Il campo di Luca Maria
Questo gioco è tratto dai "giochi a squadre" del PRISTEM del 2007 e, pur conoscendo la soluzione, non ne vengo a capo.
Ringrazio in anticipo chi vorrà aiutarmi con qualche suggerimento. Questo è il testo:
Il campo di Luca Maria è un quadrilatero formato da due triangoli rettangoli. Tutte le misure dei lati del quadrilatero sono espresse da un numero intero di metri e il suo perimetro è minore di 2.000 m. Quanto vale, al massimo, questo perimetro ?
Applicando il teorema di Pitagora si trova che Perimetro = $ 1+2x+sqrt(2x^2+1) $.
Il Perimetro è < 2000, quindi x < 585 (circa), inoltre se le misure dei lati sono numeri interi, allora bisogna trovare un valore
1 < x < 585 tale che $ sqrt(2x^2+1) $ sia un quadrato perfetto.
A questo punto ho iniziato a ragionare sul fatto che, se $ 2x^2 + 1 $ è un quadrato perfetto, allora termina con 0, 1, 4, 5, 6, 9, e quindi $ x^2 $ termina con 0 oppure con 8, ma non sono riuscito ad andare oltre.
Allora ho applicato la "forza bruta" e, con una tabella Excel, ho trovato x = 2, 12, 70, 408 (che è la soluzione).
Esiste una soluzione "analitica" che permetta di trovare i valori di x senza andare per tentativi ?
Ringrazio in anticipo chi vorrà aiutarmi con qualche suggerimento. Questo è il testo:
Il campo di Luca Maria è un quadrilatero formato da due triangoli rettangoli. Tutte le misure dei lati del quadrilatero sono espresse da un numero intero di metri e il suo perimetro è minore di 2.000 m. Quanto vale, al massimo, questo perimetro ?
Applicando il teorema di Pitagora si trova che Perimetro = $ 1+2x+sqrt(2x^2+1) $.
Il Perimetro è < 2000, quindi x < 585 (circa), inoltre se le misure dei lati sono numeri interi, allora bisogna trovare un valore
1 < x < 585 tale che $ sqrt(2x^2+1) $ sia un quadrato perfetto.
A questo punto ho iniziato a ragionare sul fatto che, se $ 2x^2 + 1 $ è un quadrato perfetto, allora termina con 0, 1, 4, 5, 6, 9, e quindi $ x^2 $ termina con 0 oppure con 8, ma non sono riuscito ad andare oltre.
Allora ho applicato la "forza bruta" e, con una tabella Excel, ho trovato x = 2, 12, 70, 408 (che è la soluzione).
Esiste una soluzione "analitica" che permetta di trovare i valori di x senza andare per tentativi ?
Risposte
Chiamo $a$ l'unico lato senza nome.
$a=sqrt(x^2+1)$
quindi
$y= sqrt(x^2+1+x^2)$
da cui, come hai scritto anche tu,:
$2p=1+2x+sqrt(2x^2+1)$
*ho scritto come ho trovato il perimetro perchè non sapevo se lo avessi trovato tu o se lo avessi letto nella soluzione
Se sappiamo che $x<585$ e che $1+2x+sqrt(2x^2+1)$. Notiamo subito che $1+2x<1171$. Quindi $sqrt(2x^2+1)$ vale circa $2000-1171=829$. Calcoliamo $829^2$ e lo poniamo uguale ad $sqrt (2x^2+1)$. Da cui $x= 586$.
Da qua puoi provare le soluzioni intere vicine e io ti consiglio per i quadrati perfetti di usare la prova del nove al posto delle cifre finali
$a=sqrt(x^2+1)$
quindi
$y= sqrt(x^2+1+x^2)$
da cui, come hai scritto anche tu,:
$2p=1+2x+sqrt(2x^2+1)$
*ho scritto come ho trovato il perimetro perchè non sapevo se lo avessi trovato tu o se lo avessi letto nella soluzione
Se sappiamo che $x<585$ e che $1+2x+sqrt(2x^2+1)$. Notiamo subito che $1+2x<1171$. Quindi $sqrt(2x^2+1)$ vale circa $2000-1171=829$. Calcoliamo $829^2$ e lo poniamo uguale ad $sqrt (2x^2+1)$. Da cui $x= 586$.
