Giochino carino carino
salve a tutti.. Oggi un mio amico mi fa questo giochino apparentemente semplice: "se ogni giorno ti do 1 centesimo e ogni giorno che passa te lo raddoppio a fine mese quanti soldi hai?"
apparentemente sembra facile, basta moltiplicare per 2 il risultato fino allo scadere dei 30 giorni e poi addizionare tutti i risultati, vi faccio un esempio su 5 giorni:
1 giorno 1 cent
2 giorno 2 cent
3 giorno 4 cent
5 giorno 8 cent
totale 8+4+2+1= 15 cent
ora io mi sono messo a ragionare e volevo trovare un modo semplice, come una specie di formula che mi permette di risolvermi questo giochetto senza stare 2 ore a fare conti.. la mia prima intuizione è che si tratta di una successione geometrica dove ovviamente il quoziente $n/(n-1)$ risulta essere sempre 2. qualcuno mi può dare qualche piccolo ulteriore suggerimento??
grazie e buona serata a tutti!
apparentemente sembra facile, basta moltiplicare per 2 il risultato fino allo scadere dei 30 giorni e poi addizionare tutti i risultati, vi faccio un esempio su 5 giorni:
1 giorno 1 cent
2 giorno 2 cent
3 giorno 4 cent
5 giorno 8 cent
totale 8+4+2+1= 15 cent
ora io mi sono messo a ragionare e volevo trovare un modo semplice, come una specie di formula che mi permette di risolvermi questo giochetto senza stare 2 ore a fare conti.. la mia prima intuizione è che si tratta di una successione geometrica dove ovviamente il quoziente $n/(n-1)$ risulta essere sempre 2. qualcuno mi può dare qualche piccolo ulteriore suggerimento??
grazie e buona serata a tutti!
Risposte
Chiamando x il numero di giorni per cui vieni pagato si può dire che dopo x giorni avrai 2^x-1 cents.
Scrivi pure per ulteriori chiarimenti.
Scrivi pure per ulteriori chiarimenti.
: 
si deve correggere la solita formula: siccome non esiste in questo caso uno "zeresimo giorno" la potenza $2^0$ deve essere introdotta nella formula al primo giorno. Ciò fa slittare tutti i termini della sommatoria di uno. La formula finale che modellizza questo problema è quindi: all' $n-esimo$ giorno, tu hai $2^(n-1) - 1$ cent.
scusate math ml ha dato i numeri: volevo dire "n-esimo" giorno!
mmm non vi seguo.. io avevo pensato che questa fosse una normale successione aritmetica, dove la ragione però è la progressione geometrica $2^n-1$.. ho avuto una buona idea??
dunque, questa è una progressione GEOMETRICA, e non aritmetica, con ragione $2$.
Siccome la ragione non è compresa tra -1 e 1, essa diverge, e quindi diverge anche la sommatoria dei termini di essa.
Questa successione è, dunque
$sum_(k=0)^n 2^k = 2^(n+1) - 1$ (questa uguaglianza si può facilmente verificare utilizzando il principio di induzione)
quindi, per utilizzare questa formula nel tuo caso, dovresti sostituire a $n$ il numero dei giorni che conti. Ma siccome non esiste uno "zeresimo giorno", il posto di n=0 viene occupato dal primo giorno. Quindi, se vuoi sapere quanti soldi avrai nel i-esimo giorno, sostituisci a $n$ il numero $i-1$.
Ad esempio, dopo 12 giorni, tu avrai
$sum_(k=0)^11 2^k = 2^12 - 1 = 4095$ cent.
Spero che adesso ti sia chiaro il discorso, se servono chiarimenti, posta.
Siccome la ragione non è compresa tra -1 e 1, essa diverge, e quindi diverge anche la sommatoria dei termini di essa.
Questa successione è, dunque
$sum_(k=0)^n 2^k = 2^(n+1) - 1$ (questa uguaglianza si può facilmente verificare utilizzando il principio di induzione)
quindi, per utilizzare questa formula nel tuo caso, dovresti sostituire a $n$ il numero dei giorni che conti. Ma siccome non esiste uno "zeresimo giorno", il posto di n=0 viene occupato dal primo giorno. Quindi, se vuoi sapere quanti soldi avrai nel i-esimo giorno, sostituisci a $n$ il numero $i-1$.
Ad esempio, dopo 12 giorni, tu avrai
$sum_(k=0)^11 2^k = 2^12 - 1 = 4095$ cent.
Spero che adesso ti sia chiaro il discorso, se servono chiarimenti, posta.
il tuo ragionamento mi è chiaro, però volevo postarti il mio:
secondo quello che avevo pensato la successione è sia aritmetica sia geometrica, per cui rientra la somma di tutti i termini, ma la ragione da addizionare evolve con l'evolvere della potenza di 2 quindi:
chiamiamo $d$ la ragione e na progressione è $A(n)=A(n-1)+d$
ma $d=2^(n-1)$ quindi basta che sostituisco e ottengo:
$A(n)=A(0)+ n*2^(n-1)$
non so se mi sono spiegato bene..
secondo quello che avevo pensato la successione è sia aritmetica sia geometrica, per cui rientra la somma di tutti i termini, ma la ragione da addizionare evolve con l'evolvere della potenza di 2 quindi:
chiamiamo $d$ la ragione e na progressione è $A(n)=A(n-1)+d$
ma $d=2^(n-1)$ quindi basta che sostituisco e ottengo:
$A(n)=A(0)+ n*2^(n-1)$
non so se mi sono spiegato bene..
no non è una successione aritmetica perché in una successione aritmetica, per definizione, la ragione rimane costante.
ossia: $a_n$ è una successione aritmetica se e solo se $a_i - a_(i-1) = k, AAi$
mentre è una successione geometrica se e solo se $(a_i)/(a_(i-1)) = k, AAi$
Supponiamo per assurdo che la tua fosse una successione aritmetica. Allora, la differenza di un termine con il suo precedente è costante, per qualsiasi termine tu prenda. Ma questo non è vero. Ciò significa che non è aritmetica (non puoi vederla come "aritmetica la cui ragione aumenta" perché, per definizione, la ragione deve rimanere costante).
A parte questi inutili "formalismi", la tua formula è sbagliata: ti do una prova numerica.
secondo la tua formula, dopo 5 giorni tu avrai $1+80=81$ cents. Ma se vai a calcolare ne avrai, in conformità con la formula per una generica sommatoria di una successione geometrica con ragione $2$,
$2^5 - 1 = 31$ cents
ossia: $a_n$ è una successione aritmetica se e solo se $a_i - a_(i-1) = k, AAi$
mentre è una successione geometrica se e solo se $(a_i)/(a_(i-1)) = k, AAi$
Supponiamo per assurdo che la tua fosse una successione aritmetica. Allora, la differenza di un termine con il suo precedente è costante, per qualsiasi termine tu prenda. Ma questo non è vero. Ciò significa che non è aritmetica (non puoi vederla come "aritmetica la cui ragione aumenta" perché, per definizione, la ragione deve rimanere costante).
A parte questi inutili "formalismi", la tua formula è sbagliata: ti do una prova numerica.
secondo la tua formula, dopo 5 giorni tu avrai $1+80=81$ cents. Ma se vai a calcolare ne avrai, in conformità con la formula per una generica sommatoria di una successione geometrica con ragione $2$,
$2^5 - 1 = 31$ cents
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo