I carcerati e il lancio della moneta.

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Due carcerati, il 378 ed il 459, entrambi in carcere per truffa ed entrambi amanti del gioco d'azzardo, decidono di giocarsi le rispettive 20 sigarette giornaliere con testa e croce. Il gioco funziona così: Nei giorni pari il 378 lancia la moneta e il 459 scommette sul risultato. Se il 459 indovina guadagna 2 sigarette da 378. Se il 459 sbaglia allora deve dare 2 sigarette al 378. Il lancio della moneta viene fatto in tutto per 3 volte. Nei giorni dispari invece i ruoli s'invertono.
I due prigionieri sono in celle separate, non si vedono ma possono comunicare a voce e passarsi le sigarette da un piccolo pertugio nel muro della dimensione giusta.

Nessuno dei due carcerati si fida dell'altro, come possono fare in modo che il gioco sia equo? Ovvero che entrambi abbiano \( 1/2\) di probabilità di vincere ad ogni lancio di moneta?

Dopo una settimana il direttore del carcere scopre che i due giocano d'azzardo nel suo carcere e gli impedisce di comunicare dopo aver fatto chiudere la fessura nel muro. Nonostante ciò i due carcerati corrompono un secondino, dandogli ciascuno 5 sigarette. La guardia farà da tramite sia per le sigarette sia per comunicare le relative scommesse e i risultati sul lancio della moneta. Questa volta i due carcerati, non solo continuano a non fidarsi l'uno dell'altro, ma temono entrambi che la guardia comunichi dei risultati fasulli ad entrambi e si tenga tutte le sigarette. Come fanno questa volta i carcerati a fare in modo che il gioco sia equo?

[hydro1]

"3m0o":Due carcerati, il 378 ed il 459, entrambi in carcere per truffa ed entrambi amanti del gioco d'azzardo, decidono di giocarsi le rispettive 20 sigarette giornaliere con testa e croce. Il gioco funziona così: Nei giorni pari il 378 lancia la moneta e il 459 scommette sul risultato. Se il 459 indovina guadagna 2 sigarette da 378. Se il 459 sbaglia allora deve dare 2 sigarette al 378. Il lancio della moneta viene fatto in tutto per 3 volte. Nei giorni dispari invece i ruoli s'invertono.
I due prigionieri sono in celle separate, non si vedono ma possono comunicare a voce e passarsi le sigarette da un piccolo pertugio nel muro della dimensione giusta.

Nessuno dei due carcerati si fida dell'altro, come possono fare in modo che il gioco sia equo? Ovvero che entrambi abbiano \( 1/2\) di probabilità di vincere ad ogni lancio di moneta?

Una soluzione possibile è quella di "eliminare la moneta". Semplicemente si gioca così: A lancia la moneta, poi conta ad alta voce fino a 3 ed annuncia il risultato. Contemporaneamente, B annuncia la sua scommessa. In questo modo non importa che A menta su qual è il risultato del lancio, non importa proprio che lanci la moneta. Ma ho l'impressione che non sia questa la risposta giusta, vero?

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Eliminare la moneta no, anche perché se togli la moneta dopo non sono più equiprobabili i casi testa/croce. Uno potrebbe adottare una strategia (più di psicologia che altro).
Comunque teoricamente può funzionare, ma io non mi fiderei troppo a giocare così

[gabriella127]

In effetti sono d'accordo con hydro che il lancio della moneta non è essenziale. Anzi mi sembra che non serva, visto che uno può mentire e dire quello che gli pare, a prescindere dal risultato del lancio.
Ma c'è una cosa che non ho capito, e che chiedo a 3m0o: i detenuti possono essere disonesti nel dire il risultato del lancio. Ma possono essere disonesti pure nel passare le sigarette se perdono? Cioè, se uno perde poi le dà le sigarette all'altro di sicuro? Altrimenti è molto semplice reendere il gioco equo: mentire sempre e non passare mai le sigarette...

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I detenuti possono essere disonesti nel dire il risultato del lancio ma non nel passare le sigarette.

aggiunta

Come già detto a hydro, è vero che il detenuto che lancia la moneta può mentire, può essere disonesto e teoricamente potrebbe non lanciare mai la moneta adottando una strategia. Ma in questo modo la probabilità non è più 1/2. L'altro detenuto deve difendersi in qualche modo.

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"3m0o":
Dopo una settimana il direttore del carcere scopre che i due giocano d'azzardo nel suo carcere e gli impedisce di comunicare dopo aver fatto chiudere la fessura nel muro. Nonostante ciò i due carcerati corrompono un secondino, dandogli ciascuno 5 sigarette. La guardia farà da tramite sia per le sigarette sia per comunicare le relative scommesse e i risultati sul lancio della moneta. Questa volta i due carcerati, non solo continuano a non fidarsi l'uno dell'altro, ma temono entrambi che la guardia comunichi dei risultati fasulli ad entrambi e si tenga tutte le sigarette. Come fanno questa volta i carcerati a fare in modo che il gioco sia equo?

