Gioco di carte apparentemente banale
Si sta giocando al gioco delle tre carte. Il giocatore indica una carte. A questo punto il banco scopre una delle altre due carte (ovviamente scopre una carta non vincente). A questo punto si ha la possibilità di cambiare carta o continuare a giocare sulla stessa.
Cosa conviene fare?
Questo giochetto (che sembra tanto stupido), ha fatto cadere lo stesso Erdos, e con lui una miriade di matematici.
Anch'io nel mio piccolo non avrei esitato a dare la risposta che diedero loro.
Anche se molti di voi avranno già sentito parlare di questo gioco, per il momento voglio vedere cosa rispondete, e per questo non do la soluzione.
Ho aperto questo topic perchè voglio capire col vostro aiuto cos'ha di patologico questo problema apparentemente così semplice.
Platone
Cosa conviene fare?
Questo giochetto (che sembra tanto stupido), ha fatto cadere lo stesso Erdos, e con lui una miriade di matematici.
Anch'io nel mio piccolo non avrei esitato a dare la risposta che diedero loro.
Anche se molti di voi avranno già sentito parlare di questo gioco, per il momento voglio vedere cosa rispondete, e per questo non do la soluzione.
Ho aperto questo topic perchè voglio capire col vostro aiuto cos'ha di patologico questo problema apparentemente così semplice.
Platone
Risposte
Ciao,
la risposta è: cambiare la carta!
La patologia secondo me discende dalla definizione di "probabilità di un evento" che non è possibile definire intrinsecamente.
la risposta è: cambiare la carta!
La patologia secondo me discende dalla definizione di "probabilità di un evento" che non è possibile definire intrinsecamente.
Certo, oramai è risaputo che la risposta è quella.
Ma praticamente come ci arrivi a quel risultato?
Facendo un discorso un po' più formale, si dovrebbe avere che la probabilità che il premio sia dietro la prima carta scelta sia minore rispetto all'altra carta.
Ma, inizialmente le tre carte hanno tutte la stessa probabilità, mentre successivamente (usando la probabilità condizionata), l'ulteriore informazione in mio possesso è che so con certezza una delle tre carte che non vince. A questo punto "ridistribuisco la mia fiducia" tra le due carte rimaste" (come ale volte si usa dire) e ottengo un'eguale probabilità del 50%.
Perchè nel momento in cui rimangono solo due carte dovrei ripartire in maniera non equa la "mia fiducia" tra di esse?
Forse (o meglio, evidentemente) la risposta sta nel fatto che quando si scopre una carta, non si scopre una carta a caso tra le tre, ma tra le altre due non scelte dal concorrente. Ma se è così, come questo entra formalmente nel calcolo della probabilità dell'evento?
Non so cosa intendi per definizione intrinseca, ma accettando la definizione basata sugli assiomi di Kolmogorof (al 99% non si scrive così), che è una definizione "operativa", a prescindere poi dai possibili riscontri empirici (tipo simulazione random al computer dell'evento un numero statisticamente alto di volte), formalmente non dovrebbero esserci cmq problemi.
Nel caso quest'ultimo possaggio non sia stato chiaro, ecco un esempio chiarificatore.
Quello che voglio dire e che, per esempio, a prescindere se nella realtà la geometria che governa il modo sia quella euclidea o meno, una volta che si fissano gli assiomi, all'interno di quel sistema le cose "funzionano"; no?
Stessa cosa credo debba valere per la teoria della probabilità.
Aspetto commenti.
Platone
Ma praticamente come ci arrivi a quel risultato?
Facendo un discorso un po' più formale, si dovrebbe avere che la probabilità che il premio sia dietro la prima carta scelta sia minore rispetto all'altra carta.
Ma, inizialmente le tre carte hanno tutte la stessa probabilità, mentre successivamente (usando la probabilità condizionata), l'ulteriore informazione in mio possesso è che so con certezza una delle tre carte che non vince. A questo punto "ridistribuisco la mia fiducia" tra le due carte rimaste" (come ale volte si usa dire) e ottengo un'eguale probabilità del 50%.
Perchè nel momento in cui rimangono solo due carte dovrei ripartire in maniera non equa la "mia fiducia" tra di esse?
