I ragni e la mosca

[axpgn]

Una simpatica famigliola di ragni, la saggia mamma e otto pargoletti, era "appollaiata" su un muro in fondo a una stanza rettangolare (parallelepido rettangolo).
I tempi sono grami, la fame è tanta.
Ma ... ecco che un'enorme mosca si posa sul muro opposto: sia la mosca che i ragni si trovano sulla mezzeria verticale ma i ragni ottanta pollici sopra il centro mentre la mosca ottanta pollici sotto il centro.
"Mamma, guarda!" grida improvvisamente uno dei ragnetti.
"Bene, ragazzi miei" dice la mamma, "ci sono otto percorsi per arrivare alla nostra preda, ciascuno di voi ne prenderà uno e usando solo le vostre zampette, convergete su di essa: il primo che arriva, avrà il pezzo più grosso."
Al segnale della mamma, gli otto ragnetti partono, ciascuno in una differente direzione, ognuno alla velocità costante di $0.65$ miglia orarie.
Dopo $625/11$ di secondo, simultaneamente, tutti e otto raggiungono l'obiettivo ... che nel frattempo era morto di paura.
Quali sono le dimensioni della stanza?

Cordialmente, Alex

[andomito]

O c'è un trucco, o qualche dato va desunto con assunzioni arbitrarie.

In particolare, suppongo vada dedotta l'informazione che la mamma decide lei i percorsi e (per strategia di caccia) assegna agli otto ragnetti otto percorsi di pari lunghezza (non la via più breve per arrivare alla mosca) per farli convergere sull'obiettivo più o meno contemporaneamente da otto direzioni uniformemente distribuite, ovvero che formano tra loro angoli uguali (di 45°).
La forma di tali traiettorie sullo sviluppo piano del parallelepipedo potrebbe essere qualunque (spezzata, tratto di ellissi, tratto di spirale, zig zag...) ma suppongo si debba supporre che mamma ragno scelga la più semplice, ovvero segmenti rettilinei intervallati di 45° e divergenti dalla posizione iniziale fino al primo spigolo, percorsi paralleli al terzo spigolo fino al secondo spigolo e infine percorsi retti convergenti sull'obiettivo (che vengono automaticamente intervallati di 45°).
Purtroppo tale con tale strategia mi pare che ci sia un fattore (la profondità della stanza) che rende indeterminato il sistema solutivo.
Dove sbaglio?
Ci sono traiettorie più corte che mamma ragno potrebbe prediligere rispetto alla spezzata, ma con che criterio razionale dovrebbe sceglierle?

[axpgn]

No, no … la retta è sempre la strada più breve tra due punti

[andomito]

"axpgn":No, no … la retta è sempre la strada più breve tra due punti

Ne deduco che la soluzione cercata è una spezzata che abbia tratto rettilineo su ogni faccia.

Con tale assunzione, sempre ipotizzando una strategia di accerchiamento, il sistema si può risolvere: sulla parete della mosca i ragnetti convergeranno con traiettorie distanziate di 45° simmetriche rispetto alla verticale, sulle altre pareti con traiettorie con diversa inclinazione che minimizzi la distanza da percorrere.
Imponendo l'equivalenza delle distanze ho tre equazioni aventi come incognite gli spigoli.
Però prima di risolvere con la forza bruta (sistema di equazioni con termini noti contenti tangente e seno di 22,5°) voglio provare a cercare una soluzione più elegante.

[axpgn]

@andomito

Non capisco perché ti ostini a cercare gli angoli, soprattutto di $45°$ … … se apri la mente, vedrai che trovi proprio otto segmenti uguali

Cordialmente, Alex

[andomito]

?? ??

A meno di sorprese (suppongo ad esempio che la mosca non cade a terra, quando è morta, che i ragnetti camminino sui muri, non su ragnatele sospese, che le pareti non abbiano finestre o porte consentendo percorsi esterni) i percorsi più brevi mi risultano 4, non otto, facilmente individuabili con una riga "aprendo" il parallelepipedo. Dette h, l e p altezza, larghezza e profondità e a la distanza di mosca o ragnetti dal centro della parete, avremo:
1 -su fino al soffitto, dritto fino alla parete in fondo, giù fino alla mosca (lunghezza tracciato = h+p)
2 -giù fino al pavimento, dritto fino alla parete in fondo, su fino alla mosca (lunghezza tracciato =h+p)
3 (e 4) - girando verso destra (o sinistra) sulle pareti con inclinazione costante sull'orizzontale (lunghezza tracciato=
$sqrt(4 a^2 + (l+p)^2)$ )
facendo conversioni e calcoli, risulta con ragionevole approssimazione che a= 2m, lunghezza tracciato = 16,5 m, e quindi
h= 16,5 m - p
l = 16 m - p
Ma come ho detto nel primo intervento manca un'equazione (o un dato) per risolvere il problema, che tra l'altro non rispetta tutte le condizioni (8 percorsi distinti).

