Il serbatoio.......ad imbuto
Come promesso, continuo a proporvi riflessioni sui serbatoi bucati.
Dopo la facile soluzione di quello a forma cilindrica, chiedo oggi
di considerare il caso di serbatoio a forma conica rovesciata (cioe’
simile ad un imbuto).
Stesso volume (V=10 m^3), stessa altezza (H=5 m), stesso foro
sul fondo (S=2 cm^2, in corrispondenza del ‘vertice’).
Stessa domanda: in quanti minuti si svuota, se all’inizio e’ pieno
fino alla sommita’?
Dopo la facile soluzione di quello a forma cilindrica, chiedo oggi
di considerare il caso di serbatoio a forma conica rovesciata (cioe’
simile ad un imbuto).
Stesso volume (V=10 m^3), stessa altezza (H=5 m), stesso foro
sul fondo (S=2 cm^2, in corrispondenza del ‘vertice’).
Stessa domanda: in quanti minuti si svuota, se all’inizio e’ pieno
fino alla sommita’?
Risposte
E’ passata ormai una settimana da quando ho posto questo problema,
e non ho ricevuto finora alcuna risposta.
Sono perplesso e formulo delle ipotesi sul perche’.
Prima ipotesi: il problema e’ troppo difficile
(non lo ritengo proprio possibile, visto il grado di preparazione che
dimostrate in generale)
Seconda ipotesi: il problema non interessa
(anche questa mi sembra poco probabile, perche’ vengono qui
trattati e discussi anche temi molto piu’ banali)
Terza ipotesi: non ne capite l’utilita’
(e questa mi sembra la piu’ plausibile).
Ed allora vorrei spiegare il motivo del mio discorso.
Credo abbiate capito che non sono interessato ai serbatoi di per se’,
ma ad un confronto di possibili soluzioni alternative di problemi
che comportano applicazioni di derivate ed integrali.
Ed il discorso si fa difficile perche’ la mia impressione e’ che siate
dei maghi nella matematica astratta, ma non altrettanto quando si
tratta di applicarla a problemi reali.
Mi auguro che tale impressione sia sbagliata perche’ se tendete ad
un futuro che non sia quello di insegnare a risolvere integrali (o quello
piu’ diffuso di vendere prodotti stranieri), dovete prendere atto che
la teoria matematica non basta (pur essendo di basilare importanza).
Il mio tentativo e’ dunque quello di indicare ‘pratiche’ di soluzione
che credo inusuali (se non sconosciute) agli studenti italiani.
Quindi chiedo a tutti: vi interessa?
e non ho ricevuto finora alcuna risposta.
Sono perplesso e formulo delle ipotesi sul perche’.
Prima ipotesi: il problema e’ troppo difficile
(non lo ritengo proprio possibile, visto il grado di preparazione che
dimostrate in generale)
Seconda ipotesi: il problema non interessa
(anche questa mi sembra poco probabile, perche’ vengono qui
trattati e discussi anche temi molto piu’ banali)
Terza ipotesi: non ne capite l’utilita’
(e questa mi sembra la piu’ plausibile).
Ed allora vorrei spiegare il motivo del mio discorso.
Credo abbiate capito che non sono interessato ai serbatoi di per se’,
ma ad un confronto di possibili soluzioni alternative di problemi
che comportano applicazioni di derivate ed integrali.
Ed il discorso si fa difficile perche’ la mia impressione e’ che siate
dei maghi nella matematica astratta, ma non altrettanto quando si
tratta di applicarla a problemi reali.
Mi auguro che tale impressione sia sbagliata perche’ se tendete ad
un futuro che non sia quello di insegnare a risolvere integrali (o quello
piu’ diffuso di vendere prodotti stranieri), dovete prendere atto che
la teoria matematica non basta (pur essendo di basilare importanza).
Il mio tentativo e’ dunque quello di indicare ‘pratiche’ di soluzione
che credo inusuali (se non sconosciute) agli studenti italiani.
Quindi chiedo a tutti: vi interessa?
Sempre piu’ perplesso dalla mancanza di risposte,
provo a dare un ‘aiutino’.
La velocita’ di uscita dal foro di fondo e’ data
dalla formula di Torricelli v=sqr(2gh), dove h
e’ l’altezza del livello rispetto al fondo (la
velocita' e' quella che raggiungerebba una goccia d'acqua
cadendo da un'altezza h.)
Quindi la portata e’ v*S (con S=sezione del foro) ed
il volume che esce nel tempo infinitesimo dt e’ v*S*dt.
