Geometria semplice

[axpgn]

I quadrati costruiti sui tre lati di un triangolo hanno l'area pari a $74, 116, 370$.
Trovare l'area del triangolo.

Cordialmente, Alex

P.S.: Metodi alternativi ai soliti (Erone e trigonometria) ?

[kobeilprofeta]

Soluzione "facile"

$a=sqrt (74),b=sqrt (116),c=sqrt (370),p=frac {a+b+c}{2} $
$A=sqrt(p (p-a)(p-b)(p-c)) $

[Drazen77]

Con Erone direi 11, ma tu non vuoi Erone...

[axpgn]

Ok Kobe, ma il risultato? Non si può prescindere dal risultato (anche perché ... )

Ok Drazen, se ne hai altri ...

Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Effettivamente calcolare il semiperimetro con la formula di Erone pubblicata da kobeilprofeta non è facilissimo...

[kobeilprofeta]

"Drazen77":Effettivamente calcolare il semiperimetro con la formula di Erone pubblicata da kobeilprofeta non è facilissimo...

Moltiplicando per $frac {sqrt (16)}{4}$ ottieni $frac {sqrt ((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))}{4} $

[orsoulx]

@Alex:
non mi è chiara la richiesta dei 'metodi alternativi': se esistessero scorciatoie, sarebbero state sicuramente già trovate, vista la vetustà del problema.
Io proverei con una delle 'classiche' dimostrazioni dei teoremi citati

Assumiamo come base del triangolo il lato di maggiore lunghezza (così siamo certi che il piede dell'altezza è interno alla base) ed indichiamo con $x$ la proiezione su questo del più corto. Ricavando col T. di Pitagora l'altezza del triangolo utilizzando i due triangoli rettangoli da questa formati ed eguagliando i risultati otteniamo: $ 74 -x^2=116-370-x^2+2xsqrt (370) \rightarrow x=164/sqrt(370)$
Da cui l'altezza $ h=sqrt(74*370-164^2)/sqrt(370) $
e l'area $ A=sqrt(74*370-164^2)/2=sqrt(37*185-82^2)=11 $

Ciao

[axpgn]

Per casi come questo, con queste "caratteristiche", un metodo alternativo è il seguente:

Non è una soluzione grafica ma algebrica, l'immagine la rende chiara ... no?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Alex:
interessante e secondo te uno dovrebbe:
a) avere l'intuizione necessaria, forse buoni rapporti coi Santi in Paradiso, potrebbero servire;
b) accertarsi che siano soddisfatte le condizioni opportune?
Sarebbe interessante, anche se difficile, calcolare la probabilità, che estraendo a caso le aree dei quadrati (diciamo fra 1 e 1000), si ottenga un triangolo a cui è applicabile il metodo alternativo.
Col disegno non sono (quasi) necessari calcoli, basta contare i puntini: $ 10+4/2-1=11 $
Ciao

[axpgn]

Dai che è bellina! Pochissimi conti e niente radici

Comunque, in pratica, non è così improbabile "trovarli" come sembrerebbe ... o meglio, non era ... perché quando non c'erano i computer ed i calcoli erano un po' più difficili da fare, molti di questi problemi venivano "costruiti" in questo modo ed è facilissimo farlo: disegni un rettangolo e prolunghi i due lati avendo solo l'accortezza che il segmento che unisce gli estremi dei prolungamenti sia esterno al rettangolo (e ovviamente che le misure dei lati e dei prolungamenti siano intere ... )

Un altro problema, che assomiglia a questo, è il seguente:

Trovare l'area della figura piana convessa composta in questo modo: un triangolo $A$, i tre quadrati costruiti sui tre lati e le cui aree sono pari a $18, 20, 26$ e i tre triangoli che "tappano" i vuoti tra i quadrati (chiusi dai tre segmenti che collegano i vertici liberi dei quadrati).

Cordialmente, Alex

[teorema55]

Non ho ancora letto nulla. Sparo

$11.057$

Ho usato Cartesio.

[teorema55]

Adesso che vi ho letti, il metodo più semplice mi sembra il mio:

- la circonferenza grande, con centro in $O(0,0)$, ha raggio $\sqrt370$
- quella intermedia, con centro in $B$, ha raggio $\sqrt116$
- costruisco il triangolo (in realtà due) disegnando la circonferenza, sempre con centro in $O$ e raggio $\sqrt74$.

I punti $C$ e $D$ hanno ordinata rispettivamente $+-1,15$

...........e il gioco è fatto.

OOps, dimenticavo l'immagine

[orsoulx]

"teorema55":.........e il gioco è fatto.

Epperò GeoGebra si potrebbe offendere... Se $ B(sqrt(370),0) $, l'area del triangolo misura esattamente $ 11 $ e l'ordinata di $ C $ è più vicina a $ 1.14 $.
Ciao

[orsoulx]

"axpgn":....ed è facilissimo farlo: disegni un rettangolo e prolunghi i due lati avendo solo l'accortezza che il segmento che unisce gli estremi dei prolungamenti sia esterno al rettangolo (e ovviamente che le misure dei lati e dei prolungamenti siano intere ...

