Il recinto
Propongo un altro problema geometrico di ottimizzazione.
Tre fratelli hanno ricevuto in eredità un terreno di forma quadrata di lato 100 m.
Essi devono dividerlo in tre parti di uguale area mediante un recinto.
Deteminare la lunghezza minima del recinto.
Nota: Il recinto può avere una forma qualunque, cioè può essere formato da segmenti, linee curve ecc....
Tre fratelli hanno ricevuto in eredità un terreno di forma quadrata di lato 100 m.
Essi devono dividerlo in tre parti di uguale area mediante un recinto.
Deteminare la lunghezza minima del recinto.
Nota: Il recinto può avere una forma qualunque, cioè può essere formato da segmenti, linee curve ecc....
Risposte
Mi togli una curiosità MaMo, ma ti stai facendo una casa nuova e non sai come annaffiare il giardino e come dividere l’orto dove seminare carote, patate e insalata?
Ho provato a risolvere questo problema, ma ci sono riuscito solo con la forza bruta di Excel (non mi smentisco mai).
Ho messo anche una figura (approssimata) per spiegarmi meglio. Le coordinate dei punti sono (origine degli assi in basso a sinistra)
1 (26.5 ; 100)
2 (32.1 ; 0)
3 (100 ; 584)
4 (501 ; 553)
lunghezza del recinto 158.69 metri.
Ma a una soluzione analitica non sono ancora arrivato
WonderP.
Ho provato a risolvere questo problema, ma ci sono riuscito solo con la forza bruta di Excel (non mi smentisco mai).
Ho messo anche una figura (approssimata) per spiegarmi meglio. Le coordinate dei punti sono (origine degli assi in basso a sinistra)
1 (26.5 ; 100)
2 (32.1 ; 0)
3 (100 ; 584)
4 (501 ; 553)
lunghezza del recinto 158.69 metri.
Ma a una soluzione analitica non sono ancora arrivato
WonderP.
Per WonderP.
Sei sicuro che le aree dei tre poligoni siano uguali
A me l'area del tuo pentagono viene circa 3985 m^2 mentre l'area del quadrilatero superiore risulta circa 2680 m^2.
Sei sicuro che le aree dei tre poligoni siano uguali
A me l'area del tuo pentagono viene circa 3985 m^2 mentre l'area del quadrilatero superiore risulta circa 2680 m^2.
Hai ragione avevo messo troppe carote e poche patate sbagliando a calcolare le aree (ma tu dimmi se alla mia età devo ancora sbagliare il calcolo dell’area di un trapezio!). Ho rifatto i calcoli e al soluzione mi risulta simmetrica. I punti 3 e 4 si trovano sulla mezzaria. Prendo solo la metà superiore del quadrato, deve risultare che l’area del trapezio a sinistra (delimitato da 1 e 4) deve essere la metà di quella del trapezio a destra
2[(x1+x4)*50/2] = (100-x1+100-x4)*50/2
risolvendo risulta
3*x1 + 3*x4 = 200
Devo imporre che il recinto sia il più corto possibile, cioè al distanza tra 1 e 4 (presa due volte) più la distanza tra 4 e 3 sia minima
2*radq[(x4+x1)^2+50^2] + (100-x4) = min
da tali conti ho travato
1 (26.9 ; 100)
2 (26.9 ; 0)
3 (100 ; 50)
4 (39.8 ; 50)
Per una lunghezza di recinto totale di 163.5
WonderP.
2[(x1+x4)*50/2] = (100-x1+100-x4)*50/2
risolvendo risulta
3*x1 + 3*x4 = 200
Devo imporre che il recinto sia il più corto possibile, cioè al distanza tra 1 e 4 (presa due volte) più la distanza tra 4 e 3 sia minima
2*radq[(x4+x1)^2+50^2] + (100-x4) = min
da tali conti ho travato
1 (26.9 ; 100)
2 (26.9 ; 0)
3 (100 ; 50)
4 (39.8 ; 50)
Per una lunghezza di recinto totale di 163.5
WonderP.
WonderP, la tua soluzione è corretta ma non è la migliore.
Questa volta mi hai proprio messo in scacco. Non ne vengo fuori. Ho provato a mettere i tre punti appartenenti al perimetro su tre lati diversi, che è la mia soluzione proposta, ma non minimizza. Ho provato a metterne due su un lato, ma acqua anche lì. Ho perfino provato a dividere il campo in 4 parti, 2 grandi e 2 che fossero la metà delle prime, ma nulla di buono. Non c’è nessun altro che voglia provare? Tony, dopo che mi hai incitato a tuffarmi (problema della canoa) e quasi affogavo, mi dai una mano ad arare questo campo?