Forse (o meglio, evidentemente) la risposta sta nel fatto che quando si scopre una carta, non si scopre una carta a caso tra le tre, ma tra le altre due non scelte dal concorrente. Ma se è così, come questo entra formalmente nel calcolo della probabilità dell'evento?
Non so cosa intendi per definizione intrinseca, ma accettando la definizione basata sugli assiomi di Kolmogorof (al 99% non si scrive così), che è una definizione "operativa", a prescindere poi dai possibili riscontri empirici (tipo simulazione random al computer dell'evento un numero statisticamente alto di volte), formalmente non dovrebbero esserci cmq problemi.
Nel caso quest'ultimo possaggio non sia stato chiaro, ecco un esempio chiarificatore.
Quello che voglio dire e che, per esempio, a prescindere se nella realtà la geometria che governa il modo sia quella euclidea o meno, una volta che si fissano gli assiomi, all'interno di quel sistema le cose "funzionano"; no?
Stessa cosa credo debba valere per la teoria della probabilità.
Aspetto commenti.
Platone
Mah, io non vedo perché chiamare in causa gli assiomi della probabilità per un problema così banale. Basta un semplice ragionamento. Tu hai tre carte. La probabilità che scegliendone una a caso c'azzecchi quella giusta è 1/3. Quindi poi conviene cambiare la carta semplicemente perché la probabilità che tu abbia sbagliato è 2/3, e quindi la probabilità che la carta giusta sia l'altra rimasta è 2/3!
Si capisce meglio ragionando così. Immagina che invece che 3 carte ce ne siamo 1000. Il banco ti dice: scegli una carta. Poi il banco scarta tutte le altre 998 sbagliate, lasciandone solo 2, di cui una è la tua. La probabilità che tu abbia sbagliato è 999/1000. Quindi la probabilità che la carta vincente sia quell'altra rimasta (non la tua) è 999/1000. Direi che conviene cambiare!
Si capisce meglio ragionando così. Immagina che invece che 3 carte ce ne siamo 1000. Il banco ti dice: scegli una carta. Poi il banco scarta tutte le altre 998 sbagliate, lasciandone solo 2, di cui una è la tua. La probabilità che tu abbia sbagliato è 999/1000. Quindi la probabilità che la carta vincente sia quell'altra rimasta (non la tua) è 999/1000. Direi che conviene cambiare!
Ciao (di nuovo),
Per Platone: al posto di "intrinseca" forse avrei dovuto usare "oggettiva". Il problema sta in come vedi il gioco e quindi lo spazio sottostante, la mia logica mi porta a vedere il gioco come una successione di due eventi non indipendenti e quindi la risposta è: "cambiare la carta". Infine, come dici tu, fissate le regole il tutto funziona ma qui ci si sta chiedendo quale siano le regole da adottare.
P.S. La patologia risiede nel fatto che alcune volte non esiste una sola probabilità "oggettiva". Se sei interessato, magari, puoi cercare il paradosso de: "L'ago di Buffon" (non è il portiere).
Per Fields: il ragionamento è quello ma le probabilità che hai menzionato son sbagliate (anche tenere la carta iniziale costituisce una scelta e quindi un evento)
Prob(Vittoria cambiando la carta)=2/3*1/2
Prob(Vittoria non cambiando la carta)=1/3*1/2
Per Platone: al posto di "intrinseca" forse avrei dovuto usare "oggettiva". Il problema sta in come vedi il gioco e quindi lo spazio sottostante, la mia logica mi porta a vedere il gioco come una successione di due eventi non indipendenti e quindi la risposta è: "cambiare la carta". Infine, come dici tu, fissate le regole il tutto funziona ma qui ci si sta chiedendo quale siano le regole da adottare.
P.S. La patologia risiede nel fatto che alcune volte non esiste una sola probabilità "oggettiva". Se sei interessato, magari, puoi cercare il paradosso de: "L'ago di Buffon" (non è il portiere).
Per Fields: il ragionamento è quello ma le probabilità che hai menzionato son sbagliate (anche tenere la carta iniziale costituisce una scelta e quindi un evento)
Prob(Vittoria cambiando la carta)=2/3*1/2
Prob(Vittoria non cambiando la carta)=1/3*1/2
No, Andrea2976, le probabilità sono quelle che ho detto io. La probabilità di vincere cambiando carta è 2/3. Se come dici il ragionamento è giusto, devi accettarne anche le conclusioni.
E poi se se sommi le probabilità che hai ottenuto, 2/6 e 1/6, hai che la somma è minore di 1! Del resto tu dici: Prob(Vittoria non cambiando la carta)=1/3*1/2. Sbagliato! Infatti,
Prob(Vittoria non cambiando la carta)=Prob(Di aver scelto al primo colpo la carta giusta)=1/3
E poi se se sommi le probabilità che hai ottenuto, 2/6 e 1/6, hai che la somma è minore di 1! Del resto tu dici: Prob(Vittoria non cambiando la carta)=1/3*1/2. Sbagliato! Infatti,
Prob(Vittoria non cambiando la carta)=Prob(Di aver scelto al primo colpo la carta giusta)=1/3
Ciao Fields,
la somma delle probabilità di tutti gli eventi deve dar uno, quelli son solo due...deve metterci anche "la probabilità di perdere cambiando la carta" e "la probabilità di perdere non cambiando la carta".
la somma delle probabilità di tutti gli eventi deve dar uno, quelli son solo due...deve metterci anche "la probabilità di perdere cambiando la carta" e "la probabilità di perdere non cambiando la carta".
Andrea2976, quello che dici è vero in generale ma in questo caso particolare abbiamo
Prob(vittoria SE cambi carta)=Prob(di non aver scelto al primo colpo la carta giusta)=2/3
Prob(vittoria SE non cambi carta)=Prob(di aver scelto al primo colpo la carta giusta)=1/3
Da ciò risulta che la miglior strategia è quella di cambiare carta.
Inoltre, Prob(vittoria SE cambi carta)+Prob(vittoria SE non cambi carta)=1.
Credo che la tua errata interpretazione sia questa. Qui non sono in gioco due eventi, ma ci si chiede la probabilità di un singolo evento, ovvero la probabilità di vincere SE cambi carta, e la probabilità di vincere SE non cambi carta, cioé ci si chiede la probabilità di vincere adottando una particolare strategia fissata, quindi in realtà si compie una sola scelta, non due.
Prob(vittoria SE cambi carta)=Prob(di non aver scelto al primo colpo la carta giusta)=2/3
Prob(vittoria SE non cambi carta)=Prob(di aver scelto al primo colpo la carta giusta)=1/3
Da ciò risulta che la miglior strategia è quella di cambiare carta.
Inoltre, Prob(vittoria SE cambi carta)+Prob(vittoria SE non cambi carta)=1.
Credo che la tua errata interpretazione sia questa. Qui non sono in gioco due eventi, ma ci si chiede la probabilità di un singolo evento, ovvero la probabilità di vincere SE cambi carta, e la probabilità di vincere SE non cambi carta, cioé ci si chiede la probabilità di vincere adottando una particolare strategia fissata, quindi in realtà si compie una sola scelta, non due.
Riciao,
a me sembra tutto molto ridondante cmq...sia che tu veda il gioco come un solo evento sia come due la strategia migliore è: cambiare la carta.
La patologia non risiede nel fatto che siano uno o due eventi (infatti cmq sia...la strategia migliore è: cambiare la carta (maledette carte)).
L'unico modo di vederla, "a mio avviso", è considerare il gioco in due eventi e chiedersi: sono indipendenti?
(Più che altro, visto che alla fine mi ritrovo a sciegliere tra due carte, la scelta precedente influenza il gioco?)
Questo, di cui sopra, è il vero dilemma.
P.S. Per inciso sia il mio modo di veder il gioco sia il tuo sono equivalenti perché portano alla stessa conclusione, ma come già esposto "non è questo il problema".
a me sembra tutto molto ridondante cmq...sia che tu veda il gioco come un solo evento sia come due la strategia migliore è: cambiare la carta.
La patologia non risiede nel fatto che siano uno o due eventi (infatti cmq sia...la strategia migliore è: cambiare la carta (maledette carte)).
L'unico modo di vederla, "a mio avviso", è considerare il gioco in due eventi e chiedersi: sono indipendenti?
(Più che altro, visto che alla fine mi ritrovo a sciegliere tra due carte, la scelta precedente influenza il gioco?)
Questo, di cui sopra, è il vero dilemma.
P.S. Per inciso sia il mio modo di veder il gioco sia il tuo sono equivalenti perché portano alla stessa conclusione, ma come già esposto "non è questo il problema".