Quel che affermi non mi piace, tanto dal punto di vista di chi deve formulare il problema, quando da quello del solutore.
Chi vuole proporre il problema non si preoccupa di rettangoli con lati da prolungare. Prende tre punti con coordinate intere, calcola le distanze reciproche, e le scrive.

Chi prova a risolverlo, una volta che la trisavola, in sogno, l'abbia avvisato che quel triangolo può esser sistemato in modo che i suoi vertici abbiano coordinate intere, scompone (a fatica o meno: dipende da quanto sono grandi i numeri e dalla sua dimestichezza con i quadrati) i radicandi in somme di quadrati, avendo l'accortezza di controllare che le basi di quelli di un lato siano somme/differenze di quelle dei restanti due; a questo punto il rettangolo con prolunghe non gli serve.
Se il triangolo è piccolino, come ho detto prima, conta i puntini; se è grande usa il prodotto vettoriale di due vettori lati qualsiasi.
$ 10 cdot 5-4 cdot 7=22 $ e ottiene il doppio dell'area in maniera molto più rapida.

Ciao

[orsoulx]

Dimenticai la soluzione del secondo esempio:

L'area è 100 e, a mio avviso, è comodo trovarla come somma dei tre quadrati, del triangolo di partenza e di un secondo triangolo equivalente alla somma dei tre aggiunti per ottenere la convessità.

Ciao

[axpgn]

@teorema55

Premesso che il concetto di "semplicità" è molto opinabile non sono tanto d'accordo con te ... ... per esempio, disegnare tre cerchi dal raggio irrazionale non è facile (a meno di usare strumenti automatici ma allora è tutto più semplice ... )
L'immagine che ho postato non è indispensabile per la soluzione, l'ho messa per chiarire ...
Il metodo è questo: notato che $370=17^2+9^2, 116=10^2+4^2, 74=7^2+5^2$ ed anche che $17=10+7, 9=4+5$ allora l'area del triangolo cercato è $2A=17*9-10*4-7*5-2*7*4$

Cordialmente, Alex

[axpgn]

@orsoulx

"orsoulx":... Quel che affermi non mi piace, ...

Probabilmente non mi sono fatto capire ...
Quello era solo un esempio "pratico" di come sia facile costruire un problema del genere, ancor più semplicemente basta prendere quattro interi (da usare come cateti) ...
Per i solutori, quando i conti si facevano a mano, era molto probabile imbattersi in problemi formati in questo modo perciò la tecnica di scomporre le aree in somme di quadrati era spesso quella vincente e neanche troppo laboriosa ...

Per quanto riguarda il secondo problema, sono d'accordo sul sommare i vari pezzi però il succo del problema consiste nel come trovare le aree incognite ... ovviamente, come nel primo, i modi sono vari, io ne avrei uno che mi pare simpatico

Cordialmente, Alex

[teorema55]

"axpgn":@teorema55

... per esempio, disegnare tre cerchi dal raggio irrazionale non è facile (a meno di usare strumenti automatici ma allora è tutto più semplice ... )

Così come disegnare un triangolo con lati irrazionali

Ciao!

[axpgn]

Assolutamente no!

Fissi i tre punti $(17,0), (0,9), (7,4)$ e tracci i segmenti che li unisce ... più semplice di così ... inoltre, l'ho detto, il disegno non serve ...

[orsoulx]

"axpgn":Probabilmente non mi sono fatto capire ...

Non direi: se uno riesce a superare le cortine fumogene dello zompare fra geometria e algebra, mi pare siamo in sintonia.
Non l'ho introdotto io il discorso che fa perno sul rettangolo a lati allungati.
Comunque [punto di vista squisitamente personale], abituato a fare i calcoli a mano, seguiterei, tranne in casi ridicolmente semplici, ad utilizzare il 'quasi' Erone: $ sqrt(a)<=sqrt(b)<=sqrt(c) rightarrow A=sqrt( (ac)/4-((c-(b-a))/4)^2)$.
Che, per il secondo esempio, diventa: $ A=4sqrt(9*13-6^2)+18+20+26=100 $.
Quale approccio fosse congeniale agli antenati non lo so.
[ot]Il suggerimento che proponi in "Quanti rettangoli in un rettangolo" non mi pare rispondente alla formulazione del problema[/ot]

Ciao

[axpgn]

Il "quasi Erone" é la formula che ho usato per trovare l'area del triangolo centrale, per la precisione la formula che ho ricavato da quella di Erone é $sqrt(4AB-(A+B-C)^2)/4$ dove $A, B, C$ sono le aree dei quadrati costruiti sui lati presi in qualsiasi ordine.
Per inciso, io la trovo la più semplice ... rispetto alle altre ... de gustibus, ovviamente ...
Rimarrebbe da dimostrare che i quattro triangoli sono uguali (non lo dico per te ma per completezza verso chi eventualmente ci leggesse)

[ot]Confesso di non aver approfondito il thread in questione, mi sono limitato al link sperando gli fosse utile[/ot]

Cordialmente, Alex