Gioco con sistema di equazioni
Cari Amici,
sto leggendo il libro di Filocamo, mai più paura della matematica e a p. 147 ho trovato il seguente "gioco" che non riesco a risolvere:
un uomo ha quattro vasi di forma e capacità diverse.
La capacità del primo è uguale a 2/3 di quella del secondo più 1/4 di quella del terzo.
Il secondo è esattamente 3/4 del terzo più 1/5 del quarto.
Il terzo è 4/5 del quarto più 1/6 del primo.
il quarto è 5/6 del primo più 1/3 del secondo.
Qual è la capacità di ognuno dei quattro vasi ?
La soluzione dovrebbe essere un sistema di quattro equazioni con quattro incognite. I risultati li ho trovati usando un'applicazione online, quello che non riesco a fare è risolvere i passaggi del sistema. Chi mi dà una mano ?
Il sistema l'ho impostato così:
a=2/3b +1/4c
b=3/4c +1/5d
c=4/5d +1/6a
d=5/6a +1/3b
Quando opero le sostituzioni e inizio a calcolare non riesco a trovare le soluzioni che sono a=264; b=285; c=296; d=315.
sto leggendo il libro di Filocamo, mai più paura della matematica e a p. 147 ho trovato il seguente "gioco" che non riesco a risolvere:
un uomo ha quattro vasi di forma e capacità diverse.
La capacità del primo è uguale a 2/3 di quella del secondo più 1/4 di quella del terzo.
Il secondo è esattamente 3/4 del terzo più 1/5 del quarto.
Il terzo è 4/5 del quarto più 1/6 del primo.
il quarto è 5/6 del primo più 1/3 del secondo.
Qual è la capacità di ognuno dei quattro vasi ?
La soluzione dovrebbe essere un sistema di quattro equazioni con quattro incognite. I risultati li ho trovati usando un'applicazione online, quello che non riesco a fare è risolvere i passaggi del sistema. Chi mi dà una mano ?
Il sistema l'ho impostato così:
a=2/3b +1/4c
b=3/4c +1/5d
c=4/5d +1/6a
d=5/6a +1/3b
Quando opero le sostituzioni e inizio a calcolare non riesco a trovare le soluzioni che sono a=264; b=285; c=296; d=315.
Risposte
Il sistema è omogeneo (mancano i termini noti in tutte le equazioni), quindi ha sicuramente la soluzione
$a=0$, $b=0$, $c=0$, $d=0$.
Se ammette anche altre soluzioni significa che è indeterminato e ammette infinite soluzioni, l'unica cosa che possiamo fare è esprimere tutte le capacità in funzione di una sola.
Sostituendo $a$ e $b$ nella quarta equazione ho ottenuto un'equazione in $c$ e $d$, che è $c=296/315 d$ a questo punto non posso fare altro se non ricavare anche $a$ e $b$ in funzione di $d$. Perché la soluzione che proponi sia valida devono esserci ulteriori condizioni, tipo che le capacità siano dei numeri interi minori di un certo valore che potrebbe essere qualcosa come 400 o 500.
$a=0$, $b=0$, $c=0$, $d=0$.
Se ammette anche altre soluzioni significa che è indeterminato e ammette infinite soluzioni, l'unica cosa che possiamo fare è esprimere tutte le capacità in funzione di una sola.
Sostituendo $a$ e $b$ nella quarta equazione ho ottenuto un'equazione in $c$ e $d$, che è $c=296/315 d$ a questo punto non posso fare altro se non ricavare anche $a$ e $b$ in funzione di $d$. Perché la soluzione che proponi sia valida devono esserci ulteriori condizioni, tipo che le capacità siano dei numeri interi minori di un certo valore che potrebbe essere qualcosa come 400 o 500.
Avevo trovato una soluzione.
Sono stato sveglio fino alle 2 di notte per trovarla.
Sostanzialmente coincide con quella di @melia.
Poi ho visto che la persona che ha postato il quesito non ha più fatto visita al forum.
Non perderò un'altra ora del mio tempo per trascrivere detta soluzione.
Saluti.
Luciano.
Sono stato sveglio fino alle 2 di notte per trovarla.
Sostanzialmente coincide con quella di @melia.
Poi ho visto che la persona che ha postato il quesito non ha più fatto visita al forum.
Non perderò un'altra ora del mio tempo per trascrivere detta soluzione.
Saluti.
Luciano.