Da qua puoi provare le soluzioni intere vicine e io ti consiglio per i quadrati perfetti di usare la prova del nove al posto delle cifre finali
Ciao Kobe.
Non ho capito cos'hai fatto.
Non sei avanzato di un millimetro da dove era arrivato manto51.
Anzi parti da $x<585$ e finisci con $x=586$.
Forse ti sei un po' perso...
Ammetto che neanch'io so come procedere.
Non ho capito cos'hai fatto.
Non sei avanzato di un millimetro da dove era arrivato manto51.
Anzi parti da $x<585$ e finisci con $x=586$.
Forse ti sei un po' perso...
Ammetto che neanch'io so come procedere.
Concordo con superpippone, anzi vorrei precisare una cosa: manto51 ha scritto che $2x^2+1$ deve essere un quadrato perfetto, ma d'altra parte è un numero nella forma $2n+1$ quindi deve essere anche per forza dispari... Quindi termina solo con $1$, $5$ o $9$. Poi però non ho una chiara idea di come fare in modo che sia un quadrato perfetto senza andare a finire in calcoli troppo laboriosi.
Ciao.
$2x^2+1$ può terminare solo per $1$ o per $9$
Non può terminare per $5$, perchè $5-1=4$ e i numeri che finiscono per $4$ divisi per $2$ danno numeri con finali $2$ o $7$, che non possono essere in nessun caso dei quadrati perfetti.
Però questo non aiuta molto, perchè procedendo a ritroso,
$x^2$ può terminare per $0$ $4$ $5$ $9$
e $x$ può terminare per $0$ $2$ $3$ $5$ $7$ $8$
Sempre peggio....
$2x^2+1$ può terminare solo per $1$ o per $9$
Non può terminare per $5$, perchè $5-1=4$ e i numeri che finiscono per $4$ divisi per $2$ danno numeri con finali $2$ o $7$, che non possono essere in nessun caso dei quadrati perfetti.
Però questo non aiuta molto, perchè procedendo a ritroso,
$x^2$ può terminare per $0$ $4$ $5$ $9$
e $x$ può terminare per $0$ $2$ $3$ $5$ $7$ $8$
Sempre peggio....
In ogni caso l'affermazione di manto51 risulterebbe sbagliata dato che dice che $x^2$ deve terminare solo con $0$ o $8$ e i primi due termini terminano con $2$...
Beh, certo.
Un quadrato perfetto non può terminare per $8$.
Però qua stiamo divagando, e non riusciamo a procedere.....
Un quadrato perfetto non può terminare per $8$.
Però qua stiamo divagando, e non riusciamo a procedere.....
Un'idea che mi è venuta è pensarla come un'equazione diofantea:
$2x^2+1=y^2$ dove $x$ e $y$ devono essere interi (e anche maggiori di 0). Se si risolve questa si risolve il problema.
$2x^2+1=y^2$ dove $x$ e $y$ devono essere interi (e anche maggiori di 0). Se si risolve questa si risolve il problema.
Mi rendo conto di essere stato alquanto impreciso nella descrizione è ho scritto anche qualche inesattezza.
Mi scuso e vedo di essere più preciso:
Il risultato che conosco è solo il valore numerico del perimetro che è di 1394.
1394 corrisponde corrispondente al valore x = 408, infatti
Perimetro = $2x+1+sqrt(2x^2+1) = 2x408+1+sqrt(332929) = 816+1+577 = 1394$
Il perimetro l'ho ricavato applicando due volte il teorema di pitagora.
Poiché i lati del quadrilatero sono 1, x, x, $sqrt(2x^2+1)$ e sono tutti numeri interi, il problema si risolve trovando un valore x intero positivo tale che anche $sqrt(2x^2+1)$ sia un intero positivo.
Il rango entro il quale cercare x l'ho ricavato con la disequazione $2x+1+sqrt(2x^2+1)<2000$
Si verifica che per $x=585$ si ha $2x+1+sqrt(2x^2+1)=1998$ circa, per cui x deve essere minore di 585.
Il ragionamento sulla cifra finale di x è stato un tentativo (infruttuoso) per ridurre l'ambito di ricerca per x.
I valori di x = 2, 12, 70, 408 trovati con Excel sembrano essere i soli valori interi positivi minori di 585 per i quali $sqrt(2x^2+1)$ è a sua volta un intero, e in effetti 408 porta alla soluzione data.
