I calzini dello zio

[axpgn]

Il rituale di mio zio per vestirsi alla mattina (tranne la Domenica) include un viaggio al cassetto dei calzini dove (1) prende tre calzini a caso, poi (2) indossa una coppia dello stesso colore e rimette il terzo calzino nel cassetto oppure (3) se non ci sono due calzini dello stesso colore, li rimette tutti e tre nel cassetto e ripete i passi (1) e (3) finché non completa il passo (2).
Il cassetto "parte" il lunedì mattina con $16$ calzini ($8$ blu, $6$ neri e $2$ marroni) e "arriva" con quattro calzini il sabato sera.

a) In quale giorno della settimana, mediamente, lo zio impiega il maggior tempo per vestirsi?

b) In quale giorno della settimana è meno probabile che lo zio ottenga un paio di calzini dello stesso colore alla prima "estrazione"?



Cordialmente, Alex

[mgrau]

a) Quando ci sono 6 calzini (che suppongo sia il sabato mattina)
b) a me sembra la stessa domanda di a)

[axpgn]

a) Qual è il giorno? E perché? Ovvero va dimostrato che il giorno in questione è quello in cui, mediamente, lo zio deve effettuare più viaggi al cassetto dei calzini.

b) No.

Cordialmente, Alex

[mgrau]

Ho ragionato così:
il primo giorno ci sono 4,3 e 1 coppie di calzini. Suppongo che in media la coppia di calzini estratta più di frequente sia quella con il colore più rappresentato, quindi (sempre in media, e non lo ripeto più) il secondo giorno abbiamo 3,3,1 coppie, il terzo 3,2,1 coppie, il quarto 2,2,1 , il quinto 2,1,1 e il sesto (sabato mattina) 1,1,1.
L'altra idea è che ci sia maggiore probabilità di estrarre due calzini uguali quando c'è un colore di maggioranza, o in generale quando i tre colori non sono ugualmente rappresentati, quindi la probabilità minore (quindi più tentativi) al sabato. Questo così a lume di naso, se vuoi una dimostrazione di questo assunto ci devo pensare (sempre che sia giusto)
Se poi mi spieghi perchè a) e b) non sono equivalenti...

[axpgn]

Il fatto è che l'intuito è una buona cosa ma la realtà talvolta è un'altra, specialmente quando le differenze sono minime

"mgrau":Se poi mi spieghi perchè a) e b) non sono equivalenti...

Perché i risultati che ho sono differenti
Sono equivalenti solo al lunedì

Cordialmente, Alex

[Umby2]

Non penso che la soluzione sia molto facile...

Io provo a scrivere 4 linee di codice... Cosa verrà, non so...

[axpgn]

Pensavo molto peggio ... con pazienza si fa, really
Comunque anche gli autori, per sicurezza, hanno fatto simulazioni al computer.

Cordialmente, Alex

[Umby2]

"axpgn":

Cordialmente, Alex

e lo so, che si fa, ma ci vuole tanta pazienza...
io preferisco far lavorare il mio procio...

help, come si chiama quell'utente che scrive il codice anche lui ? non ricordo il nick..

[axpgn]

Mi sa che non c'è più ...

[Umby2]

Sono a mercoledì, se qualcuno ha voglia di continuare...
Scommetto pochi cents, sulla bontà dei risultati, magari, vediamo altre soluzioni.

Il lunedì è il giorno più semplice, perchè si parte da una situazione iniziale certa [8B+6N+2M]
Abbiamo 576 su 3.360 che i 3 calzini siano spaiati (vedi calcolo), e quindi la
percentuale che escano (dai 3 calzini), due accoppiati è pari all' 82%.

Il martedì questa percentuale scende all' 81%,
ed il giorno successivo all' 80%

............. continuate .............

(osservazioni sul calcolo ? errori ? dite pure...)

[axpgn]

No, no, i numeri sono giusti (quelli rossi, gli altri non li ho guardati )
Però non è ancora la risposta ... peraltro del punto b)


Cordialmente, Alex

[Umby2]

"axpgn":No, no, i numeri sono giusti

Certo che, lo spirito di collaborazione è altissimo...
si, vabbè, hai confrontato il risultato finale dal tuo testo/sito,
a me interessava maggiormente lo sviluppo del calcolo
(i numeretti che non hai letto),
par capire, se la strada da me intrapresa, fosse corretta, ovvero,
esiste una soluzione più "elementare".

Cmq, per completare gli altri giorni,
e seguendo, più o meno, lo stesso concetto di prima, ho "scoperto",
che la % di accoppiamento, tende a diminuire, fino al venerdì, per poi risalire,
peccato che il testo non parla della domenica, dove finalmente, il povero zio,
avendo solo 4 calzini rimasti, avrebbe la certezza (prendendone sempre 3),
di avere un accoppiamento sicuro.

Per chiarezza, posto la screen con le %.

[Umby2]

"mgrau":
Se poi mi spieghi perchè a) e b) non sono equivalenti...

La domanda a) sembra molto stupida, ma in realtà nasconde un concetto molto sottile, che (ad una prima analisi) sfugge.
Potremmo dire che a) è il reciproco di b), pertanto risolvendo b), abbiamo risolto anche a),
ed invece, nasconde un piccolo "tranello"

Quale ?