Cari Amici,
anche a me veniva come risultato che le incognite sono uguali a zero ed in effetti anche io avevo il dubbio che servisse un altro dato intero da cui derivare gli altri. Ciò nondimeno ci deve essere una soluzione o un passaggio che non mi (ci) è chiaro perché se provate a inserire le 4 equazioni in questo "risolvitore" online vengo fuori i quattro numeri interi come soluzione (http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%3D2%2F3b+%2B1%2F4c%3B+b%3D3%2F4c+%2B1%2F5d%3B+c%3D4%2F5d+%2B1%2F6a%3B+d%3D5%2F6a+%2B1%2F3b%3B). Numeri che, peraltro, sono quelli indicati da Filocamo nel libro citato nel messaggio di cui sopra.
Vi prego di scusare la poca assiduità nella frequentazione del forum ma sono stato incasinatissimo con il lavoro...
Il problema mi pare simile a questo: http://books.google.it/books?id=ipMlpHt0zkUC&pg=PA69&dq=cinque+uomini+una+borsa+e+un+debito&hl=it&sa=X&ei=kY9pUu6bNeic4wT7yIHACA&ved=0CEIQ6AEwAA#v=onepage&q=cinque%20uomini%20una%20borsa%20e%20un%20debito&f=false
A presto
anche a me veniva come risultato che le incognite sono uguali a zero ed in effetti anche io avevo il dubbio che servisse un altro dato intero da cui derivare gli altri. Ciò nondimeno ci deve essere una soluzione o un passaggio che non mi (ci) è chiaro perché se provate a inserire le 4 equazioni in questo "risolvitore" online vengo fuori i quattro numeri interi come soluzione (http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%3D2%2F3b+%2B1%2F4c%3B+b%3D3%2F4c+%2B1%2F5d%3B+c%3D4%2F5d+%2B1%2F6a%3B+d%3D5%2F6a+%2B1%2F3b%3B). Numeri che, peraltro, sono quelli indicati da Filocamo nel libro citato nel messaggio di cui sopra.
Vi prego di scusare la poca assiduità nella frequentazione del forum ma sono stato incasinatissimo con il lavoro...
Il problema mi pare simile a questo: http://books.google.it/books?id=ipMlpHt0zkUC&pg=PA69&dq=cinque+uomini+una+borsa+e+un+debito&hl=it&sa=X&ei=kY9pUu6bNeic4wT7yIHACA&ved=0CEIQ6AEwAA#v=onepage&q=cinque%20uomini%20una%20borsa%20e%20un%20debito&f=false
A presto
Sono andata al link che hai postato, forse lo hai letto troppo affrettatamente, ma le soluzioni, nei numeri reali (Real solution) sono
$b= 95/88 *a$,
$c=37/33* a$ e
$d=105/88 *a$.
Le soluzioni intere sono
$a=264*n$;
$b=285*n$;
$c=296*n$;
$d=315*n$ con $n in ZZ$.
Questo a conferma di quanto ti avevo detto.
$b= 95/88 *a$,
$c=37/33* a$ e
$d=105/88 *a$.
Le soluzioni intere sono
$a=264*n$;
$b=285*n$;
$c=296*n$;
$d=315*n$ con $n in ZZ$.
Questo a conferma di quanto ti avevo detto.
Il problema è che sono io che non capisco.
Come si fa ad arrivare alla soluzione con i numeri interi ?
Grazie
Come si fa ad arrivare alla soluzione con i numeri interi ?
Grazie
@duemme.
E' sufficiente trovare il $m.c.m.$ tra $33$ e $88$ (che è $264$). Riducendo $b,c,d$ allo stesso denominatore $264$ hai :
\(\displaystyle \begin{cases}b=\frac{285}{264}a \\c=\frac{296}{264}a\\d=\frac{315}{264}a\end{cases} \)
Adesso è chiaro che per ridurre $b,c,d$ a valori interi basta porre $a=264n$ e sostituendo in definitiva trovi :
\(\displaystyle \begin{cases}a=264n\\b=285n\\c=296n\\d=315n\end{cases} \)
E' sufficiente trovare il $m.c.m.$ tra $33$ e $88$ (che è $264$). Riducendo $b,c,d$ allo stesso denominatore $264$ hai :
\(\displaystyle \begin{cases}b=\frac{285}{264}a \\c=\frac{296}{264}a\\d=\frac{315}{264}a\end{cases} \)
Adesso è chiaro che per ridurre $b,c,d$ a valori interi basta porre $a=264n$ e sostituendo in definitiva trovi :
\(\displaystyle \begin{cases}a=264n\\b=285n\\c=296n\\d=315n\end{cases} \)
Grazie per la risposta.
Io avevo trovato questa soluzione:
$A=264/285B$
$C=296/285B$
$D=315/285B$
Ritenendo che la domanda fosse di trovare i più piccoli valori interi per ciascuna incognita, il risultato era automatico.
$A=264/285B$
$C=296/285B$
$D=315/285B$
Ritenendo che la domanda fosse di trovare i più piccoli valori interi per ciascuna incognita, il risultato era automatico.
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