Ma nello stesso tempo questo volume fa diminuire
l’altezza del livello di dh, volume che e’ quindi anche
uguale a A*dh (dove A e’ l’area della superfice).
In definitiva possiamo scrivere A*dh=sqr(2gh)*S*dt
Questo e’ quello che abbiamo usato per il serbatoio
cilindrico (vedi topic “Il serbatoio bucato”), in cui A
e’ evidentemente costante.
La differenza con il problema attuale e’ tutta qui:
nel serbatoio a forma d’imbuto, A varia da un valore
iniziale A0 (per h=H) fino a 0 (per h=0).
Ma come varia?
Osservando che il suo raggio e’ proporzionale ad h,
possiamo dire che A varia con il quadrato del rapporto h/H.
Il valore iniziale A0 e’ ricavabile dal volume del serbatoio.
Infatti e’ V=A0*H/3 da cui A0=3V/H
Cioe’ 3 volte l’area A del serbatoio cilindrico di pari capacita’
(10 m^3) ed altezza (H=5 m).
Non rimane quindi che scrivere la formula definitiva
A0*(h/H)^2*dh=sqr(2gh)*S*dt.
Lascio a voi ora il calcolo del tempo T di svuotamento
per h che varia da H a 0, come richiesto dal problema.
provo a dare un ‘aiutino’.
La velocita’ di uscita dal foro di fondo e’ data
dalla formula di Torricelli v=sqr(2gh), dove h
e’ l’altezza del livello rispetto al fondo (la
velocita' e' quella che raggiungerebba una goccia d'acqua
cadendo da un'altezza h.)
Quindi la portata e’ v*S (con S=sezione del foro) ed
il volume che esce nel tempo infinitesimo dt e’ v*S*dt.
Ma nello stesso tempo questo volume fa diminuire
l’altezza del livello di dh, volume che e’ quindi anche
uguale a A*dh (dove A e’ l’area della superfice).
In definitiva possiamo scrivere A*dh=sqr(2gh)*S*dt
Questo e’ quello che abbiamo usato per il serbatoio
cilindrico (vedi topic “Il serbatoio bucato”), in cui A
e’ evidentemente costante.
La differenza con il problema attuale e’ tutta qui:
nel serbatoio a forma d’imbuto, A varia da un valore
iniziale A0 (per h=H) fino a 0 (per h=0).
Ma come varia?
Osservando che il suo raggio e’ proporzionale ad h,
possiamo dire che A varia con il quadrato del rapporto h/H.
Il valore iniziale A0 e’ ricavabile dal volume del serbatoio.
Infatti e’ V=A0*H/3 da cui A0=3V/H
Cioe’ 3 volte l’area A del serbatoio cilindrico di pari capacita’
(10 m^3) ed altezza (H=5 m).
Non rimane quindi che scrivere la formula definitiva
A0*(h/H)^2*dh=sqr(2gh)*S*dt.
Lascio a voi ora il calcolo del tempo T di svuotamento
per h che varia da H a 0, come richiesto dal problema.
Io credo che il problema non si possa risolvere utilizzando la legge di Torricelli. In questo caso infatti la sezione del foro non è sempre trascurabile rispetto alla sezione libera del recipiente soprattutto quando l'altezza del liquido è piccola. La velocità di efflusso, in questo caso, è:
v = A*sqrt[2gh/(A^2 - S^2)].
v = A*sqrt[2gh/(A^2 - S^2)].
2 cm^2 non sono trascurabili rispetto a 6 m^2 ?
E' vero che verso il fondo si restringe sempre piu',
ma qui l'errore sul tempo di svuotamneto e' trascurabile.
Cmq volendo se ne puo' tener conto.
Aggiungo che la 'precisione' richiesta sulla determinazione
del tempo e' del minuto, quindi non credo valga la pena di
preoccuparsi di eventuali effetti di vortice.
Piuttosto constato che nessuno sembra interessato ad una
applicazione 'reale' del calcolo integrale (il vero oggetto
di questa topic)
E' vero che verso il fondo si restringe sempre piu',
ma qui l'errore sul tempo di svuotamneto e' trascurabile.
Cmq volendo se ne puo' tener conto.
Aggiungo che la 'precisione' richiesta sulla determinazione
del tempo e' del minuto, quindi non credo valga la pena di
preoccuparsi di eventuali effetti di vortice.
