Indovinello Cantoriano
Pubblico questo "indovinello" con il permesso di un collega che me l'ha raccontato in questi giorni. Spero di
non ripetere qualcosa di già noto (io non lo conoscevo e mi ha divertito parecchio). Ovviamente per risolverlo
bisogna avere dimestichezza con l'infinito.
In una dependance dell'albergo di Cantor alloggiano due professori (scapoli), uno di matematica e l'altro di lettere.
Entrambi si fidano poco delle banche per cui, ogni mese ritirano lo stipendio in contanti (tutto in biglietti
da cinquanta euro) e lo tengono con loro.
Sono anche un po' sciatti e hanno la curiosa abitudine di tenere i soldi in una pila su un angolo del tavolo del
loro studio - ogni volta che riscuotono la paga mettono il denaro ricevuto ben allineato sopra la pila.
Il matematico è uno scialaquatore e ogni mese preleva dalla sua pila esattamente quanto ha ricevuto di stipendio -
l'unica eccezione è che quando gli arriva la tredicesima spende tutto tranne un biglietto da cinquanta.
Il letterato è un uomo previdente e ogni mese spende l'ammontare del suo stipendio meno un biglietto da cinquanta euro -
va da sé che lui a Natale fa nessuna spesa straordinaria.
Come noto gli ospiti dell'albergo di Cantor vivono in eterno. Dopo Aleph Zero anni i due si incontrano e scoprono
che il letterato non ha più un euro, mentre il matematico è infinitamente ricco!
Come si può spiegare questo ?
non ripetere qualcosa di già noto (io non lo conoscevo e mi ha divertito parecchio). Ovviamente per risolverlo
bisogna avere dimestichezza con l'infinito.
In una dependance dell'albergo di Cantor alloggiano due professori (scapoli), uno di matematica e l'altro di lettere.
Entrambi si fidano poco delle banche per cui, ogni mese ritirano lo stipendio in contanti (tutto in biglietti
da cinquanta euro) e lo tengono con loro.
Sono anche un po' sciatti e hanno la curiosa abitudine di tenere i soldi in una pila su un angolo del tavolo del
loro studio - ogni volta che riscuotono la paga mettono il denaro ricevuto ben allineato sopra la pila.
Il matematico è uno scialaquatore e ogni mese preleva dalla sua pila esattamente quanto ha ricevuto di stipendio -
l'unica eccezione è che quando gli arriva la tredicesima spende tutto tranne un biglietto da cinquanta.
Il letterato è un uomo previdente e ogni mese spende l'ammontare del suo stipendio meno un biglietto da cinquanta euro -
va da sé che lui a Natale fa nessuna spesa straordinaria.
Come noto gli ospiti dell'albergo di Cantor vivono in eterno. Dopo Aleph Zero anni i due si incontrano e scoprono
che il letterato non ha più un euro, mentre il matematico è infinitamente ricco!
Come si può spiegare questo ?
Risposte
Proviamoci.
Il matematico risparmia 50 € all'anno. (Spende tutto TRANNE 1 biglietto da 50 €)
Il letterato ogni mese spende tutto lo stipendio e resta a zero. MENO 1 biglietto da 50€ va a $-50€$ ogni mese.
Non ho capito bene cosa ne fa della 13°
Il matematico risparmia 50 € all'anno. (Spende tutto TRANNE 1 biglietto da 50 €)
Il letterato ogni mese spende tutto lo stipendio e resta a zero. MENO 1 biglietto da 50€ va a $-50€$ ogni mese.
Non ho capito bene cosa ne fa della 13°
Dunque diciamo che la paga di entrambi è di mille euro (in venti biglietti da cinquanta) e che la tredicesima è dello stesso importo (si fa per dire,
lo so che i professori prendono molto di più
).
All'inizio di ogni mese entrambi ritirano i loro 1000 euro (2000 se il mese è dicembre) e li mettono sopra la rispettiva pila. Durante il mese il matematico riprende dalla pila tutti i 1000 euro (1950 se il mese è dicembre), mentre il letterato ne riprende 950 (anche a dicembre).
Ciò nonostante - compatibilmente con quanto detto sopra - si comportano in modo leggermente diverso in modo che, alla fine dei tempi il matematico ha infiniti biglietti da 50 sul suo tavolo mentre il letterato non ne ha più nessuno.