Per questo forse è bene aggiungere, che evidentemente i detenuti decidono la loro strategia comunicando direttamente tra loro prima che il carcere gli impedisca di comunicare, altrimenti la guardia potrebbe chiaramente interferire nella comunicazione della strategia.

[hydro1]

"3m0o":Eliminare la moneta no, anche perché se togli la moneta dopo non sono più equiprobabili i casi testa/croce. Uno potrebbe adottare una strategia (più di psicologia che altro).
Comunque teoricamente può funzionare, ma io non mi fiderei troppo a giocare così

Ma la domanda non era come rendere equiprobabili testa e croce, la domanda è come rendere equo il gioco, ovvero come far sì che ogni detenuto abbia il 50% di chances di vincere ad ogni lancio. Se tu tiri la moneta e poi mi dici croce il 100% delle volte e io scelgo testa o croce con 1/2 di probabilità, vinco il 50% delle volte comunque. Per questo è irrilevante che tu comunichi il risultato vero del lancio.

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"hydro":

[quote="3m0o"]Eliminare la moneta no, anche perché se togli la moneta dopo non sono più equiprobabili i casi testa/croce. Uno potrebbe adottare una strategia (più di psicologia che altro).
Comunque teoricamente può funzionare, ma io non mi fiderei troppo a giocare così

Ma la domanda non era come rendere equiprobabili testa e croce, la domanda è come rendere equo il gioco, ovvero come far sì che ogni detenuto abbia il 50% di chances di vincere ad ogni lancio. Se tu tiri la moneta e poi mi dici croce il 100% delle volte e io scelgo testa o croce con 1/2 di probabilità, vinco il 50% delle volte comunque. Per questo è irrilevante che tu comunichi il risultato vero del lancio.

[axpgn]

@hydro

"hydro":... Se tu tiri la moneta e poi mi dici croce il 100% delle volte e io scelgo testa o croce con 1/2 di probabilità, vinco il 50% delle volte comunque. Per questo è irrilevante che tu comunichi il risultato vero del lancio.

... mmmm ... non mi pare ... sarebbe vero se, per l'appunto, il primo dicesse sempre lo stesso valore, come dici tu, ma se invece dice "croce" con una probabilità $p$ diversa da $1$ allora se l'altro lancia una moneta il gioco non è più equo ... IMHO ...

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

Il problema è che la moneta non la vedono entrambi, quindi è importante quando si dicono le cose, cioè, ad esempio, se il primo carcerato sa già che il secondo ha detto 'croce' può mentire e dire 'è uscito testa'.
Per ovviare a questo farei così: i carcerati si possono accordare sul fatto che ognuno scrive su una sigaretta il suo testa o croce, e poi si scambiano la sigaretta attraverso il buco'. (Nel buco ci debvono passare due sigarettre contemporaneamente... o comunque i carcerati devono scrivere in contemporanea prima di vedere la sigaretta dell'altro. Oppure non scrivere su una sigaretta ma su pezzetti di carta piccoli che passno in due in contemporanea per il buco). Poi chi ha perso passa le due sigarette di posta.

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@axpgn

In realtà credo tu abbia ragione, ma c'è un modo per far sì che chi scommette, lanciando una moneta, ha 1/2 di probabilità di indovinare, indipendentemente dalla probabilità \(p\) con cui l'altro "sceglie" il risultato del lancio. Ma non funziona questo con la strategia di Hydro di dire al 3 entrambi il risultato e la scommessa.

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@gabriella127
edit:
editato due volte

Un idea molto bella! E hai centrato il punto!! Il problema è quando si danno le informazioni! Come la mettiamo però se dal pertugio del muro ci passa solo ed esclusivamente una sigaretta alla volta?

passarsi le sigarette da un piccolo pertugio nel muro della dimensione giusta.

non avevo visto il commento sul pezzetto di carta! La tua soluzione la accetterei, però dopo non riesci a risolvere l'estensione con il secondino in questo modo
edit 2:
No, non funziona perché come dice axpgn se si passano l'informazione nello stesso istante allora lo scommettitore non può difendersi lanciando lui stesso una moneta per far tornare la probabilità 1/2.

[gabriella127]

"3m0o":@gabriella127

Un idea molto bella! E hai centrato il punto!! Il problema è quando si danno le informazioni! Come la mettiamo però se dal pertugio del muro ci passa solo ed esclusivamente una sigaretta alla volta?

passarsi le sigarette da un piccolo pertugio nel muro della dimensione giusta.