Evidentemente mi sfugge qualcosa... (mumble...)

[axpgn]

@andomito

Eh, hai "aperto" la mente e migliori … … e siccome sono in vena di "hint" (ne ho già dati troppi ) aggiungo che i percorsi sono effettivamente otto ma si riducono a quattro per simmetria e di fatto a tre: per il soffitto (simmetrico al pavimento), per la parete di dx (simmetrico a quella di sx), per soffitto e parete dx (simmetrico ad altri tre, soff+sx, pav+dx, pav+sx).
Adesso però le TRE equazioni le trovi tu, se no finisce che lo risolvo io

Cordialmente, Alex

[andomito]

EUREKA

Se la profondità è prevalente sulle altre dimensioni e i punti sono prossimi agli spigoli, ci sono due altri percorsi che tagliano gli angoli.
Fatti i conti mi viene più o meno una profondità di 11,15 m, una altezza di 5,35 m e una larghezza di 4,45 m.
Se volete le equazioni le posto domani, ma forse sarebbe più utile un disegnino

[axpgn]

@andomito

Premesso che i numeri sono sbagliati e che non ho capito la prima frase (quali punti? perché dovrebbero essere vicino agli spigoli? mah ... ), i risultati li preferirei in pollici ( anche perché così sono interi e i conti sono più semplici) e soprattutto mi interessano le equazioni che risolvono il problema

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Ricordo di aver visto un gioco simile riguardo le linee geodetiche in cui c'erano appunto un ragno e una mosca all'interno di un parallelepipedo le cui misure erano note e veniva richiesto di calcolare la distanza minima che doveva percorrere il ragno per arrivare alla mosca.

[axpgn]

@Drazen77
Quello è un classico, credo ci siano almeno un paio di thread su quel tema qui nel forum … questo però è al contrario …

[andomito]

"axpgn":

... i risultati li preferirei in pollici ( anche perché così sono interi e i conti sono più semplici) e soprattutto mi interessano le equazioni che risolvono il problema

In effetti nella fretta avevo fatto qualche conto sballato. Eccoci con i risultati in pollici:

velocità V = 11,44 pollici al secondo
tragitto percorso K = V t = 650 pollici
distanza iniziale dal centro parete a = 80 pollici
dimensioni parallelepipedo larghezza l, altezza h, profondità p
Aprendo il parallelepipedo trovo dodici possibili percorsi rettilinei con le seguenti equazioni
percorsi 1 e 2 sul piano verticale : K= a + h/2 + p + h/2-a = h+p
percorsi 3 e 4 a inclinazione costante sulle pareti laterali (applicando il teorema di Pitagora): $K^2 = (2a)^2+(l+p)^2$
percorsi 5 e 6 che scendono inclinati sul pavimento e poi risalgono sulla parete laterale e 7 ed 8 che salgono inclinati sulla parete laterale, poi raggiungono il soffitto e riscendono: $K^2= (l/2+h/2-a)^2+(p+l/2+h/2+a)^2$
percorsi 9 e 10 che salgono inclinati sul soffitto, poi scendono sulla parete laterale e 11 e 12 che scendono inclinati sulla parete laterale, poi raggiungono il pavimento e risalgono: $K^2= (l/2+h/2+a)^2+(p+l/2+h/2-a)^2$
Gli ultimi due gruppi di percorsi possono avere la stessa lunghezza, solo se p=0 (basta sottrarre le relative equazioni)
Escluso tale caso limite (parallelepipedo ridotto a rettangolo) ho quindi sue sistemi risolutivi possibili, il primo con prima, seconda e terza equazione, il secondo con prima seconda e quarta equazione.
Dalla prima equazione ricavo h=k-p =650' - p
dalla seconda equazione $l= sqrt(k^2-4a^2)-p = 630' - p$
e combinandole $l/2+h/2=(k+sqrt(k^2-4a^2))/2-p= 640' -p$
Sostituendo nella terza equazione abbiamo dopo qualche passaggio che con i valori di K e a dati non ci sono soluzioni in campo reale (in pratica, salvo il caso p=0 sono sempre percorsi più lunghi degli altri otto).
Pertanto va utilizzata la quarta equazione, che dopo qualche passaggio (salvo svarioni) porta alla soluzione
$p= (k+sqrt(k^2-4a^2))/2+a-sqrt(k^2-((k+sqrt(k^2-4a^2))/2-a)^2)$ = 311 '
da cui l=319' e h=339'