Il suggerimento sull'equazione diofantea è corretto, ma non so come si risolvano le equazioni diofantee di secondo grado, e non credo sia una cosa semplice, ma magari si scopre che è l'unica strada percorribile.
Grazie a tutti.
Mi scuso e vedo di essere più preciso:
Il risultato che conosco è solo il valore numerico del perimetro che è di 1394.
1394 corrisponde corrispondente al valore x = 408, infatti
Perimetro = $2x+1+sqrt(2x^2+1) = 2x408+1+sqrt(332929) = 816+1+577 = 1394$
Il perimetro l'ho ricavato applicando due volte il teorema di pitagora.
Poiché i lati del quadrilatero sono 1, x, x, $sqrt(2x^2+1)$ e sono tutti numeri interi, il problema si risolve trovando un valore x intero positivo tale che anche $sqrt(2x^2+1)$ sia un intero positivo.
Il rango entro il quale cercare x l'ho ricavato con la disequazione $2x+1+sqrt(2x^2+1)<2000$
Si verifica che per $x=585$ si ha $2x+1+sqrt(2x^2+1)=1998$ circa, per cui x deve essere minore di 585.
Il ragionamento sulla cifra finale di x è stato un tentativo (infruttuoso) per ridurre l'ambito di ricerca per x.
I valori di x = 2, 12, 70, 408 trovati con Excel sembrano essere i soli valori interi positivi minori di 585 per i quali $sqrt(2x^2+1)$ è a sua volta un intero, e in effetti 408 porta alla soluzione data.
Il suggerimento sull'equazione diofantea è corretto, ma non so come si risolvano le equazioni diofantee di secondo grado, e non credo sia una cosa semplice, ma magari si scopre che è l'unica strada percorribile.
Grazie a tutti.
Grazie al suggerimento (decisivo) di Pianoth, cioè di fare riferimento alle equazioni diofantee, e con un po' di ricerche su internet sull'argomento, ho trovato la soluzione. La descrivo a beneficio di tutti gli interessati:
L'equazione diofantea $y^2=dx^2+1$ è chiamata "equazione di Pell" ed ha infinite soluzioni quando d è "libero da quadrati" cioè la sua scomposizione in fattori primi non contiene termini al quadrato.
Se x1 $>=1$ è il più piccolo intero positivo tale che $1+dx1$ sia un quadrato di un intero y1, allora la coppia (x1,y1) è detta "soluzione fondamentale" dell'equazione. Tutte le altre soluzioni (xn,yn) sono tali che
$yn+sqrt(d)xn=(y1+sqrt(d)x1)^n$
Nel nostro caso si ha $d=2$, e la soluzione fondamentale dell'equazione $y^2=2x^2+1$ è $x=2$, $y=3$.
Le altre soluzioni sono quindi:
$(3+2sqrt(2))^2=17+12sqrt(2)rarrx2=12,y2=17$,
$(3+2sqrt(2))^3=99+70sqrt(2)rarrx3=70,y3=99$,
$(3+2sqrt(2))^4=577+408sqrt(2)rarrx4=408,y4=577$.
L'equazione diofantea $y^2=dx^2+1$ è chiamata "equazione di Pell" ed ha infinite soluzioni quando d è "libero da quadrati" cioè la sua scomposizione in fattori primi non contiene termini al quadrato.
Se x1 $>=1$ è il più piccolo intero positivo tale che $1+dx1$ sia un quadrato di un intero y1, allora la coppia (x1,y1) è detta "soluzione fondamentale" dell'equazione. Tutte le altre soluzioni (xn,yn) sono tali che
$yn+sqrt(d)xn=(y1+sqrt(d)x1)^n$
Nel nostro caso si ha $d=2$, e la soluzione fondamentale dell'equazione $y^2=2x^2+1$ è $x=2$, $y=3$.
Le altre soluzioni sono quindi:
$(3+2sqrt(2))^2=17+12sqrt(2)rarrx2=12,y2=17$,
$(3+2sqrt(2))^3=99+70sqrt(2)rarrx3=70,y3=99$,
$(3+2sqrt(2))^4=577+408sqrt(2)rarrx4=408,y4=577$.
Ho trovato un metodo (astruso) per trovare le coppie $x$ e $sqrt[(2x^2+1)]$.