Be', i nostri approcci non sono equivalenti se portano a calcolare 2 diverse probabilità. Il fatto che tu concluda che la migliore strategia sia quella di cambiare carta, come è effettivamente corretto, ma poi calcoli una probabilità sbagliata, significa che il tuo ragionamento non è corretto.
Il mio post precendente era puntato in un altra direzione, ma non mi sembra che tu ci abbia fatto caso.
Cmq se sei convinto che la ragione sia dalla tua...ok, non aggiungerò altro ma il dibattito era incentrato su altro.
P.S. Hai delle basi così solide in probabilità per aver tutte qst certezze?
Cmq se sei convinto che la ragione sia dalla tua...ok, non aggiungerò altro ma il dibattito era incentrato su altro.
P.S. Hai delle basi così solide in probabilità per aver tutte qst certezze?
Andrea2976, scusa se ti ho dato l'impressione di pretendere di aver ragione. Io ho semplicemente prodotto un argomentazione che mi sembra ineccepibile dal punto di vista logico, e su questa fondo le mie certezze. Se poi riesci a trovare un errore sono pronto a rivederla. 
Ps: ovviamente ho studiato un corso universitario di calcolo delle probabilità. Tuttavia spesso si incontrano problemi per i quali servono soltanto conoscenze elementari, e le persone sbagliano a risolvere i problemi perché non formulano correttamente il problema o non vedono chiaramente quali probabilità stanno calcolando. Hai mai notato quante persone credono in cose tipo "numeri ritardatari al lotto"? Questo perché confondono la probabilità con la probabilità condizionata, o altre cose del genere.
Ps: ovviamente ho studiato un corso universitario di calcolo delle probabilità. Tuttavia spesso si incontrano problemi per i quali servono soltanto conoscenze elementari, e le persone sbagliano a risolvere i problemi perché non formulano correttamente il problema o non vedono chiaramente quali probabilità stanno calcolando. Hai mai notato quante persone credono in cose tipo "numeri ritardatari al lotto"? Questo perché confondono la probabilità con la probabilità condizionata, o altre cose del genere.
http://it.wikipedia.org/wiki/Problema_d ... #Soluzione
Qui è riportata la soluzione. Ha ragione Fields solo per il calcolo delle probabilità, ma la soluzione corretta è argomentata come dicevo io (sul link sotto Teorema di Bayes...solo che ho sbagliato a calcolare le probabilità).
FINE
Qui è riportata la soluzione. Ha ragione Fields solo per il calcolo delle probabilità, ma la soluzione corretta è argomentata come dicevo io (sul link sotto Teorema di Bayes...solo che ho sbagliato a calcolare le probabilità).
FINE
L'argomentazione che dice: "è piu' probabile che abbia sbagliato" l'avevo già letta, ed effettivamente mi convince.
Però ora sto facendo la parte dell'avvocato del diavolo.
Modifichiamo l'esperimento aliatorio nel seguente modo. Gioco al gioco delle tre carte da solo (senza banco). Scelgo una carta ma senza girarla. Poi a caso giro una delle altre due e si scopre una carta NON vincente.
E ora? Cosa conviene fare?
Platone
Però ora sto facendo la parte dell'avvocato del diavolo.
Modifichiamo l'esperimento aliatorio nel seguente modo. Gioco al gioco delle tre carte da solo (senza banco). Scelgo una carta ma senza girarla. Poi a caso giro una delle altre due e si scopre una carta NON vincente.
E ora? Cosa conviene fare?
Platone
Stavolta cambiare carta o no e' la stessa cosa no? Mi pare che si chiami paradosso del prigioniero.
Eh, eh Platone, la tua sottigliezza analitica avrebbe fatto felice il Maestro greco, è... diabolica 
Comunque, sono d'accordo con smassimo, in questo caso entrambe le strategie hanno probabilità di successo $1/2$. Naturalmente ciò deve essere dimostrato. Io ragiono così.
Numeriamo le carte $1, 2, 3$. Sia $1$ la carta vincente. Lo spazio degli eventi può essere descritto formalmente con l'insieme delle permutazioni di $1, 2, 3$. Una singola permutazione $(a,b,c)$ viene interpretata come: la prima carta scelta è $a$, la seconda $b$, e $c$ è la restante carta. Lo spazio degli eventi è
$(1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2); (3,2,1)$.
