Mangiare fuori

[axpgn]

Se una coppia pranza al ristorante due volte alla settimana (il giorno della settimana varia) e se essa vede un'altra coppia mangiare lì all'incirca il $75%$ delle volte, c'è una ragione logica per cui la prima coppia assuma che la seconda coppia pranzi in quel ristorante più spesso di loro?


Cordialmente, Alex

[mgrau]

Certo. Il fatto che la coppia mangi fuori due volte alla settimana, o di più, oppure di meno, è irrilevante. Quel che conta è che ogni volta che mangiano fuori è come se facessero una misura sulla presenza della seconda coppia, e questa misura dà una presenza del 75%, che quindi va presa come la frequenza con cui la seconda coppia mangia fuori, mentre la prima mangia fuori circa il 30% delle volte

[axpgn]

@mgrau

... mmm ... non mi è molto chiaro il tuo pensiero e non mi torna tutto (per esempio non è vero che è irrilevante la frequenza della prima coppia e non è vero che la frequenza della seconda coppia deve essere del $75%$) ...
Potresti essere più preciso (o più formale)?
Thanks

Cordialmente, Alex

[mgrau]

La situazione secondo me si può tradurre così:
Abbiamo un sacchetto di biglie (un ristorante). Due volte alla settimana (ma anche dieci volte al minuto ) peschiamo una biglia dal sacchetto (andiamo a cena a quel ristorante) , e il 75% delle volte la troviamo bianca (ci troviamo la coppia X). Mi pare che si possa arguire che il 75% delle biglie nel sacchetto è bianca (il 75% delle sere la coppia X mangia a quel ristorante)

[axpgn]

@mgrau

Non riesco a trovare l'analogia tra il tuo esempio e il problema ...
Per esempio le due coppie dovrebbero essere entrambe delle biglie mentre tu associ una coppia alla biglia e una alla pescata ... non mi torna ...

Io ho una "soluzione" se così posso dire però intanto aspetto ...

[mgrau]

@axpgn

Chissà perchè, le mie modellizzazioni dei problemi non ti piacciono mai...
Beh, aspetterò la tua soluzione...

[gabriella127]

La mia risposta è sì, ha motivo di credere che l'altra coppia (coppia2) vada più spesso di loro (coppia1) al ristorante, cioè più di due volte.
Ecco la spiegazione, ci vuole più tempo a scriverla che a dirla, devo assumere un segretario che scrive.

Calcoliamo la probabilità che la coppia1 incontri la coppia2 nel caso la coppia2 vada al ristorante 6 volte a settimana.

La probabilità della coppia1 di non incontrare la coppia2 sara pari alla probabilità di non incontarla il primo giorno e di non incontrarla il secondo giorno, che sono entrambe pari a 1/7 (il giorno che la coppia2 non va).

Quindi, la probabilità di non incontrare la coppia2 nei due giorni è:

$1/7*1/7=1/49 ~= 0,02$.

Da cui la probabilità di incontrare la coppia2 se questa andasse 6 giorni a settimana è pari all'incirca a

$1-0,02= 0,98$.

In modo analogo si calcolano le probabilità di incontrare la coppia2 se questa andasse $5,4,3,2,1,$ volte a settimana al ristorante, vi risparmio i calcoli.

Ora, se i calcoli non sono sbagliati (ma quelli li faccio fare al cameriere filippino )

-nel caso la coppia2 va 2 volte a settimana al ristorante, la probabilità di incontrarla è $0,49$.
-nel caso la coppia2 va $3$ volte a settimana al ristorante la probabilità di incontrarla è $0,674$.
-nel caso la coppia2 va $4$ volte a settimana al ristorante la probabilità di incontrarla è $0,816$.

Poiché la coppia1 incontra la coppia2 nel $75%$ dei casi, cioè con una probalilità dello $0,75$, la coppia1 penserà che la coppia2 va al ristorante con una frequeza di 3-4 volte a settimana, posizionandosi cioè tra le ultime due probabilità sopra.

