Il polinomio

[Piera4]

Il polinomio (non nullo) $P(x)$ soddisfa la relazione
$P(P(x))=P(x)+P(x+3)$,
determinare $P(2)$.

[Sk_Anonymous]

Un argomento al limite per $x \to \infty$ provare che necessariamente deg $P < 2$. Siccome l'unico polinomio costante che verifica identicamente la condizione indicata nella consegna del problema è il polinomio identicamente nullo, tanto è sufficiente a restringere il campo di ricerca ai soli vettori di $\mathbb{C}[x]$ della forma $ax + b$, con $a, b \in \mathbb{C}$ e $a \ne 0$. Ne risulta $a^2 x + (ab+b) = 2ax + (3a+2b)$, per ogni $x \in \mathbb{C}$, e quindi $a = 2$ e $b = 6$, ovvero $P(x) = 2x + 6$.