Puff

[axpgn]

@andomito

Le equazioni sono giuste ma i calcoli no
Non è necessario usare radici o passare dalle equazioni di secondo grado , il sistema si può risolvere in maniera più "liscia"

Cordialmente, Alex

[andomito]

rettifico
p= 390
l=240
h=260

[axpgn]

[orsoulx]

"axpgn": il sistema si può risolvere in maniera più "liscia"

Ma anche con le bollicine: mi pare che la 'soluzione' non sia unica.
Ciao

[axpgn]

Non mi pare di aver detto che lo sia (anche se lo pensavo )

Però cosa intendi di preciso: che esiste una strada più corta o una stanza diversa? Suppongo una stanza diversa …

Bentornato,

Cordialmente, Alex

P.S.: in effetti, le bollicine ci stanno bene …

[orsoulx]

@Alex:
Almeno una stanza diversa (meno alta) con dimensioni irrazionali.
Ciao

[axpgn]

Per trovare un'eventuale altra soluzione dovrei "esplodere" la stanza in tutti i modi (oltre agli otto già fatti) e vedere quelli che hanno una soluzione … probabilmente l'autore pensava a una soluzione "intera" … magari ci provo …

Cordialmente, Alex

[andomito]

"axpgn":Per trovare un'eventuale altra soluzione dovrei "esplodere" la stanza in tutti i modi (oltre agli otto già fatti) e vedere quelli che hanno una soluzione … probabilmente l'autore pensava a una soluzione "intera" … magari ci provo …

Cordialmente, Alex

Cercando altre soluzioni

Ci sono i percorsi 13 e 14 che scendono inclinati sul pavimento e poi risalgono sulla parete laterale arrivano sul soffitto e poi ridiscendono (i corrispondenti per simmetria coincidono) : $K^2 =(l +h)^2 +(p+h-2a)^2$

Poi i percorsi 15 e 16 che salgono sulla parete laterale, raggiungono il soffitto e lo attraversano a metà stanza per poi scendere dalla parete laterale opposta (i corrispondenti per simmetria coincidono): $K^2 =(l +h)^2 +(p+l)^2$ .

Ad occhio i percorsi ancora più complicati (che si avvitano più volte lungo la stanza) non potranno che essere più lunghi dei precedenti e pertanto condurre (se pure) a soluzioni non ottimali [vabbè, nel quesito non c'è scritto che i ragnetti fanno i percorsi più brevi, ma se non ipotizzo tale assunto potrebbero fare tantissimi loop per 56 secondi e rotti in una stanza piccola quanto si vuole]

A differenza dei percorsi 5-6-7-8 e 9-10-11-12, però, i percorsi 13-14 e 15-16 hanno solo un altro omologo. Quindi andrebbero bene per sei ragnetti, ( i percorsi 1, 2, 3, 4, 15 e 16 danno la soluzione h= 90; l= 70; p = 560; i percorsi 1, 2, 3, 4, 13 e 14 danno a meno di arrotondamenti la soluzione h= 216; l= 196; p = 434, i percorsi 1, 2, 13, 14 , 15 e 16 danno p=306, h=344 ed l=184) ma non per otto.

Quindi per avere otto percorsi dovremo utilizzare due delle coppie 1-2; 3-4; 13-14; 15-16 insieme ad uno dei percorsi quadrupli 5-6-7-8 o 9-10-11-12, ma ciò vuol dire risolvere un sistema piuttosto complicato e (temo) trovare soluzioni o irrazionali, o non corrispondenti al percorso più breve (che presumo sarebbe l'escluso tra 1-2 e 3-4) o con lati collassati.
Ad esempio, utilizzando le equazioni corrispondenti ai percorsi 3-4, 9-10-11-12, 15-16 la soluzione è p=630; h=160, l=0, con percorsi che collassano tutti sulla diagonale della parete

[axpgn]

Non ho la pazienza di andomito (al terzo sviluppo mi si esaurisce tutta la voglia ) ma penso che non esistano altre equazioni che soddisfino le condizioni; ricordiamoci che la lunghezza del percorso è fissa, pari a $650$ pollici ($v*t=d$), che è il più breve (è implicito nella frase "il primo ragnetto che arriva prenderà il pezzo più grosso") e che ce ne devono essere almeno otto lunghi uguali ma diversi. Già la quarta equazione trovata da andomito non soddisfa queste condizioni e le altre possibili equazioni non credo possano fare di meglio (avvitamenti compresi) … IMHO non credo esistano altre stanze con dimensioni diverse che soddisfino quanto richiesto.

Cordialmente, Alex