P.S. E' l'infinito, bellezza!
lo so che i professori prendono molto di più
).All'inizio di ogni mese entrambi ritirano i loro 1000 euro (2000 se il mese è dicembre) e li mettono sopra la rispettiva pila. Durante il mese il matematico riprende dalla pila tutti i 1000 euro (1950 se il mese è dicembre), mentre il letterato ne riprende 950 (anche a dicembre).
Ciò nonostante - compatibilmente con quanto detto sopra - si comportano in modo leggermente diverso in modo che, alla fine dei tempi il matematico ha infiniti biglietti da 50 sul suo tavolo mentre il letterato non ne ha più nessuno.
P.S. E' l'infinito, bellezza!
ok quindi la soluzione di martino non va bene.
peccato perchè secondo me era davvero bella e intelligente.
rimane comunque valida, per un quesito diverso da quello proposto.
ma a quanto pare ci aspetta una risposta ancor più sorprendente, che io sinceramente non mi so immaginare per ora..
peccato perchè secondo me era davvero bella e intelligente.
rimane comunque valida, per un quesito diverso da quello proposto.
ma a quanto pare ci aspetta una risposta ancor più sorprendente, che io sinceramente non mi so immaginare per ora..
Oppure ci aspetta una grande delusione
Ma credo più nella risposta sorprendente
Ma credo più nella risposta sorprendente
vediamo un po' , cerchiamo di venirne a capo. ViciousGoblin ti faccio alcune domande:
1. possiamo supporre che i due protagonisti ricevano sempre lo stipendio il giorno 1 di ogni mese?
2. possiamo supporre che la storia della pila inizi il giorno 1 gennaio 2011 e che prima di quel momento ciascuna pila fosse vuota?
3. possiamo supporre che i due spendano i soldi del mese a partire dal momento in cui appoggiano tutto lo stipendio del mese stesso sulla pila, e non prima?
4. possiamo supporre che non hanno nè entrate nè uscite economiche diverse da quelle descritte?
1. possiamo supporre che i due protagonisti ricevano sempre lo stipendio il giorno 1 di ogni mese?
2. possiamo supporre che la storia della pila inizi il giorno 1 gennaio 2011 e che prima di quel momento ciascuna pila fosse vuota?
3. possiamo supporre che i due spendano i soldi del mese a partire dal momento in cui appoggiano tutto lo stipendio del mese stesso sulla pila, e non prima?
4. possiamo supporre che non hanno nè entrate nè uscite economiche diverse da quelle descritte?
"blackbishop13":
vediamo un po' , cerchiamo di venirne a capo. ViciousGoblin ti faccio alcune domande:
1. possiamo supporre che i due protagonisti ricevano sempre lo stipendio il giorno 1 di ogni mese?
2. possiamo supporre che la storia della pila inizi il giorno 1 gennaio 2011 e che prima di quel momento ciascuna pila fosse vuota?
3. possiamo supporre che i due spendano i soldi del mese a partire dal momento in cui appoggiano tutto lo stipendio del mese stesso sulla pila, e non prima?
4. possiamo supporre che non hanno nè entrate nè uscite economiche diverse da quelle descritte?
Sì a tutte quattro le domande.
Metto un aiutino (che in realtà ho già tentato di suggerire prima)
una domanda relativa all'esempio con i 1000 euro. Il letterato non dovrebbe spendere anche lui 1950 euro a dicembre?
l'unica differenza può essere che...
e questo porta alla conclusione, infatti:
e questo porta alla conclusione, infatti:
@blackbishop13
Me piace assai.
Me piace assai.
"blackbishop13":
l'unica differenza può essere che...
e questo porta alla conclusione, infatti:
Nice Job blackbishop
Ma siamo impazziti?
Oddio non ci crederò mai...
Oddio non ci crederò mai...
... 
Continuo a non capire la soluzione di blackbishop13: forse è questa?
j18eos,
Insomma se uno ha un bicchiere di altezza infinita con un buchino "piccolo piccolo" sul fondo, che perde una goccia ogni cento anni, non importa quanta acqua
butti dentro al minuto - alla fine dei tempi il bicchiere è vuoto.
butti dentro al minuto - alla fine dei tempi il bicchiere è vuoto.
Scusate ma io trovo insensata una cosa del genere...