Bisogna prima trovare le prime 2 coppie che sono: $0$ e $1$; e l'altra $2$ e $3$.
Lo so che $0$ geometricamente è scorretto, ma mi è indispensabile matematicamente.
Allora per la prima coppia scrivo: $1/0$, cioè l'importo minore sotto, e la differenza tra 0 e 1 sopra.
Per la seconda coppia scrivo: $1/2$, cioè l'importo minore sotto, e la differenza tra 2 e 3 sopra.
Adesso moltiplico per 6: $1/2*6/6$ ed ottengo $6/12$ prendo la seconda coppia precedente cioè $1/0$ la sottraggo $6/12-1/0$ ed ottengo $5/12$ ed in effetti $12$ e $12+5=17$ sono una coppia corretta.
Moltiplico per 6 $5/12*6/6=30/72$ prendo la seconda coppia precedente $1/2$ la sottraggo $30/72-1/2$ ed ottengo $29/70$
E anche qui $70$ e $70+29=99$ sono corretti.
Moltiplico per 6 $29/70*6/6=174/420$ prendo la seconda coppia precedente $12/5$ la sottraggo $174/420-5/12$ ed ottengo $169/408$. E ancora una volta $408$ e $408+169=577$ sono conformi.
Fin qui sono le coppie che ci servono, però si potrebbe continuare all'infinito.
Funziona, ma non so spiegarmi il perchè.....
P.S. Le ho scritte in forma di frazione per comodità, ma non sono assolutamente frazioni.
P.P.S. Dubito di essere stato chiaro
Bisogna prima trovare le prime 2 coppie che sono: $0$ e $1$; e l'altra $2$ e $3$.
Lo so che $0$ geometricamente è scorretto, ma mi è indispensabile matematicamente.
Allora per la prima coppia scrivo: $1/0$, cioè l'importo minore sotto, e la differenza tra 0 e 1 sopra.
Per la seconda coppia scrivo: $1/2$, cioè l'importo minore sotto, e la differenza tra 2 e 3 sopra.
Adesso moltiplico per 6: $1/2*6/6$ ed ottengo $6/12$ prendo la seconda coppia precedente cioè $1/0$ la sottraggo $6/12-1/0$ ed ottengo $5/12$ ed in effetti $12$ e $12+5=17$ sono una coppia corretta.
Moltiplico per 6 $5/12*6/6=30/72$ prendo la seconda coppia precedente $1/2$ la sottraggo $30/72-1/2$ ed ottengo $29/70$
E anche qui $70$ e $70+29=99$ sono corretti.
Moltiplico per 6 $29/70*6/6=174/420$ prendo la seconda coppia precedente $12/5$ la sottraggo $174/420-5/12$ ed ottengo $169/408$. E ancora una volta $408$ e $408+169=577$ sono conformi.
Fin qui sono le coppie che ci servono, però si potrebbe continuare all'infinito.
Funziona, ma non so spiegarmi il perchè.....
P.S. Le ho scritte in forma di frazione per comodità, ma non sono assolutamente frazioni.
P.P.S. Dubito di essere stato chiaro
Dobbiamo in pratica dimostrare che se ho le soluzioni intere $x_n,\ y_n,\ x_(n+1),\ y_(n+1)$ allora posso trovare $x_(n+2),\ y_(n+2)$. In pratica da quel che ho capito il calcolo che fai è il seguente:
$x_(n+2) = x_(n+1)*6-x_n$
$y_(n+2)-x_(n+2) = ((y_(n+1)-x_(n+1))*6)-(y_n-x_n)$ da cui $y_(n+2) = (y_(n+2)-x_(n+2))+x_(n+2)$
Infatti dalle soluzioni $x_2 = 12,\ y_2 = 17$ e $x_3 = 70,\ y_3 = 99$ posso calcolare la seguente:
$x_4 = 70*6-12=420-12=408$ che è corretta;
$y_4 - x_4 = (99-70)*6-(17-12)=29*6-5=174-5=169$ da cui $y_4 = y_4 - x_4 + x_4 = 169 + 408 = 577$ che è corretta.
