Le principesse e il drago
Il Drago catturò due Principesse, Angelina ed Ombretta, e le collocò in due diverse torri del suo castello.
Il Drago poi si mise a lanciare una moneta un infinito numero di volte, informando Angelina di tutti i risultati dei lanci di posto pari e Ombretta di tutti i risultati dei lanci di posto dispari.
Successivamente, il Drago chiede a ciascuna principessa di nominare il numero di un qualsiasi lancio a lei sconosciuto ovvero, in altre parole, Angelina deve nominare un numero dispari ed Ombretta un numero pari.
Se i risultati dei lanci nominati dalle Principesse sono gli stessi (entrambi teste o entrambi croce) allora il Drago libererà le Principesse altrimenti le divorerà.
Le Principesse conoscono le abitudini del Drago e avrebbero potuto concordare in precedenza una strategia.
Quali sono le probabilità che le Principesse riescano a salvarsi, se Ombretta nominerà un numero per prima mentre Angelina nominerà il suo conoscendo quello di Ombretta?
Cordialmente, Alex
Il Drago poi si mise a lanciare una moneta un infinito numero di volte, informando Angelina di tutti i risultati dei lanci di posto pari e Ombretta di tutti i risultati dei lanci di posto dispari.
Successivamente, il Drago chiede a ciascuna principessa di nominare il numero di un qualsiasi lancio a lei sconosciuto ovvero, in altre parole, Angelina deve nominare un numero dispari ed Ombretta un numero pari.
Se i risultati dei lanci nominati dalle Principesse sono gli stessi (entrambi teste o entrambi croce) allora il Drago libererà le Principesse altrimenti le divorerà.
Le Principesse conoscono le abitudini del Drago e avrebbero potuto concordare in precedenza una strategia.
Quali sono le probabilità che le Principesse riescano a salvarsi, se Ombretta nominerà un numero per prima mentre Angelina nominerà il suo conoscendo quello di Ombretta?
Cordialmente, Alex
Risposte
Perfetto, brava! 
Non ho capito, non può uscire sempre testa o sempre croce? o anche $n$ volte testa e poi sempre croce?
@hydro:
Si chiede di trovare la migliore strategia possibile e non invece una strategia che dia il 100% di possibilità di salvezza (anche se quella trovata da @melia praticamente lo è).
Si chiede di trovare la migliore strategia possibile e non invece una strategia che dia il 100% di possibilità di salvezza (anche se quella trovata da @melia praticamente lo è).
Hmmmm però allora bisogna dimostrare che questa è effettivamente la migliore strategia possibile...
Allora, volendo essere più precisi, riprendo il testo originale che dice "Quali sono le probabilità ..." e adottando questa strategia le probabilità, al limite, tendono al 100%.
Isn't it?
Isn't it?
"axpgn":
Allora, volendo essere più precisi, riprendo il testo originale che dice "Quali sono le probabilità ..." e adottando questa strategia le probabilità, al limite, tendono al 100%.
Isn't it?
Non esattamente, perchè non si capisce quale distribuzione di probabilità tu stia considerando su $\{0,1\}^{\mathbb N}$. L'idea più banale, ovvero quella di dire che la probabilità di $A\subseteq \{0,1\}^{\mathbb N}$ è $\lim_{N\to +\infty}\frac{|\pi_N(A)|}{2^N}$, con $\pi_N:\{0,1\}^{\mathbb N}\to \{0,1\}^N$ definita nel modo ovvio, non definisce una distribuzione di probabilità. Quello che si può fare invece è la misura prodotto, ma lì poi succede che eventi del tipo "tutti i lanci pari sono testa" non sono nella sigma-algebra dello spazio prodotto, quindi non hanno probabilità. E questo è un evento di cui bisogna tenere conto, in quella strategia.
Ovviamente ti puoi salvare dicendo che il drago tira la moneta un numero di volte grande ma finito. Lì allora tutto ha senso, la probabilità di salvarsi non è $1$ ma tende a $1$. Però in questo caso sorge una domanda spontanea: non è che c'è una strategia con cui la probabilità di salvarsi tende a $1$ più rapidamente?
Beh, però quello che conta (sempre riferendomi al testo originale) è trovare una strategia per salvarsi, non necessariamente la più veloce (ammesso che ne esista un'altra) e quella adottata, in pratica, te lo garantisce sicuramente.
Formalmente non so risponderti ma anche su un numero di lanci infinito, le successioni "sfortunate" (quelle da te indicate) dovrebbero ridursi ad un infinitesimo, no?
Formalmente non so risponderti ma anche su un numero di lanci infinito, le successioni "sfortunate" (quelle da te indicate) dovrebbero ridursi ad un infinitesimo, no?
"axpgn":
Beh, però quello che conta (sempre riferendomi al testo originale) è trovare una strategia per salvarsi, non necessariamente la più veloce (ammesso che ne esista un'altra) e quella adottata, in pratica, te lo garantisce sicuramente.
Dipende da cosa intendi con "sicuramente". Se intendi "nel 100% dei casi", allora sì. Se intendi "per ogni configurazione dei lanci", allora no.
"axpgn":
Formalmente non so risponderti ma anche su un numero di lanci infinito, le successioni "sfortunate" (quelle da te indicate) dovrebbero ridursi ad un infinitesimo, no?
Sì certo, diventano un insieme di densità zero se si considera il concetto naif di limite delle probabilità che scrivevo sopra. Lo dicevo semplicemente per puntualizzare il fatto che il concetto di probabilità va trattato con attenzione perchè rivela più insidie di quello che si pensi!
