Le ultime cifre ...famose!
Determinare le ultime due cifre della somma :
$7^1+7^2+7^3+...+7^2005$
Archimede
$7^1+7^2+7^3+...+7^2005$
Archimede
Risposte
l'ultima dovrebbe essere 7 e la penultima 0... o no?
"archimede":
Determinare le ultime due cifre della somma :
$7^1+7^2+7^3+...+7^2005$
Archimede
ultime da che parte? se intendi a destra basta usare un pò di congruenze $mod 10$.
abbiamo $(7+7^2+7^3+7^4) -=(7+9+3+1) mod 10$ quindi
$(7+7^2+7^3+7^4+7^5+...+7^2005)-=501(7+9+3+1) +7 -= 7 mod 10$
l'ultima cifra a destra è 7
il sistema di scrittura/lettura occidentale va da sinistra a destra... dunque per ultima credo fosse implicito "a destra", se poi tu credi che ci si possa confondere con qualche altro sistema che magari va da destra a sinistra allora la tua osservazione può assumere significato
D'accordissimo con Kroldar e Carlo23.
Io ho ragionato così, come alternativa alle congruenze
(anche se in maniera meno svelta).
Innanzitutto, ho considerato queste prime potenze di 7:
7^1 = 7
7^5 = 100·6·28+7
7^9 = 100·6·67256+7 .
Ora, nell'ipotesi che sia:
7^(4·h+1) = 100·6·p+7 (per un opportuno p)
otterrei, moltiplicando membro a membro questa uguaglianza
per 7^4 = 100·6·4+1:
7^4·7^(4·h+1) = 7^[4(h+1)+1] = (100·6·4+1)(100·6·p+7) = 100·6·(2401·p+28)+7.
Per induzione, quindi, ho verificato che ogni potenza di 7 del
tipo 7^(4k+1) termina sempre con 07 e che 7^(4k+1)-7 è un
multiplo di 600.
La somma proposta, trattandosi di una progressione geometrica
senza l'unità, è uguale a: 7·(7^2005-1)/6.
Poiché 2005 = 4·501+1, la potenza 7^2005 ha la forma 100·6·q+7.
Dunque: 7·(7^2005-1)/6 = 100·7·q+7.
(Se&o)
Io ho ragionato così, come alternativa alle congruenze
(anche se in maniera meno svelta).
Innanzitutto, ho considerato queste prime potenze di 7:
7^1 = 7
7^5 = 100·6·28+7
7^9 = 100·6·67256+7 .
Ora, nell'ipotesi che sia:
7^(4·h+1) = 100·6·p+7 (per un opportuno p)
otterrei, moltiplicando membro a membro questa uguaglianza
per 7^4 = 100·6·4+1:
7^4·7^(4·h+1) = 7^[4(h+1)+1] = (100·6·4+1)(100·6·p+7) = 100·6·(2401·p+28)+7.
Per induzione, quindi, ho verificato che ogni potenza di 7 del
tipo 7^(4k+1) termina sempre con 07 e che 7^(4k+1)-7 è un
multiplo di 600.
La somma proposta, trattandosi di una progressione geometrica
senza l'unità, è uguale a: 7·(7^2005-1)/6.
Poiché 2005 = 4·501+1, la potenza 7^2005 ha la forma 100·6·q+7.
Dunque: 7·(7^2005-1)/6 = 100·7·q+7.
(Se&o)
Ecco una soluzione del tutto elementare.
Le prime quattro potenze di 7 sono:
$7,49,343,2401$
Come si vede ,immaginando il 7 scritto come 07, le ultime 2 cifre formano la quaterna
07,49,43,01.Tale gruppo si ripropone per tutte le quaterne di potenze
successive del 7 e la somma di esse termina sempre con "00".Siccome le quaterne
da sommare sono 501 piu' 7^(2005) ,che e' il primo termine della quaterna 502-esima e
che quindi termina con "07" come detto, se ne conclude che le cifre richieste sono "07".
Grazie per le altre ottime risposte.A Carlo23 vorrei dire di non andare troppo
spesso in Cina,e' la' infatti che si va da destra verso sinistra ( quale spergiuro!!)
e dal basso verso l'alto...
Ciao.
Archimede
Le prime quattro potenze di 7 sono:
$7,49,343,2401$
Come si vede ,immaginando il 7 scritto come 07, le ultime 2 cifre formano la quaterna
07,49,43,01.Tale gruppo si ripropone per tutte le quaterne di potenze
successive del 7 e la somma di esse termina sempre con "00".Siccome le quaterne
da sommare sono 501 piu' 7^(2005) ,che e' il primo termine della quaterna 502-esima e
che quindi termina con "07" come detto, se ne conclude che le cifre richieste sono "07".
Grazie per le altre ottime risposte.A Carlo23 vorrei dire di non andare troppo
spesso in Cina,e' la' infatti che si va da destra verso sinistra ( quale spergiuro!!)
e dal basso verso l'alto...
Ciao.
Archimede
"archimede":
A Carlo23 vorrei dire di non andare troppo
spesso in Cina,e' la' infatti che si va da destra verso sinistra ( quale spergiuro!!)
e dal basso verso l'alto...
Ciao.
Archimede
beh, non è necessario andare in Cina, devi sapere che ad esempio alcune delle prime calcolatrici elettroniche chiedevano che i numeri venissero introdotti da destra a sinistra per semplificare il lavoro al calcolatore...
Si',e' la notazione polacca inversa (RPN ,mi pare).Ma una cosa e' introdurre
i numeri sulla calcolatrice ,un'altra e' leggere numeri gia' scritti!!
Ciao.
Archimede.
i numeri sulla calcolatrice ,un'altra e' leggere numeri gia' scritti!!
Ciao.
Archimede.
"archimede":
Si',e' la notazione polacca inversa (mi pare).Ma una cosa e' introdurre
i numeri sulla calcolatrice ,un'altra e' leggere numeri gia' scritti!!
Ciao.
Archimede.
Si, proprio quella non ricordavo come se chiamasse...
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