I calzini dello zio

[axpgn]

Il rituale di mio zio per vestirsi alla mattina (tranne la Domenica) include un viaggio al cassetto dei calzini dove (1) prende tre calzini a caso, poi (2) indossa una coppia dello stesso colore e rimette il terzo calzino nel cassetto oppure (3) se non ci sono due calzini dello stesso colore, li rimette tutti e tre nel cassetto e ripete i passi (1) e (3) finché non completa il passo (2).
Il cassetto "parte" il lunedì mattina con $16$ calzini ($8$ blu, $6$ neri e $2$ marroni) e "arriva" con quattro calzini il sabato sera.

a) In quale giorno della settimana, mediamente, lo zio impiega il maggior tempo per vestirsi?

b) In quale giorno della settimana è meno probabile che lo zio ottenga un paio di calzini dello stesso colore alla prima "estrazione"?



Cordialmente, Alex

[Umby2]

"mgrau":
Ringrazio entrambi per la disponibilità.

Grazie a te, per aver ringraziato, ( di solito si preferisce polemizzare )

Inizialmente, avrei voluto scrivere un po di codice, per "verificare" i dati da me inseriti,
ma poi, per pigrizia, non l'ho più fatto !!!

[3m0o]

Ciao, chiamando \( p_{x} \) la probabilità che nel giorno \( x \) lo zio peschi almeno due calzini di colore uguale. Risulta chiaro che \( p_{x} = p_{x,blu}+ p_{x,nero} +p_{x,marrone} \). Queste tre probabilità sono condizionate dai giorni precedenti e diventa un casino calcolarlo. Ma sono abvastanza sicuro che c'è una formula ricorsivaper calcolarla.
Sono in treno quindi non sono sicuro ma il lunedì è facilenda calcolare. Al martedì abbiamo la certezza che una coppia di calzini di colore uguale è andato via. Al mercoledì abbiamo la certezza che due coppie di calzino uguali non ci son più etc. Quindi al giorno \( x\) sono andati via \(x-1\) coppie di calzino uguali. Ad esempio per
\[p_{x,blu}= P(2 \text{ calzini blu al giorno } x) = \sum_{b=0}^{min(4,x)} P(2 \text{ calzini blu al giorno } x|2b \text{ calzini blu son stati gia pescati}) \]
Una volta calcolate tutte queste probabilità condizionate si possono calcolare le probabilità \(p_x\), e si prende il minimo per la domanda b) per la domanda a) invece bisogna calcolarsi l'aspettativa \[ E(\text{ pescate al giorno } x) =\sum_{i=1}^{\infty} i \cdot (1-p_x)^{i-1} p_x=1/p_x \]
E si prende il massimo. Anche a me sembrano equivalenti le domande

[axpgn]

Per completezza riporto la tabella relativa alla "lunghezza" media del numero di "viaggi" al cassetto dei calzini (la tabella delle probabilità è già stata postata da Umby)

"3m0o": Anche a me sembrano equivalenti le domande

No che non sono equivalenti; mi sa che sei distratto, prova a rileggere tutto il thread

Cordialmente, Alex

[Umby2]

"axpgn":
Per completezza riporto la tabella relativa alla "lunghezza" media del numero di "viaggi"....

a parte qualche arrotondamento, mi ritrovo con la tabella,
ti chiedo: l'hai calcolata te ? oppure riportata dal testo / sito ?
chiedo perchè vorrei confrontare la mia soluzione (la modalità di calcolo,
non tanto il risultato finale), con il tuo ragionamento,
considerato che io ho utilizzato il famosissimo "Teorema del Salumiere"

A titolo di esempio, tralasciando lo scontato dato del lunedì,
mi puoi dare maggiori cifre decimali per quello del martedì ?
(non mi trovo esattamente, parlo del 1,2270)

[Umby2]

"3m0o":
Anche a me sembrano equivalenti le domande

IMHO:
è la parte più interessante del quesito... effettivamente la domanda può sembrare equivalente alla prima,
ma c'e' una "piccola" considerazione da fare....

[axpgn]

@Umby
La tabella è quella del libro, io ho calcolato fino a mercoledì per verifica (e poi basta )
Peraltro puoi vedere come ho fatto guardando le tabelle di lunedì e martedì che avevo riportato qui
Se hai dei dubbi, chiedi pure ...


Cordialmente, Alex

[Umby2]

"axpgn":@Umby
Se hai dei dubbi, chiedi pure ...

Nessun dubbio....
Ti chiedevo solo "maggiori decimali" per verificare il mio risultato con il tuo... (visto che ho delle piccole differenze)

la tua tabella, l'avevo vista, ma non è indicato, come esce fuori il 1,2270 !!!!

[axpgn]

Martedì (uso i dati della tabella che ho riportato ma chiaramente nel foglio Excel originale i decimali che usa sono molti di più, dovrei ricalcolarli ma non ho molta voglia ... )

Nel caso $662$ la probabilità di estrarre un calzino al primo colpo è $80.2198%$
Nel caso $842$ la probabilità di estrarre un calzino al primo colpo è $82.4176%$
Nel caso $860$ la probabilità di estrarre un calzino al primo colpo è $100%$

La probabilità complessiva (o globale o totale o quel che è, non so come si dice ... ) è:

$80.2198%*60.34483%+82.4176%*36.63793%+100%*3.01724%=81.6218445%$

Nel caso $662$ l'aspettativa di estrarre un paio di calzini dello stesso colore è $1/(80.2198%)=1.24657035$
Nel caso $842$ l'aspettativa di estrarre un paio di calzini dello stesso colore è $1/(82.4176%)=1.213333074$
Nel caso $860$ l'aspettativa di estrarre un paio di calzini dello stesso colore è $1/(100%)=1$

L'aspettativa complessiva (o globale o totale o quel che è, non so come si dice ... ) è:

$1.24657035*60.34483%+1.213333074*36.63793%+1*3.01724%=1.226956105$


Ok?

Cordialmente, Alex

[Umby2]

si, ora è piu' preciso...
a me quel numero esce fuori dal rapporto tra:
3415,847 / 2784 = 1,226956

io ho fatto tutti i calcoli "senza arrotondamenti" e quindi ho qualche valore,
leggermente diverso dal tuo....
ma sul risultato finale, mi trovo... quindi direi ok...

[axpgn]

Beh, mi sarebbe piaciuto continuare con le frazioni ma ho trovato più pratico proseguire con le percentuali