[mgrau]

@axpgn

"axpgn":@mgrau
Non riesco a trovare l'analogia tra il tuo esempio e il problema ...
Per esempio le due coppie dovrebbero essere entrambe delle biglie mentre tu associ una coppia alla biglia e una alla pescata ... non mi torna ...

Ci riprovo.
Il ruolo delle due coppie non è simmetrico. La coppia 2 è il fenomeno osservato (la sua frequenza al ristorante). La coppia 1 è l'osservatore (vedono se 2 sono o no presenti). Quindi non vedo perchè dovrebbero essere tutte e due biglie.
E poi. Siamo almeno d'accordo sul fatto che se 1 andasse TUTTI I GIORNI al ristorante allora la frequenza di 2 sarebbe il 75% ? Facciamo conto di sì.
Questa osservazione è, diciamo così, l'insieme completo delle possibili osservazioni..
Ora, il fatto che 1 vada solo 2 giorni alla settimana significa che prende un CAMPIONE della totalità delle misure. Questo avrà conseguenze sulla PRECISIONE del risultato, ma non sul valore, 75%

[Folpo13]

Mi viene da dire di sì.
Se entrambi uscissero 2 giorni a settimana ci si aspetterebbe di vederli lo $2/7~~29%$ delle volte assieme. Però $29$ è tanto più piccolo di $75$ quindi forse ho sbagliato ragionamento

[gabriella127]

@Folpo

A me viene un numero più grande (parecchio minore comunque di 75%), ma il tuo ragionamento lo trovo giusto.

[axpgn]

@mgrau

Boh! È sicuramente un mio problema ma non riesco a seguire il tuo ragionamento, mi è proprio estraneo (d'altra parte con il calcolo delle probabilità mi capita spesso di aver capito tutto ed invece non ho capito niente )

Comunque aspetto ancora un po' prima di scrivere la soluzione ... o meglio prima di riportare il ragionamento che ho letto (che mi sembrava convincente ma dopo le vostre risposte qualche dubbio inizio ad averlo )


Cordialmente, Alex

[mgrau]

"axpgn":Boh! È sicuramente un mio problema ma non riesco a seguire il tuo ragionamento, mi è proprio estraneo

Sono sconcertato. Ti conosco come uno dei membri più brillanti del forum; il mio ragionamento mi pare di una assoluta ovvietà... non c'è in ballo nessuna questione di probabilità...mah

[axpgn]

Che vuoi che ti dica? Non mi entra in testa, non riesco ad "inquadrarlo" se così posso dire.
Ma "it's my fault, not yours, sorry. Seriously"

[Quinzio]

Abbiamo due coppie. La prima A esce a pranzo $A$ volte alla settimana (o in un periodo generico $S$). La seconda B esce a pranzo $B$ volte nello stesso periodo $S$.

La formula che da la probabilita' per la coppia A di incontrare la coppia B e' :
\[
P(A,B,S) = \dfrac{\displaystyle \sum_{n=max(1,\ A+B-S)}^{min(A,B)} n \binom{B}{n} \binom{S-B}{A-n} } { \displaystyle A \binom{S}{A}}
\]

Si noti che la relazione non e' simmetrica, quindi per calcolare la probabilita' che B incontri A, bisogna scambiare A e B nella formula.
Gli estremi della sommatoria sono un po' strani.
Si parte a contare da $n=A+B-S$. Se e' negativo o zero, si parte da 1.
Serve per evitare casi come $P(6, 6, 7)$, dove ci sono almeno 5 incontri alla settimana, $6+6-7=5$. Quindi la somma parte da $n=5$.
La sommatoria termina a $min(A,B)$, il minore tra $A$ e $B$. Ad esempio, per $P(2,7,7)$ non si possono avere piu' di 2 incontri alla settimana, sia per A che per B, quindi la somma termina a $n=2$.