Naturalmente gli eventi sono equiprobabili. Osserviamo che nei casi $(2,1,3); (3,1,2)$ il gioco viene interrotto, quindi rimangono soltanto i casi
$(1,2,3); (1,3,2); (2,3,1); (3,2,1)$.
Osserviamo che la strategia "cambio carta" vince esattamente negli ultimi due casi. Invece la strategia "non cambio carta" vince esattamente nei primi due casi. Dunque entrambe le strategia hanno probabilità di vittoria $1/2$.
Ciò che cambia rispetto alla prima versione del gioco è il fatto che se al primo colpo azzecco la carta vincente, il gioco andrà avanti in ogni caso, mentre se la sbaglio, andrà avanti la metà dei casi. L'effetto è ridistribuire la probabilità.
Comunque, sono d'accordo con smassimo, in questo caso entrambe le strategie hanno probabilità di successo $1/2$. Naturalmente ciò deve essere dimostrato. Io ragiono così.
Numeriamo le carte $1, 2, 3$. Sia $1$ la carta vincente. Lo spazio degli eventi può essere descritto formalmente con l'insieme delle permutazioni di $1, 2, 3$. Una singola permutazione $(a,b,c)$ viene interpretata come: la prima carta scelta è $a$, la seconda $b$, e $c$ è la restante carta. Lo spazio degli eventi è
$(1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2); (3,2,1)$.
Naturalmente gli eventi sono equiprobabili. Osserviamo che nei casi $(2,1,3); (3,1,2)$ il gioco viene interrotto, quindi rimangono soltanto i casi
$(1,2,3); (1,3,2); (2,3,1); (3,2,1)$.
Osserviamo che la strategia "cambio carta" vince esattamente negli ultimi due casi. Invece la strategia "non cambio carta" vince esattamente nei primi due casi. Dunque entrambe le strategia hanno probabilità di vittoria $1/2$.
Ciò che cambia rispetto alla prima versione del gioco è il fatto che se al primo colpo azzecco la carta vincente, il gioco andrà avanti in ogni caso, mentre se la sbaglio, andrà avanti la metà dei casi. L'effetto è ridistribuire la probabilità.
In questo caso effettivamente è più semplice rispondere, ed effettivamente sembra che cambiando carta non si abbia nessun vantaggio.
Quando ho messo in mezzo che assiomi della probabilità l'ho fatto perchè cdredo che se il quesito iniziale ha tratto in errore tanti matematici, il "problema" sta forse proprio nel modo in cui la probabilità è matematicamente formalizzata.
Forse una persona con qualche conoscenza matematica e con un pò d'intuito non si sarebbe fatta ingannare, mentre tanti cattedratici sono caduti in errore.
Credo che una volta posti gli assiomi, e formalizzato il tutto anche in maniera un tantinno meccanica, si perda un pò il contatto col problema reale e si lavora solo nel modello, che alle volte porta a ragionamenti viziati e a conclusione sbagliate.
Se faccio il gioco con un amico, e chiedo a lui di girare una carta dopo che io ne ho scelta una, e la corta scoperta è NON vincente, per quanto abbiamo detto, per calcolare la probabilità che mi conseta di decidere se cambiare carta o meno, ho bisogno di sapere se il mio amico era a conoscenza della disposizione delle carte.
Quindi fin a quando non ho questa informazione, non sono in grado di calcolate questa probabilità? oppure la probabilità cambia in base a quanto "il mio amico sa"?
In quest'ultimo caso potrei chiederglielo :<>. SE mi risponde Si ho una probabilità, se mi risponde No, ne ho un'altra.
Sembra quindi che in questo gioco, la probabilità di vincere dipenda da una cosa "non fisica" (non so se si capisce cosa intendo con questa espressione), una cosa che apriori sembra non centrare niente: in ultima analisi dipende da se, prima che IO cominci a giocare, LUI (il mio amico) ha sbirciato o meno.
Nel modo in cui si affrontato solitamente questi problemini di probabilità, non si è abituati a far rientra nel modello informazioni come quest'ultima; il tipo di formalizzazione induce a considerare come informazione rilevante il semplice (per modo di dire) fatto che tra le tre carte so che sicuramente una (ad esempio la terza) non è vincente.
Da qui la conclusione errata a ritenere che cambiare carta o meno (nel quesito iniziale) è indifferente.