Piuttosto constato che nessuno sembra interessato ad una
applicazione 'reale' del calcolo integrale (il vero oggetto
di questa topic)
Io sarei interessato. Proponi qualche problema di Fisica e magari provo a dare un'occhiata...
Beh, ora dovrebbe essere facile risolvere il problema, basta portare tutto ciò che dipende da h a sinstra e tutto quello che dipende da t a destra e integrare a sinstra da 0 a H e a destra da 0 a T.
Se i calcoli sono giusti, il serbatoio dovrebbe svuotarsi in un'ora.
Ciao
Se i calcoli sono giusti, il serbatoio dovrebbe svuotarsi in un'ora.
Ciao
(Risposta a Stefania)
Puoi almeno dare l'espressione
che ottieni dall'integrazione?
Va be' l'approssimazione, ma ho
chiesto quanti minuti impiega
a svuotarsi.
Puoi almeno dare l'espressione
che ottieni dall'integrazione?
Va be' l'approssimazione, ma ho
chiesto quanti minuti impiega
a svuotarsi.
Il tempo di svuotamento diventa:
t = A/(5s)*sqrt(2h/g) = 101 minuti.
t = A/(5s)*sqrt(2h/g) = 101 minuti.
Con un'ora intendevo proprio 60 minuti...
Partendo dalla formula fornita da te sopra:
A0*(h/H)^2*dh=sqr(2gh)*S*dt
si ha:
(A0*(h/H)^2)/(sqrt(2gh)*S)dh=dt
(A0/(H^2*sqrt(2g)*S))*h^(3/2)*dh=dt
integrando a dx da 0 a H e a sx da 0 a T si ottiene:
(A0/(H^2*sqrt(2g)*S))*(2/5)*H^(2/5)=T
da qui
T=1,2116*10^4 sec
ovvero 60 minuti
Partendo dalla formula fornita da te sopra:
A0*(h/H)^2*dh=sqr(2gh)*S*dt
si ha:
(A0*(h/H)^2)/(sqrt(2gh)*S)dh=dt
(A0/(H^2*sqrt(2g)*S))*h^(3/2)*dh=dt
integrando a dx da 0 a H e a sx da 0 a T si ottiene:
(A0/(H^2*sqrt(2g)*S))*(2/5)*H^(2/5)=T
da qui
T=1,2116*10^4 sec
ovvero 60 minuti
Ok, oggi non faccio un conto che sia giusto...
La formula l'ho integrata correttamente ma poi mi sono incasinata nel risolverla numericamente con il calcolatore...
T=6057,8 sec
ovvero quasi 101 minuti
Settimana prossima ho gli esami, spero di riprendermi, altrimenti non ne passo nemmeno uno!!!
Proponio pure altri quesiti, cercherò di risolverli con più attenzione ai calcoli.
La formula l'ho integrata correttamente ma poi mi sono incasinata nel risolverla numericamente con il calcolatore...
T=6057,8 sec
ovvero quasi 101 minuti
Settimana prossima ho gli esami, spero di riprendermi, altrimenti non ne passo nemmeno uno!!!
Proponio pure altri quesiti, cercherò di risolverli con più attenzione ai calcoli.
Ecco la mia soluzione (uso MathCad perche’ con gli integrali
sono un po’ arrugginito)
Quelli che vogliono provare il metodo delle differenze finite,
dovrebbero invece procedere cosi’:
(in tal modo si potrebbe tracciare immediatamente l’andamento
di h(t) )
Ma cosa cambia se il serbatoio fosse sempre della stessa
forma, ma capovolto (cioe’ a cono classico), con il foro
al centro della base?
sono un po’ arrugginito)
Quelli che vogliono provare il metodo delle differenze finite,
dovrebbero invece procedere cosi’:
(in tal modo si potrebbe tracciare immediatamente l’andamento
di h(t) )
Ma cosa cambia se il serbatoio fosse sempre della stessa
forma, ma capovolto (cioe’ a cono classico), con il foro
al centro della base?
Nel caso di cono "capovolto" il tempo di svuoltamento è:
t = (8A)/(15s)*sqrt(2h/g) = 269 minuti.
E se il contenitore fosse una sfera della stessa capacità (10 m^3)?
PS. Mi ero dimenticato un pezzo di integrale!
t = (8A)/(15s)*sqrt(2h/g) = 269 minuti.
E se il contenitore fosse una sfera della stessa capacità (10 m^3)?
PS. Mi ero dimenticato un pezzo di integrale!
(risposta a MaMo)
Mi spieghi come hai ricavato la formula del tempo?