In pratica una cosa del genere è impossibile e su questo non credo ci siano dubbi, ma in matematica la state facendo diventare possibile. Secondo me sbagliate perchè considerate solo le banconote che vengono tolte, è ovvio che ogni banconota che verrà messa prima o poi sarà tolta ma non bisogna fermarsi qui e dire che resterà senza soldi! Abbiamo una serie infinita che segue un'altra serie infinita più grande, correndo per un tempo infinito allora il distacco tra i due sarà sempre infinitamente più grande, quindi i soldi aumenteranno sempre all'infinito, come il matematico.
Provo a risolverlo in termini matematici con i limiti dove ''a'' è lo stipendo e ''b'' sono i soldi prelevati da ''a'' quando restano i 50 euro. Quindi a>b e a-b=50:
$ lim_(x -> oo ) [11(a-a) + (a-b)]x = lim_(x -> oo ) 50x = oo $
Questo è quello del matematico e ovviamente moltiplicando i 50 euro per infinite volte allora dopo Aleph Zero anni i soldi saranno infiniti...
Ora risolviamo quello del letterato:
$ lim_(x -> oo ) [12(a-b)]x = lim_(x -> oo ) 600x = oo $
Non può mai risultare zero perchè ''a'' è maggiore di ''b'', infatti si può scrivere anche in questo modo:
$ lim_(x -> oo ) ax-bx = lim_(x -> oo ) x(a-b) = lim_(x -> oo ) 50x = oo $
ma in ogni caso mi viene sempre infinito.
Se ad esempio due macchine partono allo stesso istante percorrendo la stessa strada ma una corre a 100 km/h e l'altra a 10 Km/h non penso che si incontreranno, ma anzi la distanza sarà infinitamente più grande. Però vi dico prima che le mie conoscenze sono ancora limitate, non so se due serie (di cui una più grande e una più piccola) se percorrono in infinito troveranno un punto in comune.
In pratica una cosa del genere è impossibile e su questo non credo ci siano dubbi, ma in matematica la state facendo diventare possibile. Secondo me sbagliate perchè considerate solo le banconote che vengono tolte, è ovvio che ogni banconota che verrà messa prima o poi sarà tolta ma non bisogna fermarsi qui e dire che resterà senza soldi! Abbiamo una serie infinita che segue un'altra serie infinita più grande, correndo per un tempo infinito allora il distacco tra i due sarà sempre infinitamente più grande, quindi i soldi aumenteranno sempre all'infinito, come il matematico.
Provo a risolverlo in termini matematici con i limiti dove ''a'' è lo stipendo e ''b'' sono i soldi prelevati da ''a'' quando restano i 50 euro. Quindi a>b e a-b=50:
$ lim_(x -> oo ) [11(a-a) + (a-b)]x = lim_(x -> oo ) 50x = oo $
Questo è quello del matematico e ovviamente moltiplicando i 50 euro per infinite volte allora dopo Aleph Zero anni i soldi saranno infiniti...
Ora risolviamo quello del letterato:
$ lim_(x -> oo ) [12(a-b)]x = lim_(x -> oo ) 600x = oo $
Non può mai risultare zero perchè ''a'' è maggiore di ''b'', infatti si può scrivere anche in questo modo:
$ lim_(x -> oo ) ax-bx = lim_(x -> oo ) x(a-b) = lim_(x -> oo ) 50x = oo $
ma in ogni caso mi viene sempre infinito.
Se ad esempio due macchine partono allo stesso istante percorrendo la stessa strada ma una corre a 100 km/h e l'altra a 10 Km/h non penso che si incontreranno, ma anzi la distanza sarà infinitamente più grande. Però vi dico prima che le mie conoscenze sono ancora limitate, non so se due serie (di cui una più grande e una più piccola) se percorrono in infinito troveranno un punto in comune.
Bene ssebi, dato che sei cosi' convinto trova l'errore nella seguente dimostrazione. Se hai ragione, devi poterlo trovare.
supponi per assurdo che dopo infiniti anni il letterato possegga delle banconote, e considerane una, chiamala B. B deve essere stata posizionata in un qualche punto T della linea del tempo. Ma poiche' il letterato preleva mensilmente banconote da sotto la pila, dopo abbastanza tempo da T la banconota B sara' stata prelevata. Assurdo.
Diciamo che il letterato possiede una "quantità di denaro" infinita ma non possiede nessuna banconota. 
Chiaramente il problema sta nell'interpretare gli oggetti matematici e vedere se le definizioni corrispondono a ciò che ci piace/ci serve (in questo caso
direi di no ..
.). Un altro modo di vedere la cosa è che la quantità di denaro non è continua all'infinito e quindi hai voglia di fare i limiti ....