WonderP.
WonderP.
WonderP, la soluzione da te trovata è la minima se si utilizzano tre segmenti.
Indizio: partendo dalla stessa configurazione prova ad utilizzare cinque segmenti e controlla, con il risolutore excel, il valore minimo della funzione ottenuta.....
Indizio: partendo dalla stessa configurazione prova ad utilizzare cinque segmenti e controlla, con il risolutore excel, il valore minimo della funzione ottenuta.....
ciao a tutti.
propongo una soluz. da 162,33049 m, basata su 2 rami di catenaria, affiancati a cuspide centrale.
y=h*cosh(x/h) + C
con h=94.62059 e C = -65.7527
per il primo ramo (destro) che sta a sinistra nel quadrato:
- pongo l'origine nell'angolo sud-ovest del quadrato
- la curva inizia tagliando il bordo del quadrato a x=0, y=28.86789
- interseca la mezzeria vertic. del quadrato a x=50, y=42.38883
per il primo ramo (sinistro) che sta a destra nel quadrato:
- pongo l'origine nell'angolo sud-est del quadrato
- procedo simmetricamente al primo ramo.
** ERRATA CORRIGE **
la frase:
"per il primo ramo (sinistro) che sta a destra nel quadrato:"
va modificata in:
"per il secondo ramo (sinistro) che sta a destra nel quadrato:"
** FINE ERRATA CORRIGE **
tony
*Edited by - tony on 06/12/2003 23:28:01
propongo una soluz. da 162,33049 m, basata su 2 rami di catenaria, affiancati a cuspide centrale.
y=h*cosh(x/h) + C
con h=94.62059 e C = -65.7527
per il primo ramo (destro) che sta a sinistra nel quadrato:
- pongo l'origine nell'angolo sud-ovest del quadrato
- la curva inizia tagliando il bordo del quadrato a x=0, y=28.86789
- interseca la mezzeria vertic. del quadrato a x=50, y=42.38883
per il primo ramo (sinistro) che sta a destra nel quadrato:
- pongo l'origine nell'angolo sud-est del quadrato
- procedo simmetricamente al primo ramo.
** ERRATA CORRIGE **
la frase:
"per il primo ramo (sinistro) che sta a destra nel quadrato:"
va modificata in:
"per il secondo ramo (sinistro) che sta a destra nel quadrato:"
** FINE ERRATA CORRIGE **
tony
*Edited by - tony on 06/12/2003 23:28:01
Bravo Tony!
La soluzione, però, può essere migliorata ancora di alcuni millimetri!
La soluzione, però, può essere migliorata ancora di alcuni millimetri!
Effettivamente, per 100 punti, io avevo trovato L=162,32793471, con intersez. laterale a 28,99385 e cuspide centrale a 42,39216.
Però non quadravano con la catenaria, e allora ho pensato che fossero male approssimati, e che la catenaria DOVESSE essere la soluzione
(lo stesso errore mi è capitato col gioco dell'auditorium; repetita non juvant!).
Il guaio è che non riesco a capire che curva sia: ha il vertice (quello curvo, non la cuspide) più piatto della catenaria, ma più acuto di un polinomio di secondo grado (il quale, comunque non ottimizzerebbe); coi gradi superiori sono andato in pallone.
E non ho provato le sinusoidi con Fourier.
Continuo a scavare.
Tony
Però non quadravano con la catenaria, e allora ho pensato che fossero male approssimati, e che la catenaria DOVESSE essere la soluzione
(lo stesso errore mi è capitato col gioco dell'auditorium; repetita non juvant!).
Il guaio è che non riesco a capire che curva sia: ha il vertice (quello curvo, non la cuspide) più piatto della catenaria, ma più acuto di un polinomio di secondo grado (il quale, comunque non ottimizzerebbe); coi gradi superiori sono andato in pallone.
E non ho provato le sinusoidi con Fourier.
Continuo a scavare.
Tony
Tony, la tua approssimazione per 100 punti è quasi perfetta.
La curva che stai cercando non è una catenaria e neanche una sinusoide.
Essa è una curva molto più semplice....
La curva che stai cercando non è una catenaria e neanche una sinusoide.
Essa è una curva molto più semplice....
