Mangiare fuori
Se una coppia pranza al ristorante due volte alla settimana (il giorno della settimana varia) e se essa vede un'altra coppia mangiare lì all'incirca il $75%$ delle volte, c'è una ragione logica per cui la prima coppia assuma che la seconda coppia pranzi in quel ristorante più spesso di loro?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Risposte
@folpo13
Certo che hai capito bene .
E, @quinzio non me voglia, ma è un po' buffo dire che la mia ipotesi è confermata in quanto coincidente con quella che esce da due pagine di contazzi . Mi pare che ci sia l'identificazione sottintesa:
complicato=rigoroso
e
semplice=alla carlona
Certo che hai capito bene .
E, @quinzio non me voglia, ma è un po' buffo dire che la mia ipotesi è confermata in quanto coincidente con quella che esce da due pagine di contazzi . Mi pare che ci sia l'identificazione sottintesa:
complicato=rigoroso
e
semplice=alla carlona
"gabriella127":
Lo possiamo torturare?
https://www.youtube.com/watch?v=1cEnqBYUc2Y
Che ricordi! Io c'ero e li imitavo pure
Eh, come no! Ho messo il link anche perché i giovani qui si sono persi questi pilastri della cultura!
Dunque ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"axpgn":
@mgrau
...
Dopo aver letto il post di Folpo13 ho capito cosa intendevi
Francamente, e mi perdoni Folpo13, non mi pareva di essere stato meno chiaro di lui/lei
...
Tu intendi affermare (se ho capito bene) che la frequenza con cui la prima coppia vede la seconda è anche la frequenza con la quale [ la SECONDA coppia, suppongo] frequenta il ristorante;
@axpgn
Sì, intendo questo. Coi limiti di precisione dovuti al campionamento
Certamente io ho inteso che i giorni di frequentazione delle due coppie siano entrambi random. Chiaro che, se no, può succedere di tutto.
Poi, ho capito - con qualche sforzo - come si ricava questa tabella. Ma non mi è chiarissimo come utilizzarla. Si ha la probabilità, date le due frequenze, che ci sia almeno un giorno in comune? E questa è anche la frequenza con cui si incontrano? Può darsi, ma non mi è immediatamente evidente. Per es., immagino che, se A va 2 volte e vede B 2 volte su 7, dovrebbe concludere che B va 1 giorno alla settimana, perchè nella riga 2 il valore 2/7 sta nella colonna 1? Forse... Ma allora, se invece A vedesse B sempre, cosa conclude? Che va 6 oppure 7 volte? Come si ha la risposta in questo caso? Il fatto che non sia univoca mi dà dei dubbi sulla validità della conclusione.
Mentre mi risulta - cartesianamente - chiaro e distinto il ragionamento che ho fatto io. Per cui, per es. se A vede B sempre (e non mi interessa QUANTO SPESSO ciò accade), non avrei dubbi a concludere (coi limiti del campionamento) che B va SEMPRE al ristorante.
Ti faccio un esempio estremo, scherzoso, se vogliamo, ma non tanto.
Io abito a Milano. Ogni tanto mi capita di andare in piazza del duomo, e constato che c'è un monumento a Vittorio Emanuele II. Ciò accade ogni volta che vado.
Non sei d'accordo che, indipendentemente da quante volte vado in piazza del duomo, io possa onestamente concludere che il monumento si trova in piazza del duomo anche quando non ci vado?
Cordialmente, Alex
"mgrau":
Io abito a Milano. Ogni tanto mi capita di andare in piazza del duomo, e constato che c'è un monumento a Vittorio Emanuele II. Ciò accade ogni volta che vado.
Non sei d'accordo che, indipendentemente da quante volte vado in piazza del duomo, io possa onestamente concludere che il monumento si trova in piazza del duomo anche quando non ci vado?
Certamente ma non puoi concludere che ci sia sempre. A mio parere dipende anche dalla frequenza con cui ci vai; per esempio se tu ci vai una volta a stagione e lo hai sempre visto, ciò non implica che sia sempre stato lì nel "frattime", potrebbero averlo portato a restaurare per due mesi e poi rimesso a posto e quindi la tua assunzione sarebbe errata.
Aggiungo una cosa: a me è capitato (spesso) di pensare una cosa simile (intendo la supposizione del post iniziale per cui se vedi qualcuno o qualcosa in un posto significa che quello ci va più spesso di te) e mi pare anche che la gente tende a pensare in questo modo; ma si possono prendere delle topiche (per esempio, del tipo "hai visto che hanno restaurato la fontana rossa in piazza? L'hanno smontata, pulita e rimontata in meno di due mesi. Veloci eh")
Cordialmente, Alex
"axpgn":
[quote="mgrau"]Io abito a Milano. Ogni tanto mi capita di andare in piazza del duomo, e constato che c'è un monumento a Vittorio Emanuele II. Ciò accade ogni volta che vado.
