LA SCATOLA DISPARI

[balestra_romani]

La domanda n.13 a questo link recita:

13. LA SCATOLA DISPARI

Una scatola dispari è un parallelepipedo rettangolo le cui tre dimensioni misurano un numero intero dispari di centimetri. Riempiamola con il maggior numero possibile di cubi con lato di 2 cm, disponendo gli spigoli dei cubi parallelamente a quelli della scatola. Qual è il volume della scatola, sapendo che i cubi ne occupano il 64%? Quante soluzioni ammette il problema?

Le soluzioni sono:

525; 7425; 8325; 8925; 11625; 15225; 26325

Ho provato a scrivere delle equazioni ma nulla... Come si risolve?

Io non riesco neppure a capire come si risolve l'esercizio con le soluzioni davanti al naso... mah... avrò un QI molto basso...

[orsoulx]

Se postavi in "Scervelliamoci un po'", forse ottenevi più riscontri.

Indicando con $a, b,c$ il numero di cubetti nelle tre dimensioni deve valere:
$ 64(2a+1)(2b+1)(2c+1)=800abc rightarrow 2(2a+1)(2b+1)(2c+1)=25abc$
La dimensione minore, diciamo $c$, non deve essere grande altrimenti il volume dei cubetti supera sicuramente il 64% del totale.
Posto $ c=1 $ si ottiene $ 6(2a+1)(2b+1)=25ab rightarrow ab-12a-12b-6=0 $ da cui si può ricavare
$ b=(12a+6)/(a-12)=12+150/(a-12) $; per ottenere valori interi $ a-12 $ deve essere un divisore di $150 $, con $a<=b$ ci sono $ 6 $ possibilità, che portano alle coppie $ (a,b)\in{(13,162);(14,87);(15,62);(17,42);(18,37);(22,27)} $.

Con $ c=2 $ si ricava $ 10(2a+1)(2b+1)=50ab rightarrow (2a+1)(2b+1)=5ab rightarrow ab-2a-2b-1=0 $, quindi $b=(2a+1)/(a-2)=2+5/(a-2) $; $ a-2 $ deve essere un divisore di $ 5 $ e con $a<=b$ c'è un'unica possibilità $ a=3,b=7 $.

Con $ c> 2 $ non vi sono soluzioni: $(3,3,3)$ non va bene e $(3,4,3)$ supera già il 64%.

Ciao

[balestra_romani]

mille grazie, spiegazione impeccabile

[orsoulx]

Prego. Il problema era interessante. Per qualche tempo sono rimasto interdetto: avevo frainteso e credevo che le soluzioni riportate fossero, invece, il numero di soluzioni possibili fra cui individuare la risposta esatta. Demenza senile
Ciao