Hai ragione, quindi avevo gia modificato il messaggio dicendo di scrivere su pezzetti di carta piccoli che ci passano, caso mai presi da un pezzetto di sigaretta. Il punto infatti secondo me è come e quando si danno le informazioni, se uno sa già ciò che dice l'altro è impossibile. Insomma, un modo per far passare qualcosa per il buco ci deve essere, un capello, qualunque cavolo (sò carcerati, mica mammolette).
Penso che Hydro volesse dire questo quando diceva che dicono in contemporanea al 3 il loro risultato.

[axpgn]

@3m0o

"3m0o":In realtà credo tu abbia ragione, ...

Grazie
Per la verità, io commentavo solo ciò che ha scritto hydro, nient'altro

Cordialmente, Alex

[hydro1]

@3m0o

"3m0o":@axpgn
In realtà credo tu abbia ragione, ma c'è un modo per far sì che chi scommette, lanciando una moneta, ha 1/2 di probabilità di indovinare, indipendentemente dalla probabilità \(p\) con cui l'altro "sceglie" il risultato del lancio. Ma non funziona questo con la strategia di Hydro di dire al 3 entrambi il risultato e la scommessa.

Sì certo, ovviamente quello che scommette deve scegliere testa e croce con il 50% ciascuno.

@axpgn

Mi sono espresso male. Hai ragione sul fatto che non ho il 50% di probabilità di vincere a ciascun lancio, ma il gioco rimane comunque equo, perchè il valore atteso della mia scommessa è 0.

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"3m0o":@gabriella127
edit:
editato due volte

[...]
edit 2:
No, non funziona perché come dice axpgn se si passano l'informazione nello stesso istante allora lo scommettitore non può difendersi lanciando lui stesso una moneta per far tornare la probabilità 1/2.

[gabriella127]

"3m0o":[quote="3m0o"]@gabriella127
edit:
editato due volte

[...]
edit 2:
No, non funziona perché come dice axpgn se si passano l'informazione nello stesso istante allora lo scommettitore non può difendersi lanciando lui stesso una moneta per far tornare la probabilità 1/2.

[/quote]

Non ho capito, uno solo lancia la moneta e basta...

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Carcerato A e carcerato B. Il gioco dovrebbe essere A lancia moneta, B scommette. Ma non vedendosi e non fidandosi, siccome A può essere disonesto potrebbe dire testa (o croce) con una probabilità differente di 1/2. Come fa a difendersi B se si comunicano l'informazione nello stesso istante?

[gabriella127]

[/spoiler][quote=3m0o]

Carcerato A e carcerato B. Il gioco dovrebbe essere A lancia moneta, B scommette. Ma non vedendosi e non fidandosi, siccome A può essere disonesto potrebbe dire testa (o croce) con una probabilità differente di 1/2. Come fa a difendersi B se si comunicano l'informazione nello stesso istante?

.

E' proprio quella la difesa, dirsi la comunicazione nello stesso istante.
Hai presente la morra cinese? E' lo stesso meccanismo.

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Va bene accetto la tua soluzione, e quella di Hydro naturalmente!
Per questo invece? NB: La comunicazione non può più avvenire nello stesso istante!

"3m0o":
[quote="3m0o"]
Dopo una settimana il direttore del carcere scopre che i due giocano d'azzardo nel suo carcere e gli impedisce di comunicare dopo aver fatto chiudere la fessura nel muro. Nonostante ciò i due carcerati corrompono un secondino, dandogli ciascuno 5 sigarette. La guardia farà da tramite sia per le sigarette sia per comunicare le relative scommesse e i risultati sul lancio della moneta. Questa volta i due carcerati, non solo continuano a non fidarsi l'uno dell'altro, ma temono entrambi che la guardia comunichi dei risultati fasulli ad entrambi e si tenga tutte le sigarette. Come fanno questa volta i carcerati a fare in modo che il gioco sia equo?

Per questo forse è bene aggiungere, che evidentemente i detenuti decidono la loro strategia comunicando direttamente tra loro prima che il carcere gli impedisca di comunicare, altrimenti la guardia potrebbe chiaramente interferire nella comunicazione della strategia.
[/quote]

Edit: ti faccio notare che anche il primo problema si può risolvere senza che la comunicazione avvenga nello stesso istante

[ot]In realtà il buco, le sigarette nel primo problema erano solo per abbellire il problema e renderla una storiella simpatica. Potremmo eliminare totalmente questi oggetti e prendere due tizi che non si vedono ma che possono comunicare a voce e vogliono giocare a testa o croce ma non si fidano.
Idem per l'altro, togliere tutte le considerazioni, e dopo aver deciso la modalità di gioco i due possono comunicare solo attraverso un terzo, che volendo può mentire ad entrambi (o solo a uno dei due) l'esito del risultato.[/ot]

[gabriella127]

Ok, penserò anche a un'altra soluzione.
La seconda domanda non l'ho ancora letta.