Se credete ci siano errori nel ragionamento che ho fatto dite pure. Non sono sicurissimo che il puto della questione sia quello che ho esposto: è per questo che ho aperto il topic.
Platone
Quando ho messo in mezzo che assiomi della probabilità l'ho fatto perchè cdredo che se il quesito iniziale ha tratto in errore tanti matematici, il "problema" sta forse proprio nel modo in cui la probabilità è matematicamente formalizzata.
Forse una persona con qualche conoscenza matematica e con un pò d'intuito non si sarebbe fatta ingannare, mentre tanti cattedratici sono caduti in errore.
Credo che una volta posti gli assiomi, e formalizzato il tutto anche in maniera un tantinno meccanica, si perda un pò il contatto col problema reale e si lavora solo nel modello, che alle volte porta a ragionamenti viziati e a conclusione sbagliate.
Se faccio il gioco con un amico, e chiedo a lui di girare una carta dopo che io ne ho scelta una, e la corta scoperta è NON vincente, per quanto abbiamo detto, per calcolare la probabilità che mi conseta di decidere se cambiare carta o meno, ho bisogno di sapere se il mio amico era a conoscenza della disposizione delle carte.
Quindi fin a quando non ho questa informazione, non sono in grado di calcolate questa probabilità? oppure la probabilità cambia in base a quanto "il mio amico sa"?
In quest'ultimo caso potrei chiederglielo :<
Sembra quindi che in questo gioco, la probabilità di vincere dipenda da una cosa "non fisica" (non so se si capisce cosa intendo con questa espressione), una cosa che apriori sembra non centrare niente: in ultima analisi dipende da se, prima che IO cominci a giocare, LUI (il mio amico) ha sbirciato o meno.
Nel modo in cui si affrontato solitamente questi problemini di probabilità, non si è abituati a far rientra nel modello informazioni come quest'ultima; il tipo di formalizzazione induce a considerare come informazione rilevante il semplice (per modo di dire) fatto che tra le tre carte so che sicuramente una (ad esempio la terza) non è vincente.
Da qui la conclusione errata a ritenere che cambiare carta o meno (nel quesito iniziale) è indifferente.
Se credete ci siano errori nel ragionamento che ho fatto dite pure. Non sono sicurissimo che il puto della questione sia quello che ho esposto: è per questo che ho aperto il topic.
Platone
Platone, secondo me “il problema” non e’ nel modo in cui sono formulati gli assiomi di Kolmogorov, ma piuttosto il problema sta nel modo in cui e’ formulato il tuo quesito. Ho riletto ora il modo in cui lo hai scritto. Dopo la prima scelta, tu scrivi solo “a questo punto il banco scopre una delle altre due carte”. Questa frase da sola e’ compatibile con un sacco di possibilita’. Il fatto che tu dopo scrivi “ovviamente scopre una carta non vincente” fa pensare che il banco non ha scoperto una carta a caso (come nel tuo secondo giochino di carte). Rimarrebbero pero’ diverse possibilita' ancora aperte. Una e’ quella del gioco che ha risolto Fields: il banco sa quale e’ la carta vincente e te ne scopre una in ogni caso, quindi sia se all’inizio hai indovinato la carta giusta, sia se all’inizio hai sbagliato (il gioco classico di Monty Hall). Un’altra avrebbe potuto essere: il banco (che in questo caso avrebbe quello che si chiama il ruolo dell’infame), potrebbe scoprire una carta solo nell’eventualita’ che te abbia indovinato la carta giusta.
Se il quesito non e’ formulato bene, risolverlo non e’ piu’ tanto semplice.
Per quanto riguarda l’ultima possibilita’ che hai proposto (ossia chiedo al banco se sa quale e’ la carta vincente), andiamo verso un quesito ancora diverso. Ad esempio, come fai ad essere sicuro che il banco ti da una risposta sincera? O lo assumi per ipotesi, oppure dovresti conoscere gli incentivi del banco. Quindi stai andando verso un gioco a due persone, magari con interessi in conflitto.
