Il recinto
Propongo un altro problema geometrico di ottimizzazione.
Tre fratelli hanno ricevuto in eredità un terreno di forma quadrata di lato 100 m.
Essi devono dividerlo in tre parti di uguale area mediante un recinto.
Deteminare la lunghezza minima del recinto.
Nota: Il recinto può avere una forma qualunque, cioè può essere formato da segmenti, linee curve ecc....
Tre fratelli hanno ricevuto in eredità un terreno di forma quadrata di lato 100 m.
Essi devono dividerlo in tre parti di uguale area mediante un recinto.
Deteminare la lunghezza minima del recinto.
Nota: Il recinto può avere una forma qualunque, cioè può essere formato da segmenti, linee curve ecc....
Risposte
Ho verificato la soluzione di Shuty con Derive e ho ottenuto i seguenti valori:
La divisione delle aree è abbastanza precisa, infatti l'area del pentagono mistilineo è 3333,326698... m^2.
La lunghezza complessiva del recinto è maggiore sia di quella indicata erroneamente da Shuty che di quella trovata da Tony.
Essa diventa 162,3278843... m.
Per quanto riguarda il discorso di WonderP, imponendo che il centro della circonferenza sia sull'asse delle ordinate (Xc = 0) e ponendo il lato del quadrato uguale ad 1, si trova analiticamente la seguente funzione:
F(r) = 2/3 + sqrt(4r^2 - 1)/4 + r*(2 - r)*arcsin(1/(2r))
Derivandola si trova come unica soluzione r = 1 alla quale corrisponde il minimo da noi trovato.
La divisione delle aree è abbastanza precisa, infatti l'area del pentagono mistilineo è 3333,326698... m^2.
La lunghezza complessiva del recinto è maggiore sia di quella indicata erroneamente da Shuty che di quella trovata da Tony.
Essa diventa 162,3278843... m.
Per quanto riguarda il discorso di WonderP, imponendo che il centro della circonferenza sia sull'asse delle ordinate (Xc = 0) e ponendo il lato del quadrato uguale ad 1, si trova analiticamente la seguente funzione:
F(r) = 2/3 + sqrt(4r^2 - 1)/4 + r*(2 - r)*arcsin(1/(2r))
Derivandola si trova come unica soluzione r = 1 alla quale corrisponde il minimo da noi trovato.
Confermo che la mia ultima soluzione non e' numericamente corretta,
probabilmente il solutore che ho usato commette degli errori.
Aggiungo comunque quanto segue.
Imponendo che l'area sottesa dall'arco di circonferenza valga L^2/6, si ottiene l'equazione:
y0 = L/3 + R^2/L * [ asin((L/2-x0)/R) + asin(x0/R) ] + L/2 * sqrt[ R^2 - (L/2-x0)^2 ]
da cui
Lung = R * (2-R/L) * [ asin((L/2-x0)/R) + asin(x0/R) ] + 2/3*L +
+1/2 * sqrt[ R^2 - (L/2-x0)^2 ]
Come di dimostra che la lunghezza sopra riportata si minimizza con x0=0 e R=L ?
probabilmente il solutore che ho usato commette degli errori.
Aggiungo comunque quanto segue.
Imponendo che l'area sottesa dall'arco di circonferenza valga L^2/6, si ottiene l'equazione:
y0 = L/3 + R^2/L * [ asin((L/2-x0)/R) + asin(x0/R) ] + L/2 * sqrt[ R^2 - (L/2-x0)^2 ]
da cui
Lung = R * (2-R/L) * [ asin((L/2-x0)/R) + asin(x0/R) ] + 2/3*L +
+1/2 * sqrt[ R^2 - (L/2-x0)^2 ]
Come di dimostra che la lunghezza sopra riportata si minimizza con x0=0 e R=L ?
Shuty, ho controllato la tua funzione e a me viene diversa.
Io ottengo, ponendo il lato del quadrato uguale ad 1, la seguente funzione nelle due variabili R e x0:
2/3 + R(2 - R)[arcsin(x0/R) + arcsin((1/2 - x0)/R)] + (1 + 2x0)*sqrt(4R^2 - (1 - 2x0)^2)/4 - x0*sqrt(R^2 - x0^2)
Con Derive ho poi trovato le due derivate parziali ed ho verificato che si annullano entrambe per R = 1 ed x0 = 0.
Ho inoltre controllato sul grafico in 3D ed esso conferma un minimo per i valori da noi trovati.
Io ottengo, ponendo il lato del quadrato uguale ad 1, la seguente funzione nelle due variabili R e x0:
2/3 + R(2 - R)[arcsin(x0/R) + arcsin((1/2 - x0)/R)] + (1 + 2x0)*sqrt(4R^2 - (1 - 2x0)^2)/4 - x0*sqrt(R^2 - x0^2)
Con Derive ho poi trovato le due derivate parziali ed ho verificato che si annullano entrambe per R = 1 ed x0 = 0.
Ho inoltre controllato sul grafico in 3D ed esso conferma un minimo per i valori da noi trovati.
Ho crecato il minimo della funzione di Shuty e risulta corretto, però non ho la possibilità di trovare le derivate parziali (non ho derive) a te cosa risultano MaMo?
Dal grafico 3D della funzione di Shuty risulta un minimo in x = 0 e R = L.
Dal grafico 3D della funzione di Shuty risulta un minimo in x = 0 e R = L.
WonderP, ho fatto le derivate parziali della funzione di Shuty e quella rispetto a x0 non si annulla per R = 1 e x0 = 0.
Anche sul grafico in 3D non vi è traccia di minimo in quella posizione.