Non sei d'accordo che, indipendentemente da quante volte vado in piazza del duomo, io possa onestamente concludere che il monumento si trova in piazza del duomo anche quando non ci vado?
Certamente ma non puoi concludere che ci sia sempre. A mio parere dipende anche dalla frequenza con cui ci vai; per esempio se tu ci vai una volta a stagione e lo hai sempre visto, ciò non implica che sia sempre stato lì nel "frattime", potrebbero averlo portato a restaurare per due mesi e poi rimesso a posto e quindi la tua assunzione sarebbe errata.
[/quote]
Certo, e se ogni volta che vai al ristorante incontri $y$ può voler dire che per caso $y$ ha scelto gli stessi tuoi giorni per andarci, e ci andate con la stessa frequenza. E' ovvio che non puoi concludere nulla, ma non è questo lo spirito del problema, mi sembra. Se assumi che andate entrambi al ristorante con frequenza uniforme, allora il ragionamento di mgrau è corretto, e puoi formalizzarlo in una riga con il teorema di Bayes.
"hydro":
E' ovvio che non puoi concludere nulla,
Chiaramente non intendevo di raggiungere una certezza matematica. Facendo un po' di osservazioni su un fenomeno mica si possono ricavare delle leggi eterne. Il senso era che:
la nostra migliore stima, il valore su cui accetteremmo una scommessa, sulla frequenza di B, è 75%
"mgrau":
[quote="hydro"] E' ovvio che non puoi concludere nulla,
Chiaramente non intendevo di raggiungere una certezza matematica. Facendo un po' di osservazioni su un fenomeno mica si possono ricavare delle leggi eterne. Il senso era che:
la nostra migliore stima, il valore su cui accetteremmo una scommessa, sulla frequenza di B, è 75%[/quote]
Infatti io stavo commentando quello che diceva axpgn, la tua risposta è più che ragionevole. Come sempre, è un problema di formalizzazione.
"axpgn":
Dunque ...
Cordialmente, Alex
Si Alex, ma quella tabella indica la probabilita' che le 2 coppie si incontrino almeno una volta alla settimana.
E' la divisione tra il numero di settimane in cui si verifica almeno un incontro (durante la settimana), diviso il numero di settimane totali.
Invece dal tuo post di apertura si chiedeva con quale probabilita' la coppia A vede la coppia B, che e' la risposta $B/S$ che abbiamo dato nei commenti.
Avevo avuto il sospetto che il quesito originale chiedesse la probabilita' di incontro almeno una volta alla settimana.
Infatti nel mio primo commento avevo anche messo la formula per questo caso.
Se invece si vuole sapere la probabilita' che in una settimana si verifichi almeno un incontro, la formula e'
\[
P(A,B,S) = 1-\dfrac{\displaystyle (S-A)! \ (S-B)! } { \displaystyle S!\ (S-A-B)!}
\]
Se $A+B > S$, allora $P(A,B,S) = 1$.
La formula sopra si ricava calcolando il numero di modi in cui le due coppie NON si incontrano e quindi facendo 1 meno questo numero.
Il numero di giorni in cui la coppia B NON e' al ristorante e' $S-B$.
Quindi il numero di modi di NON incontrarsi e' $$\binom{S-B}{A}$$
ovvero la coppia A va quando la coppia B non c'e'.
Il numero di modi in cui la coppia A va al ristorante sono $$\binom {S}{A}$$.
Facendo il rapporto dei due numeri si trova
\[
\dfrac{\displaystyle (S-A)! \ (S-B)! } { \displaystyle S!\ (S-A-B)!}
\]
da cui la formula sopra.
Si noti che questa volta la formula e' simmetrica per A e B, infatti il numero di settimane "di incontri" e' lo stesso per tutti e due, anche se nella settimana il numero di frequentazioni del ristorante e' diverso per A e per B.
Il paragone di mgrau con una serie di misure dell'oggetto $75%$ non funziona se le misure sono 2 o più perché l'oggetto viene in un certo senso "perturbato" dalle misure, ovvero la prima misura condiziona l'esito della seconda perché esclude un giorno, quello della prima misura. Un esempio:
Se il rapporto da misurare fosse $5/7$, alla prima uscita si incontrerebbero con probabilità $5/7=71.4%$ ma alla seconda uscita la [strike]probabilità cumulativa di due incontri[/strike] (errata corrige 29/3) probabilità di almeno un incontro su due tentativi varrebbe $20/21=95.2%$, quasi la certezza.
Il numero di cene fuori cercato, con due incontri con probabilità più vicina a $75%$,
[strike]è 3 o 4, con probabilità 5/7 o 6/7[/strike] (errata corrige 29/3: vedi post di stanotte) è 5.
Non discuto la tabella nè i calcoli per valorizzarla, lascio l'incombenza ai matematici.