MaMo,
dicevo che un polinomio di secondo grado non quadrerebbe coi risultati che abbiamo dichiarato nel topic;
per es. la parabola y=29+1/6 + (1/200)* x^2 pare allettantissima, specialmente per quel 200 che è il doppio del lato del quadrato,
(param. = 100, lungh. foc. = 50)
PERO' la lunghezza di quel recinto sarebbe (con calcolo esatto, senza integrazioni numeriche) 162,3562...;
essa è peggiore di quella (162,33049...) della catenaria, che tu hai detto non esser la minima;
è anche peggiore della mia dei "100 punti" (162,327934...) che forse soffre (o piuttosto gode?) delle approssimaz. delle integraz. numeriche.
dove mi sono impastato? non so che pesci pigliare.
ci vorrebbe WonderP col suo "solver" di excel, che io so usare poco e male.
tony
*Edited by - tony on 10/12/2003 00:20:54
dicevo che un polinomio di secondo grado non quadrerebbe coi risultati che abbiamo dichiarato nel topic;
per es. la parabola y=29+1/6 + (1/200)* x^2 pare allettantissima, specialmente per quel 200 che è il doppio del lato del quadrato,
(param. = 100, lungh. foc. = 50)
PERO' la lunghezza di quel recinto sarebbe (con calcolo esatto, senza integrazioni numeriche) 162,3562...;
essa è peggiore di quella (162,33049...) della catenaria, che tu hai detto non esser la minima;
è anche peggiore della mia dei "100 punti" (162,327934...) che forse soffre (o piuttosto gode?) delle approssimaz. delle integraz. numeriche.
dove mi sono impastato? non so che pesci pigliare.
ci vorrebbe WonderP col suo "solver" di excel, che io so usare poco e male.
tony
*Edited by - tony on 10/12/2003 00:20:54
La figura di perimetro minore a parita' di area e'
il cerchio.
Partendo da questo concetto, se i conti che ho fatto
non sono sbagliati, ho trovato la soluzione seguente
(con le convenzioni di Toni):
y(x) = y0 - sqrt( R^2 - (x-x0)^2 )
con
x0 = -0.044
y0 = 129.119
R = 100.13
Lunghezza = 162.327817
Intersezioni: x=0, y=28.989
x=50, y=42.391
il cerchio.
Partendo da questo concetto, se i conti che ho fatto
non sono sbagliati, ho trovato la soluzione seguente
(con le convenzioni di Toni):
y(x) = y0 - sqrt( R^2 - (x-x0)^2 )
con
x0 = -0.044
y0 = 129.119
R = 100.13
Lunghezza = 162.327817
Intersezioni: x=0, y=28.989
x=50, y=42.391
Bravo Shuty, io stavo impazzendo con il risolutore e mi stava balzando in mente che potesse essere una circonferenza, ma per errori di conti lo avevo scartato. Ora vedendo la tua soluzione sono andato a ricontrollare i conti e ho trovato l’errore.
Complimenti! Io propongo una soluzione più drastica: sopprimere uno dei fratelli
Complimenti! Io propongo una soluzione più drastica: sopprimere uno dei fratelli
OK! le due parti curve corrispondono a due archi di circonferenza.
I valori delle coordinate del centro e del raggio trovate da Shuty, però, non sono le migliori!
Infatti la soluzione può essere migliorata ancora di alcuni micron!!!
Essa inoltre può essere espressa in forma precisa.
I valori delle coordinate del centro e del raggio trovate da Shuty, però, non sono le migliori!
Infatti la soluzione può essere migliorata ancora di alcuni micron!!!
Essa inoltre può essere espressa in forma precisa.
Due cerchi di raggio 100 (come il param. della parabola che avevo ipotizzato, e mi piace, perchè è il lato del quadrato) e di centro a 128.994481082385... ( e a questo 28.9944... non capisco come ci si arrivi) fanno un recinto di 162.327814415718...
Sarà il minimo?
Interessante notare la vicinanza delle soluz. con tre curve diverse, cerchio, parabola e catenaria, sebbene l'angolo che sottendono non sia poi coì piccolo.
L'imprecisione di certi programmi di calcolo può dar fastidio.
tony
** ERRATA CORRIGE **
aggiunta:
è banale, ma osservo che l'angolo al centro è di 30 gradi.
** FINE ERRATA CORRIGE **
*Edited by - tony on 11/12/2003 15:51:33
Sarà il minimo?
Interessante notare la vicinanza delle soluz. con tre curve diverse, cerchio, parabola e catenaria, sebbene l'angolo che sottendono non sia poi coì piccolo.
L'imprecisione di certi programmi di calcolo può dar fastidio.
tony
** ERRATA CORRIGE **
aggiunta:
è banale, ma osservo che l'angolo al centro è di 30 gradi.