________________________
Ecco un mio tentativo decisamente fallito di tentare di dimostrarlo
:
$x_(n+2) = x_(n+1)*6-x_n$
$y_(n+2)-x_(n+2) = ((y_(n+1)-x_(n+1))*6)-(y_n-x_n)$ da cui $y_(n+2) = (y_(n+2)-x_(n+2))+x_(n+2)$
Infatti dalle soluzioni $x_2 = 12,\ y_2 = 17$ e $x_3 = 70,\ y_3 = 99$ posso calcolare la seguente:
$x_4 = 70*6-12=420-12=408$ che è corretta;
$y_4 - x_4 = (99-70)*6-(17-12)=29*6-5=174-5=169$ da cui $y_4 = y_4 - x_4 + x_4 = 169 + 408 = 577$ che è corretta.
________________________
Ecco un mio tentativo decisamente fallito di tentare di dimostrarlo
:
).
Vedo con piacere che ti stai entusiasmando.
Però io non sono in grado di aiutarti in questo campo.
Non possiedo le conoscenze necessarie
Però io non sono in grado di aiutarti in questo campo.
Non possiedo le conoscenze necessarie
Non ti preoccupare, non penso che riproverò a dimostrarlo 
più che altro, come l'hai scoperto? Completamente a caso o hai ragionato in qualche modo?
più che altro, come l'hai scoperto? Completamente a caso o hai ragionato in qualche modo?
Un po' per ragionamento, e molto per intuito.
Ho cominciato a guardare le differenze tra i numeri, e ho cercato un'eventuale ordine delle differenze.
Adesso ho trovato il metodo per individuare la differenza fra i due numeri, ma non sono in grado di esplicitarla in maniera semplice ed intelligibile.
Sarà per martedì....
Auguri di buona Pasqua.
Ho cominciato a guardare le differenze tra i numeri, e ho cercato un'eventuale ordine delle differenze.
Adesso ho trovato il metodo per individuare la differenza fra i due numeri, ma non sono in grado di esplicitarla in maniera semplice ed intelligibile.
Sarà per martedì....
Auguri di buona Pasqua.
Senza coinvolgere equazioni diofantee o altro, basta osservare che $x$ può terminare solo con $0,2,8$
$x=3,5,7$ vanno esclusi perché i relativi $2x^2+1$ sono congrui a 3 modulo 4, il che non va bene.
Detto questo, le scelte per $x$ sono della forma:
a) $10n$
b) $10n+2$
c) $10n+8$
il che rende $2x^2+1$ risp. pari a
a) $200n^2+1$ ***
b) $200n^2+80n+9$
c) $200n^2+320n+129$
Adesso i tre risultati ottenuti devono essere quadrati (il primo di un numero della forma $10t+1$ oppure $10t+9$, gli altri di un numero della forma $10t+3$ oppure $10t+7$)
Elevando $10t+1$ al quadrato si ottiene $100t^2+20t+1$, mentre elevando $10t+9$ al quadrato si ottiene $100t^2+180t+81$. D'altra parte questi due quadrati devono terminare con $001$ in virtù di ***. Il che riduce di molto le possibilità per $t$ in ambo i casi
Invece facendo la stessa cosa per $10t+3$ e $10t+7$ si ottengono quadrati della forma $100t^2+60t+9$ e $100t^2+140t+49$, qua però si fa più difficile. Magari qualcuno può avere un'idea a riguardo
$x=3,5,7$ vanno esclusi perché i relativi $2x^2+1$ sono congrui a 3 modulo 4, il che non va bene.
Detto questo, le scelte per $x$ sono della forma:
a) $10n$
b) $10n+2$
c) $10n+8$
il che rende $2x^2+1$ risp. pari a
a) $200n^2+1$ ***
b) $200n^2+80n+9$
c) $200n^2+320n+129$
Adesso i tre risultati ottenuti devono essere quadrati (il primo di un numero della forma $10t+1$ oppure $10t+9$, gli altri di un numero della forma $10t+3$ oppure $10t+7$)
Elevando $10t+1$ al quadrato si ottiene $100t^2+20t+1$, mentre elevando $10t+9$ al quadrato si ottiene $100t^2+180t+81$. D'altra parte questi due quadrati devono terminare con $001$ in virtù di ***. Il che riduce di molto le possibilità per $t$ in ambo i casi
Invece facendo la stessa cosa per $10t+3$ e $10t+7$ si ottengono quadrati della forma $100t^2+60t+9$ e $100t^2+140t+49$, qua però si fa più difficile. Magari qualcuno può avere un'idea a riguardo
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