[axpgn]

"Umby":Certo che, lo spirito di collaborazione è altissimo...

Scusami ma che c'entra? A parte il fatto che i calcoli io li ho fatti, generalmente si presume che se uno posta un quesito tocca agli altri rispondere, non ti pare?
Ma soprattutto se volevi che verificassimo il tuo procedimento, avresti dovuto spiegarlo e non solo mettere una sfilza di numeri dai quali avremmo dovuto ricavare noi la logica e il ragionamento che tu hai fatto

"Umby":Quale ?

Appunto, dovresti dirlo tu, io lo so


Comunque i risultati sono giusti,


Cordialmente, Alex

[Umby2]

"axpgn":
Scusami ma che c'entra?

No ma,
(anche se ti ho quotato),
il messaggio non era diretto a te,
ma generico al forum.

[mgrau]

Ho cercato di interpretare la tabella dei conti pubblicata alla fine della prima pagina, e mi pare di aver capito che, per martedì, ad esempio, si fanno tre conti diversi, secondo che la coppia estratta lunedì sia stata blu, nera o marrone, e per ciascuno dei tre casi, si calcola la probabilità di pescare una coppia su tre calzini.
Però, mi pare che in questo modo si assume che la probabilità di pescare i tre colori sia uguale, cosa che evidentemente non è, per cui i tre casi andrebbero pesati in modo diverso.
Ho capito male?

[axpgn]

Sì.
I tre casi (del martedì) sono pesati in modo diverso ovvero in funzione della probabilità con cui si presentano, non tutti e tre equivalenti.

Cordialmente, Alex

[mgrau]

Ok. Immagino che i pesi siano i numeri 1680/2784 ecc.
Ma da dove vengono questi numeri? E come mai nel terzo caso viene zero? Cioè, capisco che se abbiamo pescato il paio marrone la probabilità di fallire è zero, ma non capisco i calcoli.
Potreste spiegare più diffusamente, per il popolo, la logica che sta sotto?

[axpgn]

Questa è la tabella che ho fatto per il lunedì:


La probabilità di pescare almeno un paio di calzini dello stesso colore al primo colpo è di $29/35$ cioè $82,86%$ e la lunghezza media del "viaggio" è $1.2069$ che è l'inverso della probabilità.

Al martedì, i casi che si possono presentare sono tre: manca un paio blu con probabilità $60.34%$, manca un paio nero con probabilità $36.64%$ e manca un paio marrone con probabilità $3.02%$ (questi sono i "pesi" di ogni caso).
Questa è la tabella che ho fatto per il martedì:

Le probabilità di pescare almeno un paio di calzini dello stesso colore è diversa a seconda del caso (è il complemento a uno della riga evidenziata) e la probabilità globale (reale se così possiamo dire) è la media pesata di queste probabilità con i tre pesi che ho citato prima ed è pari a $81.63%$
Ovviamente la lunghezza media del viaggio di ogni caso è diversa ed è l'inverso di ciascuna probabilità MA la lunghezza media del viaggio globale/reale non è l'inverso della probabilità globale/reale ma la media pesata di questi tre valori e vale $1.2270$
Ecco perché non sono equivalenti.
Questi valori calcolati hanno anche riscontro in simulazioni del problema fatte al computer.

Cordialmente, Alex

[Umby2]

"mgrau":Ok. Immagino che i pesi siano i numeri 1680/2784 ecc.
Ma da dove vengono questi numeri?

Ovviamente, bisogna tenere conto delle diverse % di uscita.
Io ho lavorato sulle disposizioni, anche se sarebbe stato più corretto,
lavorare sulle combinazioni (ma fa lo stesso !!).

a titolo di esempio:
ho 336 disp. di tipo [BBB], 1.008 di tipo [BBN], e 336 di tipo [BBM]
le 3 tipologie determinano una coppia [BB], con lo scarto del 3 calzino,
da questi 3 dati esce il 1.680 come somma di 336+1008+336=1680.

A questo punto, entra in gioco una sorta di Bayes,
nel senso che ho:
[BB] 1680
[NN] 1020
[MM] 84
questi goal vanno rapportati, non con 3.360, ma con 3.360 - 576 (spaiati) = 2.784
(il motivo è semplice, se escono 3 calzini spaiati, verranno rimessi a posto,
e rifatto un nuovo sorteggio), pertanto vengono come dire "esclusi" dal calcolo

Se ci fai caso, per il martedì,
ci sta una colonna in più, (rispetto a quella semplice del lunedì)

per il [662] (il lunedì è uscita la coppia [BB]), troverai un 1680/2784
per il [842] (il lunedì è uscita la coppia [NN]), troverai un 1020/2784
per il [86-] (il lunedì è uscita la coppia [MM]), troverai un 84/2784

[mgrau]

@axpgn @umby
Mamma mia! Quanti calcoli! Ringrazio entrambi per la disponibilità. Cercherò di capirci qualcosa.
In particolare la questione della non equivalenza delle due domande, che mi appare ancora oscura