In pratica, al denominatore c'e' il numero di modi in cui la coppia A puo' uscire nella settimana moltiplicato per il numero di uscite nel periodo.
Ad es.: Lun-Mar Lun-Mer, Lun-Gio, ecc.
Al numeratore bisogna fare la somma dei modi in cui le coppie si incontrano: esattamente una volta, poi sommare il numero di modi in cui le coppie si incontrano: esattamente 2 volte, e cosi' via. Ogni addendo va moltiplicato per gl incontri che avvengono, quindi 1, 2 e cosi' via.

Alcuni esempi:

$P(2,2,7) = 2/7, P(2,3,7) = 3/7, P(2,4,7) = 4/7, P(2,5,7) = 5/7$

$P(2,6,7) = 6/7, P(2,7,7) = 7/7 = 1$

In questo caso e solo per $A=2$ la formula si riduce a $P(A,B,S) = B/S$

Se invece si vuole sapere la probabilita' che in una settimana si verifichi almeno un incontro, la formula e'
\[
P(A,B,S) = \dfrac{\displaystyle (S-A)! \ (S-B)! } { \displaystyle S!\ (S-A-B)!}
\]
Se $A+B > S$, allora $P(A,B,S) = 1$.

[mgrau]

"Quinzio":Abbiamo due coppie. La prima A esce a pranzo $A$ volte alla settimana (o in un periodo generico $S$). La seconda B esce a pranzo $B$ volte nello stesso periodo $S$.
[.......]
Alcuni esempi:

$P(2,2,7) = 2/7, P(2,3,7) = 3/7, P(2,4,7) = 4/7, P(2,5,7) = 5/7$

$P(2,6,7) = 6/7, P(2,7,7) = 7/7 = 1$

Non ho capito i passaggi dei calcoli, ma:
mi pare di capire che $P(A,B,S)$ sia quello che nel nostro caso è 75%, mentre $B$ è il numero che stiamo cercando. Ora dagli esempi par di capire che $B$, il numero di volte che la coppia B va al ristorante ogni settimana, è uguale alla frazione osservata (75%) moltiplicato 7. Che è il risultato mio.
O forse questo vale solo per $A = 2$ e $S = 7$ ?

[Quinzio]

@mgrau

"mgrau":
Non ho capito i passaggi dei calcoli, ma:
mi pare di capire che $P(A,B,S)$ sia quello che nel nostro caso è 75%, mentre $B$ è il numero che stiamo cercando. Ora dagli esempi par di capire che $B$, il numero di volte che la coppia B va al ristorante ogni settimana, è uguale alla frazione osservata (75%) moltiplicato 7. Che è il risultato mio.
O forse questo vale solo per $A = 2$ e $S = 7$ ?

Ciao, si in pratica quello che stiamo cercando e' $x$ per $P(2, x, 7) > 0.75$.
Dagli esempi fatti risulta che $x=B$ deve essere maggiore di 5,25 quindi deve essere 6 o 7.

Che è il risultato mio.
O forse questo vale solo per $A = 2$ e $S = 7$ ?

Ho letto il tuo commento riguardo al fatto che la coppia A esegue un campionamento della presenza della coppia B e quindi e' sufficiente fare la semplice divisione $B/S$.
Purtroppo questo e' un caso particolare, ma in generale non va bene.
Il tuo risultato va bene nel caso particolare in cui $A<=2$, quindi $A= 1$ oppure $A=2$.
Infatti in questo caso la formula si semplifica cosi'...