E anche perche' t dovrebbe essere il doppio del caso cilindrico?
Aspetto ancora un paio di giorni prima di dare la soluzione.
La proposta del contenitore sferico e' interessante
(volevo proporne una simile con serbatoio semisferico).
Mi spieghi come hai ricavato la formula del tempo?
E anche perche' t dovrebbe essere il doppio del caso cilindrico?
Aspetto ancora un paio di giorni prima di dare la soluzione.
La proposta del contenitore sferico e' interessante
(volevo proporne una simile con serbatoio semisferico).
In mancaza di altre risposte do' la soluzione
del serbatoio a cono, limitandomi al
procedimento alle differenze finite.
A conclusione di questo deludente tentativo di
introdurre metodi di calcolo con l'impiego del
calcolatore (che dovrebbe essere il vostro futuro,
ragazzi, ma vedo che non v'interessa!)
riporto un grafico comparativo dei 3 casi esaminati
Pensavo di proseguire con altri esempi sempre piu'
complicati (dove il metodo puramente matematico
diventa cosi' arduo da non arrivare alla soluzione,
mentre quello 'approssimato' ci arriva sempre)
ma vedo che e' tempo sprecato.
del serbatoio a cono, limitandomi al
procedimento alle differenze finite.
A conclusione di questo deludente tentativo di
introdurre metodi di calcolo con l'impiego del
calcolatore (che dovrebbe essere il vostro futuro,
ragazzi, ma vedo che non v'interessa!)
riporto un grafico comparativo dei 3 casi esaminati
Pensavo di proseguire con altri esempi sempre piu'
complicati (dove il metodo puramente matematico
diventa cosi' arduo da non arrivare alla soluzione,
mentre quello 'approssimato' ci arriva sempre)
ma vedo che e' tempo sprecato.
a me sti problemi mi interessano. potresti postarne altri. per esempio, si potrebbero considerare casi limite. se infatti il foro fosse di 2 millimetri quadrati? ovviamente entrano in gioco anche le piccole forze che legano le molecole del liquido per un foro così piccolo. e se invece il foro fosse il 98% della sezione dove viene praticato, ovvero se il foro fosse grande quasi quanto il dimaetro del contenitore in cui viene praticato, si potrebbe assumenre una velocità di uscita del liquido questa volta costante?
(risposta a mica81)
Vedi, io non volevo farne problemi di idraulica.
Lo scopo principale (dichiarato) era di dimostrare
che i procedimenti matematici 'classici' entrano
in crisi di applicabilita' quando le forme del serbatoio
diventano piu' complesse ( ad es. pensa ad un'autobotte
a sezione ellittica, con estremita' elissoidali).
Quindi avrei voluto dimostrare che invece con un
approccio 'numerico' e' relativamente facile arrivare
comunque ad una soluzione utile.
Quello che mi stupisce e' che questi argomenti 'pratici'
siano snobbati da futuri ingegneri.
(capisco che per l'esame di analisi questo non serve, ma
se avrete la ventura di diventare progettisti, e non venditori,
vi sara' piu' utile della teoria pura).
Da parte mia sono disponibile, ma sta a voi partecipare.
Vedi, io non volevo farne problemi di idraulica.
Lo scopo principale (dichiarato) era di dimostrare
che i procedimenti matematici 'classici' entrano
in crisi di applicabilita' quando le forme del serbatoio
diventano piu' complesse ( ad es. pensa ad un'autobotte
a sezione ellittica, con estremita' elissoidali).
Quindi avrei voluto dimostrare che invece con un
approccio 'numerico' e' relativamente facile arrivare
comunque ad una soluzione utile.
Quello che mi stupisce e' che questi argomenti 'pratici'
siano snobbati da futuri ingegneri.
(capisco che per l'esame di analisi questo non serve, ma
se avrete la ventura di diventare progettisti, e non venditori,
vi sara' piu' utile della teoria pura).
Da parte mia sono disponibile, ma sta a voi partecipare.
Il fatto è che l'analisi numerica e l'aspetto algoritmico-computazionale della matematica spesso non sono sviluppati in modo sufficiente nemmeno a livello universitario...
(risposta a asdf)
E' proprio questo che mi ha spinto a trattare tali argomenti,
proponendo esempi sempre piu' 'difficili', ma se nessuno
li segue non so se ne vale la pena.
E' proprio questo che mi ha spinto a trattare tali argomenti,
proponendo esempi sempre piu' 'difficili', ma se nessuno
li segue non so se ne vale la pena.
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