Se il rapporto da misurare fosse $5/7$, alla prima uscita si incontrerebbero con probabilità $5/7=71.4%$ ma alla seconda uscita la [strike]probabilità cumulativa di due incontri[/strike] (errata corrige 29/3) probabilità di almeno un incontro su due tentativi varrebbe $20/21=95.2%$, quasi la certezza.
Il numero di cene fuori cercato, con due incontri con probabilità più vicina a $75%$,
[strike]è 3 o 4, con probabilità 5/7 o 6/7[/strike] (errata corrige 29/3: vedi post di stanotte) è 5.
Non discuto la tabella nè i calcoli per valorizzarla, lascio l'incombenza ai matematici.
Non ho avuto il tempo di leggere tutto il thread, quindi non ho seguito la discussione sulla soluzione di mgrau e di Quinzio, e appena posso lo faccio. Ma sono arrivata alla stessa conclusione di veciorik.
Ho calcolato le probabilità, come ho mostrato nel mio post all'inizio, solo che le ho calcolate calcolando la probabilità opposta, cioè di non incontrare la coppia2, e poi sottraendola da $1$, per aver la probabilità di incontrare la coppia
(questo perché così è semplice, mentre calcolare in modo diretto può essere più complicato, caso mai bisogna mettersi nel casino della formula delle probabilità totali per eventi compatibili).
Ho calcolato le probabilità, come ho mostrato nel mio post all'inizio, solo che le ho calcolate calcolando la probabilità opposta, cioè di non incontrare la coppia2, e poi sottraendola da $1$, per aver la probabilità di incontrare la coppia
(questo perché così è semplice, mentre calcolare in modo diretto può essere più complicato, caso mai bisogna mettersi nel casino della formula delle probabilità totali per eventi compatibili).
"Quinzio":
.. ma quella tabella indica la probabilita' che le 2 coppie si incontrino almeno una volta alla settimana.
Ed è come ho inteso io il problema confortato poi dalla risposta dell'autore che confermava ciò.
D'altra parte l'unità di tempo di riferimento (non esplicitata ma sottintesa) è la settimana non il giorno.
Mi pare che tutti, io per primo, siamo stati fuorviati dalla piega che ha preso la discussione e dalla "soluzione originale" riportata da axpgn.
Forse la faccenda è più semplice di come l'abbiamo interpretata.
Riformulo in breve: la coppia A esce 2 volte a settimana in cui incontra mediamente $2*75%=1.5$ volte la coppia B che esce $x$ volte a settimana. Quanto vale $x$ ?
NB: il gioco non chiede un valore esatto ma un ragionamento per mostrare che $x>2$.
Nelle due volte che A esce, nell'arco di una settimana, incontra B una o due volte, non di più; zero volte è possibile ma deve essere poco probabile.
Per ottenere la media di $1.5$ incontri bisogna che si incontrino una volta in circa metà delle settimane e due volte nell'altra metà, cioè con probabilità circa fifty-fifty nei due casi: uno o due incontri.
Questo può succedere per vari valori di $x$: qui serve un pò di matematica per calcolare il miglior valore.
Provo in modo naif: la probabilità che avvenga un solo incontro $p(1)$ vale $p(1)=1-p(0)-p(2)$
Ma il precedente ragionamento sul $75%$ impone \(p(2)\approx p(1)\) da cui \(p(2)\approx (1-p(0))/2 \ \lessapprox \ 1/2\)
Il miglior valore $x=5$ dà:
$p(0)=(7-5)/(7*6)=1/21$
$p(2)=(5*4)/(7*6)=10/21$
$p(1)=10/21$
Forse la faccenda è più semplice di come l'abbiamo interpretata.
Riformulo in breve: la coppia A esce 2 volte a settimana in cui incontra mediamente $2*75%=1.5$ volte la coppia B che esce $x$ volte a settimana. Quanto vale $x$ ?
NB: il gioco non chiede un valore esatto ma un ragionamento per mostrare che $x>2$.
Nelle due volte che A esce, nell'arco di una settimana, incontra B una o due volte, non di più; zero volte è possibile ma deve essere poco probabile.
Per ottenere la media di $1.5$ incontri bisogna che si incontrino una volta in circa metà delle settimane e due volte nell'altra metà, cioè con probabilità circa fifty-fifty nei due casi: uno o due incontri.
Questo può succedere per vari valori di $x$: qui serve un pò di matematica per calcolare il miglior valore.
Provo in modo naif: la probabilità che avvenga un solo incontro $p(1)$ vale $p(1)=1-p(0)-p(2)$
Ma il precedente ragionamento sul $75%$ impone \(p(2)\approx p(1)\) da cui \(p(2)\approx (1-p(0))/2 \ \lessapprox \ 1/2\)
Il miglior valore $x=5$ dà:
$p(0)=(7-5)/(7*6)=1/21$
$p(2)=(5*4)/(7*6)=10/21$
$p(1)=10/21$
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