Isola che non c'è

[xXStephXx]

Nell’isola Chenonc'è ci sono 2009 abitanti, divisi in tre clan: i furfanti che mentono sempre, i
cavalieri che non mentono mai, i paggi che mentono un giorno sì e uno no, in modo indipendente
l’uno dall’altro. Un giorno chiedo a ciascuno degli abitanti quanti furfanti sono sull’isola. Il primo
dice: “c'è almeno 1 furfante”; il secondo dice: “ci sono almeno 2 furfanti”;. . . il 2009-esimo dice:
“ci sono almeno 2009 furfanti”. Scrivo in una lista la successione delle 2009 risposte, nell’ordine
in cui sono state pronunciate. Il giorno dopo interrogo allo stesso modo tutti gli abitanti (non
necessariamente nello stesso ordine), ed ottengo una lista delle risposte identica a quella del giorno
precedente. Sapendo che c’è un solo cavaliere sull’isola, quanti paggi ci sono?

[albertobosia]

se la lista è identica, ogni persona ha dato la stessa risposta due giorni di fila, cosa che fanno solo cavalieri e furfanti.
sapendo che c'è solo un cavaliere, devono esserci esattamente \(2008\) furfanti. quindi quelli che hanno detto "ci sono almeno \(k\) furfanti" con \(0\le k\le2008\) hanno detto la verità.
questo è assurdo, perciò l'isola Chenonc'è... non c'è

[milizia96]

Non sono d'accordo con albertobosia:

secondo me ci sono 1338 paggi

[xXStephXx]

Il numero è quello Magari metti anche il procedimento.

[milizia96]

Procedimento:

Siccome la lista delle risposte rimane invariata il secondo giorno, significa che il numero di abitanti che dicono la verità (così come il numero di quelli che mentono) è costante, pertanto rimane costante col passare di un giorno anche il numero dei paggi che dicono la verità e il numero di quelli che mentono. Da ciò si deduce che una metà dei paggi mente i giorni dispari; l'altra metà mente i giorni pari.
Faccio un'altra considerazione: il numero dei furfanti è esattamente uguale al numero degli abitanti che dicono la verità.
Quindi, indicando con $P$ e $F$ rispettivamente il numero di paggi e di furfanti:
$F=P/2 +1$
Inoltre sappiamo che $F+P=2008$
A questo punto si tratta di risolvere un semplice sistema di due equazioni in due incognite.

[xXStephXx]

Ok, io avevo fatto una cosa simile eguagliando il numero di affermazioni false dei due giorni..
Il primo giorno le affermazioni false sono 2009-f. Il secondo giorno sono f (i furfanti mentono sempre) + f-1 (i paggi che il giorno prima hanno detto la verità, dove 1 è il cavaliere). Poi per differenza trovo i paggi..

ULTIMO MESSAGGIO DEL 2011

[FreddyKruger]

"milizia96":
Faccio un'altra considerazione: il numero dei furfanti è esattamente uguale al numero degli abitanti che dicono la verità.

Perché questo passaggio? Come hai dimostrato che è vero?

[xXStephXx]

Bè perchè ognuno dice "ci sono almeno x furfanti".. Quindi per x minore o uguale al numero dei furfanti l'affermazione è vera, mentre per x maggiore l'affermazione è falsa.. Quindi l'affermazione detta risulta vera per x che va da 1 al numero dei furfanti, (e quindi le affermazioni vere sono tante quante il numero di furfanti).