Funzione con quadrati

[carlo232]

Propongo questo quesito: trovare una funzione rappresentabile in termini di funzioni elementari che abbia uno sviluppo in serie di Maclaurin uguale a

f(x)=x+4x^2+9x^3+16x^4+25x^5+....+(n^2)x^n+....

[MaMo2]

La funzione è:
$f(x) = [x(1+x)]/(1-x)^3
Lascio ad altri la soddisfazione di dimostrarlo.

[Nidhogg]

$sum_(n=1)^oo n^2*x^n=x+4x^2+9x^3+16x^4+25x^5+...+n^2*x^n+...$
La serie converge assolutamente in (−1, 1), non converge per 1, converge totalmente in [−M,M] per ogni $M in (0, 1)$,
non converge uniformemente in (0, 1). In (−1, 1) si ha $sum_(n=0)^oo x^n=1/(1-x)$, e quindi derivando per serie e poi moltiplicando per x (2 volte)
$sum_(n=1)^oo n*x^n=x/(1-x)^2$, $sum_(n=1)^oo n^2 * x^n=(x*(x+1))/(1-x)^3$

[carlo232]

è proprio così, tra l'altro per ricavare una funzione simile con cubi invece di quadrati è sufficiente derivare la funzione con i quadrati e poi moltiplicarla per x, per ricavare una funzione simile con quarte potenze invece di cubi è sufficiente derivare la funzione con i cubi e poi moltiplicarla per x, e così via...

[Nidhogg]

Ringrazio sia carlo23, perchè ha postato questo quesito originale, che MaMo, perchè mi ha dato la possibilità e la soddisfazione! di dimostrarlo.