Un’ultima fonte di confusione riguarda gli accenni alle probabilita’ “oggettive”, o “intrinseche, o le “cose non fisiche”, ecc.. Questi aspetti non sono molto rilevanti. Per De Finetti (di cui si e’ festeggiato quest’anno il centenario della nascita) la probabilita’ e’ soggettiva. Quindi puoi assegnare qualsiasi probabilita’ ad un evento. Utilizzando il linguaggio delle scommesse, lui poi introduce un criterio per controllare che la probabilita’ che tu assegni sia coerente (costruendo un gioco equo con quella probabilita’, devi essere disposto a scommettere sia pro che contro l’evento). Infine, le probabilita’ devono poi soddisfare gli assiomi di Kolmogorov (con uno dei quali de Finetti era peraltro in disaccordo). Questo e’ oramai l’approccio dominante in statistica. Se ti interessa, puoi vedere il bel libro di Giorgio Dall’Aglio (Calcolo delle Probabilita’, Zanichelli).
Se il quesito non e’ formulato bene, risolverlo non e’ piu’ tanto semplice.
Per quanto riguarda l’ultima possibilita’ che hai proposto (ossia chiedo al banco se sa quale e’ la carta vincente), andiamo verso un quesito ancora diverso. Ad esempio, come fai ad essere sicuro che il banco ti da una risposta sincera? O lo assumi per ipotesi, oppure dovresti conoscere gli incentivi del banco. Quindi stai andando verso un gioco a due persone, magari con interessi in conflitto.
Un’ultima fonte di confusione riguarda gli accenni alle probabilita’ “oggettive”, o “intrinseche, o le “cose non fisiche”, ecc.. Questi aspetti non sono molto rilevanti. Per De Finetti (di cui si e’ festeggiato quest’anno il centenario della nascita) la probabilita’ e’ soggettiva. Quindi puoi assegnare qualsiasi probabilita’ ad un evento. Utilizzando il linguaggio delle scommesse, lui poi introduce un criterio per controllare che la probabilita’ che tu assegni sia coerente (costruendo un gioco equo con quella probabilita’, devi essere disposto a scommettere sia pro che contro l’evento). Infine, le probabilita’ devono poi soddisfare gli assiomi di Kolmogorov (con uno dei quali de Finetti era peraltro in disaccordo). Questo e’ oramai l’approccio dominante in statistica. Se ti interessa, puoi vedere il bel libro di Giorgio Dall’Aglio (Calcolo delle Probabilita’, Zanichelli).
E' evidente che i due giochi proposti da Platone non sono diversi, ma istanze dello stesso gioco. Abbiamo 3 carte. Il giocatore sceglie una carta. Il banco scopre, fra quelle rimaste, una carta non vincente con probabilità $P$ quando il giocatore non sceglie la carta vincente al primo passo, con probabilità $1$ altrimenti. Se scopre una carta non vincente il gioco va avanti, altrimenti si ricoprono le carte e si ricomincia. E' chiaro che la prima versione del gioco è per $P=1$, la seconda per $P=1/2$. Si può risolvere il problema in funzione di $P$, e ciò dimostra che il principio logico del gioco è sempre lo stesso.
Io comunque non penso che il problema della difficoltà del gioco stia nella sua formulazione. La formulazione del gioco nella sua prima versione è precisa. Un giocatore sceglie una carta e il banco scopre un'altra carta non vincente. Sono d'accordo con smassimo nel dire che invece la formulazione del gioco nella seconda versione sia leggermente imprecisa (anche se ovviamente abbiamo tutti capito ciò a cui si riferiva Platone), e mi sembra che la mia formulazione sia più precisa.
In ogni caso io penso che la probabilità non sia soggettiva. Per me la probabilità che si verichi un evento rappresenterà sempre il rapporto tra i casi in cui l'evento si verifica e i casi totali. Giocando al gioco Monty-Hall vedremo sempre che quelli che cambiano carta vincono più frequentemente di quelli che non cambiano carta. E questo è un fatto oggettivo. E' chiaro che la Natura può far sì che lanciando un moneta venga fuori testa $2^1000$ volte consecutive, ma la "Natura è sottile, non maliziosa" come diceva Einstein, e non ci imbroglierà con una serie di esperimenti tutti in disaccordo estremo con "la media".
Io comunque non penso che il problema della difficoltà del gioco stia nella sua formulazione. La formulazione del gioco nella sua prima versione è precisa. Un giocatore sceglie una carta e il banco scopre un'altra carta non vincente. Sono d'accordo con smassimo nel dire che invece la formulazione del gioco nella seconda versione sia leggermente imprecisa (anche se ovviamente abbiamo tutti capito ciò a cui si riferiva Platone), e mi sembra che la mia formulazione sia più precisa.
