Griglia quadrata

[axpgn]

Qual è il minimo numero di quadrati che è necessario disegnare su un foglio bianco in modo da ottenere una completa griglia con lato di $n$ quadrati?



Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Per $n=1$ serve $1$ quadratino.
Per $n \ge 2$ il numero mnimo di quadratini e' $\floor (n^2/2 ) + 2(n-1)$

[axpgn]

No.

[gabriella127]

Io non ho capito il testo. Cos'è un 'completa griglia'?

[Quinzio]

"axpgn":No.

In che senso ?

Comunque direi di esserci vicino, almeno... o no ?

[Quinzio]

"gabriella127":Io non ho capito il testo. Cos'è un 'completa griglia'?

Ad es. prendi un quadrato di lato 7 e lo suddividi in 7x7=49 quadratini interni di lato 1, formando un griglia regolare e completa.
Probabilmente e' una traduzione pedante dall'inglese: "complete grid" -> "completa griglia"
Questo e' quello che devi ottenere, non come lo ottieni...
Almeno io l'ho capita cosi', ma Alex mi ha bocciato la risposta , quindi e' meglio attendere.

[gabriella127]

Boh grazie, ma continuo a non capire, dice di disegnare i quadrati su un foglio bianco, non dentro un quadrato.
Per me una griglia, per la mia psiche, è una cosa non necessariamente quadrata fatta di segmenti di retta che si incrociano, v. pesce alla griglia o anche irregolare come le due figure sotto.
'Completa' non ho idea.

[axpgn]

"gabriella127":Io non ho capito il testo. Cos'è un 'completa griglia'?

È un problema olimpico (avrei dovuto metterlo in "Scervelliamoci" ) ma l'originale è anche peggio della mia traduzione
Verifica tu stessa:
"Whas is the minimum number of squares that one needs to draw on a white sheet in order to obtain a complete grid with $n$ squares on a side?"
Io l'ho interpretato nel senso di disegnare una griglia quadrata di quadratini uguali, come una scacchiera insomma. Chiaramente questo è l'obiettivo da raggiungere ed è altrettanto chiaro che per disegnare una griglia $7 xx 7$ non è necessario disegnare $49$ quadratini
Vista la soluzione, credo sia l'interpretazione corretta.

@Quinzio
Sono troppi

[gabriella127]

Ah però il testo in inglese dice con n quadrati su un lato , non con lato di $n$ quadrati, che fa pensare a una griglia quadrata, cioè con tutti i lati di $n$ quadrati.

Ci va l'articolo un nella traduzione, e quindi, credo che una griglia sia come nella mia figura, anche quella rossa è una griglia, con un lato, quello a sinistra di $4$ quadrati.

Completa boh, forse vuol dire che non ha buchi dentro, quadratini mancanti.

Domanda scritta con i piedi, da quelli delle olimpiadi, intendo, a meno che lì non ci sia una tradizione consolidata di cosa è una griglia completa, che sfugge all'uomo comune.

[axpgn]

"gabriella127":Ah però il testo in inglese dice con n quadrati su un lato , non con lato di $n$ quadrati, che fa pensare a una griglia quadrata, cioè con tutti i lati di $n$ quadrati.

Capisco quello che vuoi dire perché ci ho perso parecchio tempo anch'io su quell'articolo ma, come ho detto anche dopo aver visto la soluzione, intendono una cosa come una scacchiera.
Di solito i problemi olimpici non sono scritti così (per la verità è uno dei problemi candidati olimpici che però fa parte di una raccolta ufficiale)

[gabriella127]

Incomprensibile. Perché una scacchiera e che vuol dire completa?
Forse vedendo la soluzione si capisce meglio.

[axpgn]

"Completa" perché come hai detto non ci sono "buchi" e "scacchiera" perché (a mio parere) era quello che avevano in testa

[gabriella127]

Allora prima di fare il quiz bisogna fare una tac al cervello a quelli che l'hanno scritto.

[axpgn]

Beh, si può fare lo stesso anche senza, è più interessante

Metto un hint (generoso secondo me )

[Quinzio]

"axpgn":

Metto un hint (generoso secondo me )

Mi e' venuto un dubbio sconvolgente:

Il bordo del quadrato $n \times n$ e' gia' disegnato (e quindi non vanno aggiunti quadratini per disegnarlo) o va aggiunto ?

La mia soluzione presuppone che il bordo sia da disegnare.

[gabriella127]

"Quinzio":[quote="axpgn"]

Metto un hint (generoso secondo me )

Mi e' venuto un dubbio sconvolgente:

Il bordo del quadrato $n \times n$ e' gia' disegnato (e quindi non vanno aggiunti quadratini per disegnarlo) o va aggiunto ?

La mia soluzione presuppone che il bordo sia da disegnare.

[/quote]

Ma infatti il testo dice 'su un foglio bianco'.

[axpgn]

Partendo da un foglio bianco, certamente.

[Quinzio]

"axpgn":Partendo da un foglio bianco, certamente.

Ma allora la mia formula dovrebbe andare bene.
Prima bisogna mettere i quadrati come quelli neri di una scacchiera degli scacchi, per capirci.
E questi sarebbero $\floor(n^2/2)$
In piu' lungo la cornice bisogna aggiungere le caselle bianche in modo da fare il bordo.
Alla fine sono $\floor(n^2/2)+ 2(n-1)$.

[axpgn]

No, sono troppi.
Hai visto quanti ne ho disegnato nel mio hint (per $n=2$)?

[Quinzio]

"axpgn":No, sono troppi.
Hai visto quanti ne ho disegnato nel mio hint (per $n=2$)?

Ooook.
Io avevo dato per scontato che i quadrati da disegnare dovessero avere lato 1.
Invece si possono disegnare dei quadrati di lato qualsiasi (intero ovviamente).

[Quinzio]

"axpgn":No, sono troppi.
Hai visto quanti ne ho disegnato nel mio hint (per $n=2$)?

Allora dovrebbero essere $2n-1$