Ho controllato ponendo valori numerici.
Ad esempio se R = 1 e x0 = 0 si ottiene il valore corretto della lunghezza.
Se pongo R = 2 e x0 = 0 si ottiene 2/3 + sqrt(15)/4 = 1,6349125...
Ponendo invece R = 2 e x0 = -1/2 si ottiene un valore inferiore a quello da noi trovato cioè 2/3 + sqrt(3)/2 = 1,5326921...
Da questo deduco che la funzione trovata da Shuty non è corretta in quanto essa, oltre a non avere un minimo in R = 1 e x0 = 0, presenta un minimo che è di molto inferiore ai valori da noi trovati.
Anche sul grafico in 3D non vi è traccia di minimo in quella posizione.
Ho controllato ponendo valori numerici.
Ad esempio se R = 1 e x0 = 0 si ottiene il valore corretto della lunghezza.
Se pongo R = 2 e x0 = 0 si ottiene 2/3 + sqrt(15)/4 = 1,6349125...
Ponendo invece R = 2 e x0 = -1/2 si ottiene un valore inferiore a quello da noi trovato cioè 2/3 + sqrt(3)/2 = 1,5326921...
Da questo deduco che la funzione trovata da Shuty non è corretta in quanto essa, oltre a non avere un minimo in R = 1 e x0 = 0, presenta un minimo che è di molto inferiore ai valori da noi trovati.
Hai ragione. Chissà cosa avevo sbagliato prima, mi dava errore per x<0, errore strano che mi dava però il risultato della lunghezza corretto. Scusami se ho creato confusione.
L'errante WOnderP.
L'errante WOnderP.
mi chiedeva WonderP:
l'ho usato per fargli inventare la funzione:
colonna A, da A1 ad A101: le ascisse da 0 a 50, passo 0.5
col. B: vuota; conterrà le 101 ordinate calcolate dal solver
col. C, da C2 a C101, il deltaL: C2=sqrt((a2-a1)^2+(b2-b1)^2)
col. D, da D2 a D101, il deltaS del trapezio: D2=(a2-a1)*(b2+b1)/2
al piede delle col. C e D la somma delle lunghezze e delle aree, corretta poi per avere la L totale e la S del pentagono mistilineo.
poi, solver, variando i 101 elementi della col. B per minimizzare Ltotale, col vincolo che S sia 1/3 dell'area del quadrato.
sono rimasto ben impressionato dai 100 punti ottenuti; poi, vista l'imprecisione:
- del mio integrale a trapezi che mi dava 10000/3 quando in effetti ne era un poco discosto
- della mia lunghezza calcolata a segmenti
ho cercato di affinare la soluz. con 200 punti, ma il solver mi ha deluso dichiarandosi incapace di gestire tante variabili.
altra prova col solver sullo stesso problema, con esito deludente, forse per mia imperizia:
ottenuti i 100 punti di cui sopra, scrivo che y=a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...
e chiedo al solver di calcolarmi i 7 coeff. (in modo da avere un polinomio pulito da GUARDARE, per capire che bestia sia), forse meglio che con la funz. di excel che fa il fitting.
risultati incoerenti.
tony
*quote:
...Come volevi applicare il risolutore?
l'ho usato per fargli inventare la funzione:
colonna A, da A1 ad A101: le ascisse da 0 a 50, passo 0.5
col. B: vuota; conterrà le 101 ordinate calcolate dal solver
col. C, da C2 a C101, il deltaL: C2=sqrt((a2-a1)^2+(b2-b1)^2)
col. D, da D2 a D101, il deltaS del trapezio: D2=(a2-a1)*(b2+b1)/2
al piede delle col. C e D la somma delle lunghezze e delle aree, corretta poi per avere la L totale e la S del pentagono mistilineo.
poi, solver, variando i 101 elementi della col. B per minimizzare Ltotale, col vincolo che S sia 1/3 dell'area del quadrato.
sono rimasto ben impressionato dai 100 punti ottenuti; poi, vista l'imprecisione:
- del mio integrale a trapezi che mi dava 10000/3 quando in effetti ne era un poco discosto
- della mia lunghezza calcolata a segmenti
ho cercato di affinare la soluz. con 200 punti, ma il solver mi ha deluso dichiarandosi incapace di gestire tante variabili.
altra prova col solver sullo stesso problema, con esito deludente, forse per mia imperizia:
ottenuti i 100 punti di cui sopra, scrivo che y=a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...
e chiedo al solver di calcolarmi i 7 coeff. (in modo da avere un polinomio pulito da GUARDARE, per capire che bestia sia), forse meglio che con la funz. di excel che fa il fitting.
risultati incoerenti.
tony
La seconda prova l'ho fatta anche io. provando a variare, prima solo i termini noto, di 1° e 2° grado (trovata la soluzione anche da te indicata) e poi sono salito con le variabili, ma pasticci a non finire, mi variava solo tre cose e male! Avevvamo poche equazioni da far rispettare. Ora sto provando a variare il raggio della circonferenza e le coordinare x y del centro. Ho trovato che l'area minima è -553, mhh, forse non ho imposto qualche vincolo.
WonderP.
WonderP.
Scusate se posto in ritardo ma non ho avuto molto tempo.
Per la cronaca, ho riverificato i conti e trovato (ovviamente) lo stesso risultato di Mamo ... mancava un pezzo nell'espressione di y0.
Comunque, Buone feste a tutti !!!!!
Per la cronaca, ho riverificato i conti e trovato (ovviamente) lo stesso risultato di Mamo ... mancava un pezzo nell'espressione di y0.
Comunque, Buone feste a tutti !!!!!
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