(di nuovo uno si dovrebbe chiedere se la nozione giusta di denaro posseduto al tempo aleph zero sia la quantità di banconote possedute al tempo infinito o il limite
di quelle possedute al tempo $n$ - o più radicalmente e se ci serve veramente la nozione di ricchezza al tempo infinito ....).
Tutti questi ragionamenti sono importanti (secondo me) per capire criticamente il significato e la portata delle definizioni che uno si dà.
Chiaramente il problema sta nell'interpretare gli oggetti matematici e vedere se le definizioni corrispondono a ciò che ci piace/ci serve (in questo caso
direi di no ..
.). Un altro modo di vedere la cosa è che la quantità di denaro non è continua all'infinito e quindi hai voglia di fare i limiti ....(di nuovo uno si dovrebbe chiedere se la nozione giusta di denaro posseduto al tempo aleph zero sia la quantità di banconote possedute al tempo infinito o il limite
di quelle possedute al tempo $n$ - o più radicalmente e se ci serve veramente la nozione di ricchezza al tempo infinito ....).
Tutti questi ragionamenti sono importanti (secondo me) per capire criticamente il significato e la portata delle definizioni che uno si dà.
sssebi devi però stare attento a dove porta il tuo ragionamento:
tu cosa hai dimostrato? che il limite dei soldi posseduti dal letterato per il tempo che tende ad infinito è infinito.
ma questo cosa vuol dire in termini matematici, cioè cos'è un limite?
vuol dire che fissata una qualsiasi soglia di denaro diciamo $x$, c'è un istante $T$ in cui succede che il letterato ha una quantità di soldi maggiore di $x$, e ne avrà sempre, in ogni istante finito più di $x$. è chiaro? cioè se fisso un istante $t$ che sia successivo a $T$, allora il letterato ha più di $x$ soldi.
e questo è vero.
ma questo ragionamento non ti dice quanti soldi avrà nell' istante improprio $t=infty$.
capito?
tu cosa hai dimostrato? che il limite dei soldi posseduti dal letterato per il tempo che tende ad infinito è infinito.
ma questo cosa vuol dire in termini matematici, cioè cos'è un limite?
vuol dire che fissata una qualsiasi soglia di denaro diciamo $x$, c'è un istante $T$ in cui succede che il letterato ha una quantità di soldi maggiore di $x$, e ne avrà sempre, in ogni istante finito più di $x$. è chiaro? cioè se fisso un istante $t$ che sia successivo a $T$, allora il letterato ha più di $x$ soldi.
e questo è vero.
ma questo ragionamento non ti dice quanti soldi avrà nell' istante improprio $t=infty$.
capito?
Molto d'accordo con ViciousGoblin.
Direi che c'è una divergenza tra due interpretazioni.
- poiché ogni banconota viene tolta prima o poi, certo non ci possono essere banconote "all'infinito"
- la quantità di denaro disponibile aumenta con l'andar del tempo
Ciò significa che il nostro letterato ha una disponibilità di spesa che aumenta con l'andare del tempo, anche se fatta di banconote "nuove". Detto molto francamente, mi piacerebbe essere nei suoi panni (non ho mai guardato con molto interesse al numero di serie delle banconote che avevo i tasca).
Mi sembra più "appropriato" considerare la "ricchezza all'infinito" come il limite della ricchezza al finito. Penso sia qui la ragione del disagio che provo anch'io nel descrivere un letterato come un fallito... all'infinito.
Mi domando però di cosa sia fatta la ricchezza del letterato "all'infinito", visto che nessuna banconota starà nella sua pila
Direi che c'è una divergenza tra due interpretazioni.
- poiché ogni banconota viene tolta prima o poi, certo non ci possono essere banconote "all'infinito"
- la quantità di denaro disponibile aumenta con l'andar del tempo
Ciò significa che il nostro letterato ha una disponibilità di spesa che aumenta con l'andare del tempo, anche se fatta di banconote "nuove". Detto molto francamente, mi piacerebbe essere nei suoi panni (non ho mai guardato con molto interesse al numero di serie delle banconote che avevo i tasca).
Mi sembra più "appropriato" considerare la "ricchezza all'infinito" come il limite della ricchezza al finito. Penso sia qui la ragione del disagio che provo anch'io nel descrivere un letterato come un fallito... all'infinito.
Mi domando però di cosa sia fatta la ricchezza del letterato "all'infinito", visto che nessuna banconota starà nella sua pila
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo