I ragni e la mosca

[axpgn]

Una simpatica famigliola di ragni, la saggia mamma e otto pargoletti, era "appollaiata" su un muro in fondo a una stanza rettangolare (parallelepido rettangolo).
I tempi sono grami, la fame è tanta.
Ma ... ecco che un'enorme mosca si posa sul muro opposto: sia la mosca che i ragni si trovano sulla mezzeria verticale ma i ragni ottanta pollici sopra il centro mentre la mosca ottanta pollici sotto il centro.
"Mamma, guarda!" grida improvvisamente uno dei ragnetti.
"Bene, ragazzi miei" dice la mamma, "ci sono otto percorsi per arrivare alla nostra preda, ciascuno di voi ne prenderà uno e usando solo le vostre zampette, convergete su di essa: il primo che arriva, avrà il pezzo più grosso."
Al segnale della mamma, gli otto ragnetti partono, ciascuno in una differente direzione, ognuno alla velocità costante di $0.65$ miglia orarie.
Dopo $625/11$ di secondo, simultaneamente, tutti e otto raggiungono l'obiettivo ... che nel frattempo era morto di paura.
Quali sono le dimensioni della stanza?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

I percorsi pensabili per una stanza di dimensioni ignote con posizione di partenza e di arrivo arbitrarie sono al più $ 20 $. Indicando con: R ed M le pareti su cui si trovano, rispettivamente, i ragni e la mosca; S il soffitto, P il pavimento, L le due facce laterali (scambiabili perché ragni e mosca si trovano sul piano di simmetria parallelo alle due facce). Abbiamo:
a) quattro percorsi che passano per tre facce , RLM (x2);
b) otto percorsi che passano per quattro facce (tutti doppi) RSLM, RLPM, RLSM, RPLM;
c) otto percorsi che passano per cinque facce (tutti doppi) RLSLM, RLPLM, RPLSM, RLSLM.
Come ha notato andomito i possibili percorsi che passano per sei o più facce non possono essere geodetiche sulla superficie del parallelepipedo (volendo pignolare: escluso il caso il caso in cui ragni e mosca si trovino in due vertici opposti del parallelepipedo).
Le posizioni di partenza antipodali comportano: l(RSM)=l(RPM); l(RSLM)=l(RLPM); l(RLSM)=l(RPLM); l(RLSLM)=l(RLPLM) e l(RPLSM)>l(RLSLM). Le lunghezze potenzialmente minime si riducano a sei, tre derivanti da due percorsi ciascuna e tre da quattro percorsi. Essendo otto i ragni le possibili scelte sono, teoricamente, dodici.
Introducendo le misure note, oltre al risultato già mostrato esiste almeno una seconda soluzione, quella che si può trovare usando solo i percorsi dei ragni (3 dei 5) che si dirigono verso il soffitto; che conduce ad un sistema risolubile, come l'altro, con sole equazioni di secondo grado pure.

Ciao

[axpgn]

Non ho ho capito una cosa (cioè una di sicuro … )

Dici di usare tre percorsi (doppi) quindi sei ragni, ma gli altri due?
Se mi dici (in sigla) quali percorsi devono usare gli otto ragni per l'alternativa, mi impegno a fare i conti (prima o poi )

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

I tre percorsi sono quelli che iniziano con RS... Di questi solo due (RSM e RSLPM) sono doppi, l'altro (RSLM) è quadruplo a causa dell'uguaglianza l(RSLM)=l(RLPM) è quadruplo: $ 2 cdot 2=4 $

Ciao

[axpgn]

Ok, ho fatto i conti

Trovata la stanza

Percorsi $RSM - RLM :\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ L+H=650$

Percorsi $RSL_dPM - RSL_sPM :\ \ \ \ \ \ \ (H+W)^2+(H+L-2*80)^2=650^2$

Percorsi $RSL_dM - RSL_sM - MPL_dR - MPL_sR :\ \ \ \ \ \ \ (W/2+H/2+80)^2+(W/2+H/2+L-80)^2=650^2$


Soluzione:

$H=203.599$

$L=446.401$

$W=223.484$

Cordialmente, Alex

[andomito]

"axpgn":Ok, ho fatto i conti

Trovata la stanza

...
Soluzione:

$H=203.599$

$L=446.401$

$W=223.484$

Cordialmente, Alex

Già, peccato che con quella stanza il percorso più breve è quello RLM che non passa per soffitto o pavimento (circa 500 pollici)

[axpgn]

Beh, non può essere, prova a rifare i conti …

Passando dal soffitto "direttamente" hai $446.401+203.599=650$, passando da una parete laterale è per forza più lungo, come minimo sarebbe $446.401+223.484=669.885$ … no?

Cordialmente, Alex

[andomito]

"andomito":[quote="axpgn"]Ok, ho fatto i conti

Trovata la stanza

...
Soluzione:

$H=203.599$

$L=446.401$

$W=223.484$

Cordialmente, Alex

Già, peccato che con quella stanza il percorso più breve è quello RLM che non passa per soffitto o pavimento (circa 500 pollici)[/quote]

Chiedo venia, ho sbagliato i conti.

[andomito]

Dubbio

"axpgn":...un'enorme mosca ...

Quanto è "enorme" la mosca?
E mamma ragno?

[axpgn]

Beh, no, devi considerarli puntiformi altrimenti il "giochino" non funziona …

[superpippone]

Certo che se la mosca è morta di paura, non si trova più sulla parete, ma è caduta sul pavimento......

[axpgn]

No perché è deceduta nel momento che le sono piombati addosso …