** FINE ERRATA CORRIGE **
*Edited by - tony on 11/12/2003 15:51:33
Raddoppio (a meno di errori numerici):
x0 = -0.034
y0 = 129.023
R =100.036
L=162.3278004
Shuty
x0 = -0.034
y0 = 129.023
R =100.036
L=162.3278004
Shuty
La mia soluzione coincide con quella di Tony.
Si hanno due archi di ampiezza 30° e raggio 100 metri.
La lunghezza minima del recinto diventa:
25(2*pi + 8 + 3*sqrt(3))/3 = 162,3278144... m
Il centro della prima circonferenza ha perciò coordinate
C (0 ; 25(2*pi + 4 + 3*sqrt(3))/3) = (0 ; 128,9944810..)
Il punto di intersezione dei due archi ha coordinate:
A (50 ; 25(2*pi + 4 - 3*sqrt(3))/3) = (50 ; 42,39194070..)
Questo risultato si basa su considerazioni fisico-matematiche.
Chi fosse interessato può leggere una interessante discussione su di un problema analogo (divisione del quadrato in 4 parti di uguale area) al seguente indirizzo:
http://web.tiscali.it/no-redirect-tisca ... /f006x.htm
Per quanto riguarda l'ultima soluzione di Shuty posso solo supporre che i calcoli siano sbagliati.
Si hanno due archi di ampiezza 30° e raggio 100 metri.
La lunghezza minima del recinto diventa:
25(2*pi + 8 + 3*sqrt(3))/3 = 162,3278144... m
Il centro della prima circonferenza ha perciò coordinate
C (0 ; 25(2*pi + 4 + 3*sqrt(3))/3) = (0 ; 128,9944810..)
Il punto di intersezione dei due archi ha coordinate:
A (50 ; 25(2*pi + 4 - 3*sqrt(3))/3) = (50 ; 42,39194070..)
Questo risultato si basa su considerazioni fisico-matematiche.
Chi fosse interessato può leggere una interessante discussione su di un problema analogo (divisione del quadrato in 4 parti di uguale area) al seguente indirizzo:
http://web.tiscali.it/no-redirect-tisca ... /f006x.htm
Per quanto riguarda l'ultima soluzione di Shuty posso solo supporre che i calcoli siano sbagliati.
Aggiungo, in ritardo, l' osservazione che avevo fatto prima di andarmene a cena:
dicevo di non sapere da dove venisse il 28,9984...
ebbene, è dannatamente vicino a sqr(3)/6, che si sposerebbe felicemente con l'angolo di 30 gradi.
PERO', rifacendo i conti con r=100 e d=sqr(3)/6 (cioè centro a 128,9984...), non mi trovo con l'ottimizzazione.
Devono essera ancora i problemi di precisione cui accennavo più sopra.
i miei strumenti non sono poi così docili.
Che dice il "solver" di excel? (tra l'altro, con quante cifre di precisione lavora?, le solite dei "double" da 64 bit?)
tony
dicevo di non sapere da dove venisse il 28,9984...
ebbene, è dannatamente vicino a sqr(3)/6, che si sposerebbe felicemente con l'angolo di 30 gradi.
PERO', rifacendo i conti con r=100 e d=sqr(3)/6 (cioè centro a 128,9984...), non mi trovo con l'ottimizzazione.
Devono essera ancora i problemi di precisione cui accennavo più sopra.
i miei strumenti non sono poi così docili.
Che dice il "solver" di excel? (tra l'altro, con quante cifre di precisione lavora?, le solite dei "double" da 64 bit?)
tony
Il risolutore lavora con 15 cifre significative, ma se impongo r=100 non uso più il risolutore, ho un equazione ed una incognita. Non ho ancora verificato la soluzione di Shuty.
Come volevi applicare il risolutore?
WonderP.
Come volevi applicare il risolutore?
WonderP.
E’ più di un oretta che “smanetto” con il risolutore ed ho visto che lasciando liberi il raggio e l’ascissa (impongo x = 0) del centro ritrovo i vostri risultati, anche se il risolutore si incasina un po’ oltre la decima cifra significativa. Trovo infatti anche soluzioni migliori, ma non penso siano corrette (come ho detto l’area non mi risulta ESATTAMENTE).
Non riesco però a verificare con il risolutore la risposta di Shuty, in quanto se libero anche la x mi trovo con un incognita di troppo e non riesco a scrivere le formule adeguatamente.
WonderP.
Non riesco però a verificare con il risolutore la risposta di Shuty, in quanto se libero anche la x mi trovo con un incognita di troppo e non riesco a scrivere le formule adeguatamente.
WonderP.
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