"hydro":
Sì certo, diventano un insieme di densità zero ... il concetto di probabilità va trattato con attenzione perchè rivela più insidie di quello che si pensi!
Sì, certo.
"hydro":
Dipende da cosa intendi con "sicuramente". Se intendi "nel 100% dei casi", allora sì. Se intendi "per ogni configurazione dei lanci", allora no.
Questo invece non mi è molto chiaro
E' una cosa che confuse anche me, da studente. Il punto della questione è semplicemente la definizione di probabilità. In parole povere ed imprecise, dare una distribuzione di probabilità su una famiglia di eventi $\mathcal F$ significa dare una funzione $p:\mathcal F\to [0,1]$ che rispetta una serie di proprietà. Gli eventi sono sottoinsiemi di un insieme "universo" $U$. Tra le proprietà c'è ad esempio il fatto che $p(U)=1$, ovvero la probabilità che almeno un evento accada è $1$. Ora, come va pensata questa definizione? Va pensata nel seguente modo: una distribuzione di probabilità è un modo di misurare alcuni sottoinsiemi di $U$, normalizzando il tutto in modo che la misura di $U$ sia $1$. Se ci pensi in questi termini, è chiaro che esistono degli esempi in cui sottoinsiemi non vuoti di $U$ hanno misura $0$. Ad esempio puoi prendere $U$ come l'intervallo $[0,1]$, e come probabilità la misura di Lebesgue. Questa va pensata, al di là della definizione, come al modo "ovvio" di misurare i sottoinsiemi di $[0,1]$, ad esempio se prendi un sottointervallo $(a,b)$ questo ha misura $b-a$ (caveat: non tutti i sottoinsiemi di $[0,1]$ sono misurabili!). I punti sono misurabili, ed hanno misura $0$, il che è intuitivamente ovvio: un punto è un oggetto $0$-dimensionale, un intervallo è un oggetto $1$-dimensionale. I sottoinsiemi misurabili non sono nient'altro che gli eventi di cui è definita la probabilità. Ergo, la probabilità di un punto, ad esempio \(1/2\), è $0$, ma il sottoinsieme \(\{1/2\}\) non è vuoto! Ora ripensa a tutto questo come al seguente gioco, spiegato in termini non matematici: devi tirare una freccetta contro l'intervallo $[0,1]$, uniformemente a caso. Qual è la probabilità di colpire il punto \(1/2\)? Beh, la probabilità è $0$. Ma questo vuol dire che è un evento impossibile? Certo che no, l'evento è possibile. Ovvero, esistono eventi possibili che hanno probabilità nulla.
La stessa cosa è vera anche al contrario: esistono eventi diversi da $U$ che hanno probabilità $1$. Ad esempio, l'evento "colpire un punto irrazionale" ha probabilità $1$. Questo significa che comunque tu tiri la freccetta colpirai un punto irrazionale? Certo che no! Ad esempio, puoi colpire \(1/2\). Da qui vedi che dire il termine certamente, nel contesto della probabilità, è ambiguo: stai indicando l'evento $U$ o stai indicando un evento di probabilità $1$? Se l'insieme di eventi con cui hai a che fare è finito, allora non c'è differenza. Ma per insiemi infiniti le cose cambiano. Il caso della principessa simile a quello della freccetta, con l'ulteriore complicazione che va specificato quale distribuzione di probabilità stai mettendo sull'insieme $U=\{0,1\}^{\mathbb N}$. Come dicevo sopra, la definizione naif di prendere il limite delle probabilità NON definisce una misura di probabilità su $\{0,1\}^{\mathbb N}$. Esiste un modo "naturale" di definire una misura di probabilità su $\{0,1\}^{\mathbb N}$ partendo dalla distribuzione uniforme su $\{0,1\}$, ed è quello di usare la probabilità prodotto. Ma con questa definizione l'evento "tutti i lanci pari sono testa" NON è un evento misurabile, ovvero la sua probabilità non è definita.
La stessa cosa è vera anche al contrario: esistono eventi diversi da $U$ che hanno probabilità $1$. Ad esempio, l'evento "colpire un punto irrazionale" ha probabilità $1$. Questo significa che comunque tu tiri la freccetta colpirai un punto irrazionale? Certo che no! Ad esempio, puoi colpire \(1/2\). Da qui vedi che dire il termine certamente, nel contesto della probabilità, è ambiguo: stai indicando l'evento $U$ o stai indicando un evento di probabilità $1$? Se l'insieme di eventi con cui hai a che fare è finito, allora non c'è differenza. Ma per insiemi infiniti le cose cambiano. Il caso della principessa simile a quello della freccetta, con l'ulteriore complicazione che va specificato quale distribuzione di probabilità stai mettendo sull'insieme $U=\{0,1\}^{\mathbb N}$. Come dicevo sopra, la definizione naif di prendere il limite delle probabilità NON definisce una misura di probabilità su $\{0,1\}^{\mathbb N}$. Esiste un modo "naturale" di definire una misura di probabilità su $\{0,1\}^{\mathbb N}$ partendo dalla distribuzione uniforme su $\{0,1\}$, ed è quello di usare la probabilità prodotto. Ma con questa definizione l'evento "tutti i lanci pari sono testa" NON è un evento misurabile, ovvero la sua probabilità non è definita.
Ok, adesso mi è più chiaro.
Della prima parte ne ero già a conoscenza ("esistono eventi possibili che hanno probabilità nulla") ma non mi ero mai soffermato sul contrario
Grazie.
Della prima parte ne ero già a conoscenza ("esistono eventi possibili che hanno probabilità nulla") ma non mi ero mai soffermato sul contrario
Grazie.
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