In ogni caso io penso che la probabilità non sia soggettiva. Per me la probabilità che si verichi un evento rappresenterà sempre il rapporto tra i casi in cui l'evento si verifica e i casi totali. Giocando al gioco Monty-Hall vedremo sempre che quelli che cambiano carta vincono più frequentemente di quelli che non cambiano carta. E questo è un fatto oggettivo. E' chiaro che la Natura può far sì che lanciando un moneta venga fuori testa $2^1000$ volte consecutive, ma la "Natura è sottile, non maliziosa" come diceva Einstein, e non ci imbroglierà con una serie di esperimenti tutti in disaccordo estremo con "la media".
oh, un bel post estivo!
quoto da fields:
"In ogni caso io penso che la probabilità non sia soggettiva"
il che butta a mare buona parte della teoria delle decisioni (da Savage in poi), trascinando con sé un bel po' di teoria dei giochi (poco male, magari). Leggendo quanto dicono i sostenitori della teoria "soggettivista", si potrà essere d'accordo o meno con loro, ma emerge come la teoria "frequentista" non è esente da valutaizoni soggettive... Tanto è vero che:
quoto
"E' chiaro che la Natura può far sì che lanciando un moneta venga fuori testa $2^1000$ volte consecutive, ma la "Natura è sottile, non maliziosa" come diceva Einstein, e non ci imbroglierà con una serie di esperimenti tutti in disaccordo estremo con "la media"."
come dici tu, può benissimo succedere che venga testa $2^1000$ volte consecutive, con una moneta "normale" (qui sta il bello (il difficile) dell'inferenza statistica, ma non è questo che voglio mettere in evidenza). Mi piaci, talmente "oggettivo" che vuoi soggettivamente intervenire per "aggiustare" le cose (al punto di sgridare la "Natura", se necessario), dove non si conformino... a cosa? alla tua valutazione soggettiva...
ciao
PS: non sono iscritto al partito dei "soggettivisti"
quoto da fields:
"In ogni caso io penso che la probabilità non sia soggettiva"
il che butta a mare buona parte della teoria delle decisioni (da Savage in poi), trascinando con sé un bel po' di teoria dei giochi (poco male, magari). Leggendo quanto dicono i sostenitori della teoria "soggettivista", si potrà essere d'accordo o meno con loro, ma emerge come la teoria "frequentista" non è esente da valutaizoni soggettive... Tanto è vero che:
quoto
"E' chiaro che la Natura può far sì che lanciando un moneta venga fuori testa $2^1000$ volte consecutive, ma la "Natura è sottile, non maliziosa" come diceva Einstein, e non ci imbroglierà con una serie di esperimenti tutti in disaccordo estremo con "la media"."
come dici tu, può benissimo succedere che venga testa $2^1000$ volte consecutive, con una moneta "normale" (qui sta il bello (il difficile) dell'inferenza statistica, ma non è questo che voglio mettere in evidenza). Mi piaci, talmente "oggettivo" che vuoi soggettivamente intervenire per "aggiustare" le cose (al punto di sgridare la "Natura", se necessario), dove non si conformino... a cosa? alla tua valutazione soggettiva...
ciao
PS: non sono iscritto al partito dei "soggettivisti"
"Fioravante Patrone":
oh, un bel post estivo!
Perché estivo? Perché... il caldo dà alla testa?
Comunque, io non mi sento di affrontare un discorso filosofico sul fatto se la probabilità sia soggettiva o oggettiva.
Lo considero "filosofumo"! Preferisco affrontare situazione per situazione con un metodo assiomatico. Mi limito a esprimere disaccordo con affermazioni del tipo: (quoto smassimo) :"Per De Finetti (di cui si e’ festeggiato quest’anno il centenario della nascita) la probabilita’ e’ soggettiva. Quindi puoi assegnare qualsiasi probabilita’ ad un evento".In ogni caso è degno di nota questo fatto. Erdos, che sbagliò in pieno a calcolare la probabilità del gioco Monty-Hall, e che non voleva accettare il fatto che le probabilità di vittoria cambiando carta fossero di 2/3, si convinse alla fine della correttezza del calcolo analitico con una verifica sperimentale fatta su un calcolatore! Dunque, qual è il banco di prova decisivo?
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