Spiegato altrimenti, se su tutte le coppie a cui nasce un maschio il rapporto è 1 a 1, se ci aggiungiamo quelli con solo femmine il rapporto si sbilancia a favore delle femmine.

[Bokonon]

Vorrei dire tante cose, perchè in realtà non ho smesso di pensare al problema, LOL.
Anzi, oggi ho messo in "pratica" alcune idee che mi sono venute prima di riaddomentarmi ieri notte.
Il punto è che trovavo affascinante che $sum_(n=0)^oo np^n(1-p)=sum_(n=1)^oo np^n(1-p)=(1-p)/p*sum_(n=1)^oo np^(n-1)=sum_(n=1)^oo p^n$ e da qua ho intravisto molte idee matematiche
a) vedo successioni di funzioni $f_n(p)$ con $0 b) il fatto che l'identità regga per $n->oo$ (per il punto a) ma che si possa intravedere chiaramente una connessione con la derivata della funzione $f(p)=p^n(1-p)$ il cui massimo è effettivamente la soluzione del problema (se risolto per $n$). Per poi passare a considerare una funzione di densità di probabilità $(n+1)(n+2)p^n(1-p)$ che ha ovviamente il medesimo massimo $p=n/(n+1)$ ma un valore atteso $E(p)=(n+1)/(n+3)$ (e in questo caso $n$ è da interpretare diversamente)
c) poi vedo connessioni con la binomiale e il problema più generale $f_k(p)=p^kq^(n-k)$
d) ...ma soprattutto ho un dejavù per cui questo "problema" l'ho già risolto e non ricordo come e questo mi irrita assai (è terribile invecchiare)
e) e infine anch'io vorrei avere una visione semplificata del problema. Questo spiega tutte le note di cui sopra e questo mio post: sto ancora raccogliendo informazioni e una visione di insieme (e non importa se dovrò ricorrere a strumenti più sofisticati).

Per riassumere: per ora sono con Alex perchè non penso ci sia un'intuizione generale dietro al problema generale (ovvero per ogni $0

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[ghira1]

ok in effetti "genitori venuti a mancare prima di avere un maschio" potrebbe cambiare qualcosa. le altre esclusioni direi di no. Altre volte che ho visto questo problema non credo di aver visto questa esclusione. Allora forse è opportuno usare la serie infinita.

[gabriella127]

Io in sintesi direi così:
se le nascite sono casuali, comunque sia, il rapporto maschi/femmine è $1$ a $1$.

Se interveniamo con interventi non casuali, con criteri altri dalla casualità, il rapporto si altera. Ad esempio, buttiamo alcuni bambini femmina, oppure consideriamo le coppie che sono decedute prima di generare un maschio: in quest'ultimo caso è come se decidessimo di sparare a qualche coppia prima che faccia un maschio, è analogo.

[Bokonon]

Ho esitato un poco prima di scrivere questo post...come sequel del mio post precedente.
Fondamentalmente mi sono chiesto se valesse la pena di scrivere un papello che mettesse insieme lo studio della convergenza di una classe di funzioni per spiegare come $n=1$ (che implica una simmetria e $p=1/2$) fosse analogo al problema per $n->oo$ per $p=1/2$.

E invece posso riassumere il tutto con un semplice ragionamento.
Nella sostanza il problema assume implicitamente che esistano un numero $n$ enorme di famiglie la cui prole è composta da una proporzione $1-p$ di maschi e $p$ femmine determinata dal vincolo per cui ogni famiglia si completa quando nasce un maschio.

E' chiaro che, in linea generale, il problema si possa risolvere considerando la somma pesata di tutte le possibili combinazioni...però è possibile visualizzare il problema da una luce diversa.
Immaginiamo quindi che esista un'unica famiglia (immortale) che dia vita a tutte le sequenze possibili.
In pratica, dopo che la prima famiglia si è completata, una seconda famiglia inizia a figliare finchè non si completa e poi una terza famiglia....etc. etc. Insomma un'unica catena di eventi come un lancio di una moneta di cui sappiamo a priori che esca testa=maschio (1-p) delle volte, da cui il rapporto $F/M=p/q$.

Per $p=q=1/2$ abbiamo $p/q=1$
Assumere però che una percentuale di famiglie non si completi, equivale a dire che $1-p!=1/2$ per cui non vi sono più metà delle famiglie con un maschio.
Il nuovo rapporto andrebbe ricavato stimando il nuovo $p$ da una sequenza sufficientemente grande.

Tutto questo post per dare una linea di ragionamento più formale ma comunque colloquiale e intuitiva...esplicitando meglio ciò che Ghira e Gabriella hanno intuito.

[gabriella127]

Mi piace molto l'idea di considerare invece di $n$ famiglie, un'unica famiglia che genera ad libitum.
Anche io penso che siano formulazioni equivalenti.

Modellizzato così il problema, con un'unica famiglia, balza subito agli occhi che il rapporto maschi/femmine è $1$: è una famigliona che fa tantissimi figli, con probabilità $1/2$ che sia maschio o femmina. Stop, fine della fiera. Problema risolto senza toccare la penna.

Quando dici che 'una famiglia non si completa", credo che intendi ad esempio il caso, proposto da axpgn, in cui ci sono famiglie che si fermano alle sole femmine perché muoiono prima di generare un maschio.
Qui, come dicevo, la probabilità $1/2$ cambia, perché equivale a un intervento esterno, ad esempio sparare a qualche famiglia prima che faccia un maschio, o buttare dalla rupe i maschi nati da qualche famiglia.

Nel modello con una sola famiglia, che, ripeto, trovo davvero bello, equivarrebbe a dire che ogni tanto buttiamo via dei maschi, quindi il rapporto tra maschi e femmine non potrà essere più $1$.

[Bokonon]

"gabriella127":
Nel modello con una sola famiglia, che, ripeto, trovo davvero bello, equivarrebbe a dire che ogni tanto buttiamo via dei maschi, quindi il rapporto tra maschi e femmine non potrà essere più $1$.

Esattamente!