...per $A=2$

\[
P(2,B,S) = \dfrac{\displaystyle \sum_{n=max(1,\ 2+B-S)}^{min(2,B)} n \binom{B}{n} \binom{S-B}{2-n} } { \displaystyle 2 \binom{S}{2}}
\]
\[
P(2,B,S) = \dfrac{\displaystyle \binom{B}{1} \binom{S-B}{1} + 2\binom{B}{2}\binom{S-B}{0} } { \displaystyle 2 \binom{S}{2} }
\]
\[
P(2,B,S) = \dfrac{\displaystyle B(S-B) + B(B-1) } { \displaystyle S(S-1)} = \frac{B}{S}
\]

... per $A=1$

\[
P(1,B,S) = \dfrac{\displaystyle \sum_{n=max(1,\ 1+B-S)}^{min(1,B)} n \binom{B}{n} \binom{S-B}{1-n} } { \displaystyle \binom{S}{1}} =
\]
\[
P(2,B,S) = \dfrac{\displaystyle \binom{B}{1} \binom{S-B}{0} } { \displaystyle \binom{S}{1} }
\]
\[
P(2,B,S) = \dfrac{\displaystyle B } { \displaystyle S}
\]

Se $A >= 3$, la semplificazione non si verifica piu' e quindi e' necessario fare tutto il calcolo esplicito della formula.

Piu' tardi aggiungo qualche spiegazione su come si ricava quella formula, anche se e' il conteggio puro e semplice di tutte le volte che si incontrano diviso per il numero totale di uscite della coppia A.

EDIT !!!
In realta' la formula si semplifica sempre e risulta sempre $B/S$.
Quindi l'ipotesi di mgrau e' corretta.
Qui c'e' un semplice programma in C++ per il calcolo della formula se qualcuno vuole giocare ...

#include <QCoreApplication>


#include <iostream>
using namespace std;
int binomialCoefficients(int n, int k) {
   if (k == 0 || k == n)
   return 1;
   return binomialCoefficients(n - 1, k - 1) + binomialCoefficients(n - 1, k);
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    int A, B, S, start, end, sum;
    float res;
    A = 12;
    B = 7;
    S = 12;
    cout << "Immettere A B S: ";
    cin  >> A >> B >> S;
    start = (1 > A + B - S)? 1 : (A + B - S);
    end = (A < B)? A : B;

    sum = 0;
    for (int n = start; n <= end; ++n) {
        sum += (n * binomialCoefficients(B, n) * binomialCoefficients(S-B, A-n));
    }
    res = (float)sum / (A * binomialCoefficients(S, A));
    cout << "Risultato formula: " << res << endl;
    cout << "Calcolo B/S: " << (float)B/S << endl;
}

[axpgn]

"Quinzio":Dagli esempi fatti risulta che $x=B$ deve essere maggiore di 5,25 quindi deve essere 6 o 7.

No.

Però mi picchiate dopo, aspettate ancora un pochino ...

[Quinzio]

"axpgn":
Però mi picchiate dopo, aspettate ancora un pochino ...

Noooo, siamo gente ragionevole noi.
Vorrà dire che per provare la veridicità della tua soluzione, dovremo fare un esperimento reale, con un ristorante reale, per almeno 42 settimane.
A spese di.....

[axpgn]

"Quinzio":Noooo, siamo gente ragionevole noi.

Eh, dicono tutti così

"Quinzio":
A spese di.....

Ok, ma il ristorante (e il menù) lo scelgo io

[gabriella127]

"Quinzio":[quote="axpgn"]
Però mi picchiate dopo, aspettate ancora un pochino ...

Noooo, siamo gente ragionevole noi.
[/quote]

Ma quale gente ragionevole e gente ragionevole...
Lo possiamo torturare?
https://www.youtube.com/watch?v=1cEnqBYUc2Y

[Folpo13]

Non ho letto tutti gli ultimi messaggioni ma credo di aver capito il ragionamento di mgrau...

In pratica se la coppia A vede la coppia B il 75% delle volte, questo vuol dire che statisticamente la coppia B è al ristorante il 75% dei giorni, indipendentemente da quanto spesso la coppia A va al ristorante. Questo vuol dire che va $5.25~~5$ giorni alla settimana, che sono più di 2.

Spero di aver capito bene